آموزش ریاضی خوش آموز

تمرینات رادیان و درجه

در اینجا به تمرینات مرتبط با مبحث رادیان و درجه (Radians and Degrees) می پردازیم. هر چند در ادامه پاسخ تمرینات نیز آمده است اما شدیداً توصیه می کنیم ابتدا تلاش خود را برای حل تمرینات انجام دهید و سپس پاسخ هایتان را با پاسخ های صحیح مقایسه کنید. ...

تبدیلات نمودارهای مثلثاتی (Transformations of Trigonometric Graphs)

قوانین جابجایی (shifting)، بسط دادن (stretching)، فشرده شدن (compressing)، و بازتاب (reflecting) نمودار یک تابع که در تصویر زیر خلاصه شده است، بر روی توابع مثلثاتی که در این بخش مورد بحث قرار دادیم، به کار می روند. ...

دو نامساوی خاص (Two Special Inequalities)

برای هر زاویۀ \(\theta\) که در واحد رادیان (radians) اندازه گیری شده باشد، توابع سینوس و کسینوس، نامساوی های زیر را برآورده می سازند: ...

قانون کسینوس ها (The Law of Cosines)

اگر \(a\)، \(b\)، و \(c\) اضلاع مثلث \(ABC\) باشند و اگر \(\theta\) زاویۀ روبروی \(c\) باشد، آن گاه: ...

اتحادهای مثلثاتی (Trigonometric Identities)

مختصات هر نقطۀ \(P(x,y)\) در صفحۀ مختصات می تواند به لحاظ مسافت آن نقطه از مبدأ مختصات (origin) یعنی \(r\) و زاویۀ \(\theta\) که نیم خط \(OP\) با محور \(x\) مثبت می سازد، بیان شود (شکل \(\text{1.40}\)). از آنجا که \(\frac{x}{r}=\cos \theta\) و \(\frac{y}{r}=\sin \theta\)، داریم: $$x=r \cos \theta \\ y = r \sin \theta$$ ...

تناوب و نمودارهای توابع مثلثاتی (Periodicity and Graphs of the Trigonometric Functions)

هنگامی که زاویه ای با اندازۀ \(\theta\) و زاویه ای با اندازۀ \(\theta + 2\pi\) در موقعیت استاندارد (standard position) قرار بگیرند، نیم خط های نهایی (terminal rays) آنها، بر هم منطبق می شوند. بنابراین، این دو زاویه دارای مقادیر توابع مثلثاتی یکسانی خواهند بود: \(\sin(\theta + 2\pi) = \sin \theta\)، \(\tan (\theta + 2\pi)= \tan \theta\)، و به همین ترتیب. به طور مشابهی، \(\cos (\theta - 2\pi)= \cos ...

شش تابع مثلثاتی اصلی (The Six Basic Trigonometric Functions)

شما احتمالاً با تعاریف توابع مثلثاتی (trigonometric functions) از یک زاویۀ حاده (acute angle) به لحاظ اضلاع یک مثلث قائم الزاویه (right triangle) آشنا هستید (شکل 1.39). ما با قرار دادن این زاویه در موقعیت استاندارد در دایره ای با شعاع \(r\)، این تعاریف را برای زوایای منفرجه (Obtuse angle) و زوایای منفی، بسط می دهیم. سپس این توابع مثلثاتی را به لحاظ مختصات نقطۀ \(P(x,y)\) که در آن نیم خط نهایی (te...

زاویه ها (Angles)

در بخش 1.3 واحد اندازه گیری رادیان (radian) و توابع مثلثاتی اصلی (basic trigonometric functions) مورد بررسی قرار می گیرند. زوایا (Angles) در واحد درجه (degrees) یا رادیان (radians) اندازه گیری می شوند. تعداد رادیان ها در زاویۀ مرکزیِ \(A'CB'\) در دایره ای با شعاع \(r\) با تعداد واحدهای شعاع (radius units) که در داخل کمان \(s\) که با آن زاویه جدا شده است، قرار می گیرند، تعریف می شود. اگر این زاویۀ ...

تمرینات ترکیب توابع

در اینجا به تمرینات مرتبط با مبحث ترکیب توابع (Combining Functions) می پردازیم. هر چند در ادامه پاسخ تمرینات نیز آمده است اما شدیداً توصیه می کنیم ابتدا تلاش خود را برای حل تمرینات انجام دهید و سپس پاسخ هایتان را با پاسخ های صحیح مقایسه کنید. ...

تمرینات ترسیم نمودار

در اینجا به تمرینات مرتبط با مبحث ترسیم نمودار (Graphing) می پردازیم. هر چند در ادامه پاسخ تمرینات نیز آمده است اما شدیداً توصیه می کنیم ابتدا تلاش خود را برای حل تمرینات انجام دهید و سپس پاسخ هایتان را با پاسخ های صحیح مقایسه کنید. در تمرینات \(\text{67-74}\) نمودار هر تابع را ترسیم کنید، برای ترسیم نمودار از قرار دادن نقاط بر روی صفحۀ مختصات استفاده نکنید، بلکه با نمودار استاندارد توابع که در ش...

logo-samandehi