آموزش ریاضی آموزش جبر خوش آموز

چندجمله ایها و اعداد مختلط

چندجمله ایها توابعی هستند که نمودار آنها منحنی های نرم و زیبا می باشند که ممکن است محور \(X\) را قطع کنند یا نکنند. اگر درجه (بالاترین توان) یک چندجمله ای عددی فرد باشد، نمودار آن باید از محور \(X\) عبور کند، و باید دارای یک ریشه یا پاسخ حقیقی باشد. (در فصل 8 شما دانستید که چگونه پاسخها یا ریشه های حقیقی معادلات چندجمله ای را بیابید.) هنگام حل کردن معادلاتی که با قراردادن چندجمله ایها برابر با صفر...

حل کردن معادلات درجه دوم با پاسخهای مختلط

شما همواره می توانید معادلات درجه دوم را با فرمول حل کردن معادلات درجه دوم (quadratic formula) حل کنید. البته ساده تر اینست که این معادلات را با فاکتورگیری حل نمایید، اما اگر معادله قابل فاکتورگیری نباشد، این فرمول سودمند می افتد. (اگر در این زمینه نیاز به یادآوری دارید، فصل 3 را مورد بازنگری قرار دهید.) با این حال، تا زمانیکه ریاضیدانان اعداد موهومی را شناسایی نکرده بودند، نمی توانستند بسیاری از...

اعداد مختلط و عملیات آنها

یک عدد موهومی \((i)\) ، بخشی از اعدادی می باشد که اعداد مختلط (complex numbers) نامیده می شوند، که بعد از ایجاد اعداد موهومی (imaginary numbers) توسط ریاضیدانان، بوجود آمدند. شکل استاندارد یک عدد مختلط \(a+bi\) می باشد، که در آن \(a\) و \(b\) اعدادی حقیقی هستند، و \(i^2\) برابر با \(-1\) می باشد. این واقعیت که \(i^2\) برابر با \(-1\) و \(i\) برابر با \(\sqrt{-1}\) می باشد، بنیان اعداد مختلط است. ا...

عدد موهومی i

اعداد موهومی (Imaginary numbers) نتیجۀ تصورات ریاضیدانان می باشند. نه، اعداد موهومی، واقعی نیستند ـــ اگرچه، آیا هیچ عدد واقعی سُراغ دارید؟ آیا می توانید عددی را لمس کنید؟ آیا می توانید آن را احساس کنید؟ چه کسی تصمیم گرفت تا عدد \(9\) به شکلی که امروزه می بینیم، باشد، و چه چیزی باعث می شود تا بگوییم آن شخص درست گفته است؟ ریاضیدانان اعداد حقیقی (real numbers) را به این شکل تعریف کرده اند: تمامی ا...

دستگاه های نامعادلات

دستگاه هایی از نامعادلات در کاربردهای مشاغل تجاری و مسأله های حسابان، مورد استفاده قرار می گیرند. به عنوان مثال، یک دستگاه نامعادلات می تواند یک مجموعه از محدودیت ها را در یک مسأله که شامل تولید برخی اقلام می باشد، نشان دهد ـــ این محدودیت ها می تواند محدود ساختن منابع مورد استفاده و یا محدودیت زمان باشد. در حسابان، دستگاه های نامعادلات نشان دهندۀ نواحی بین منحنی ها می باشد. از نظر نموداری، پاسخ د...

سایر انواع دستگاه های معادلات

در ابتدای این فصل با تقاطع بین خطها و انواع مختلف مقاطع مخروطی سر و کار داشتیم، زیرا منحنی مخروطی ها برای تصویرسازی ساده می باشند و نتایج تقاطع ها قدری قابل پیش بینی می باشند. با این وجود، شما می توانید تقاطع (پاسخهای مشترک) بین سایر انواع توابع و منحنی ها را بیابید؛ شما ممکن است مجبور شوید، بدون داشتن سرنخی از چیزی که قرار است اتفاق بیفتد، کار را آغاز کنید. با این حال، نگران نباشید؛ با استفاده از...

متصل کردن شلجمی ها و دایره ها

نمودار یک شلجمی یک منحنی U شکل می باشد، و شکل گرد نمودار دایره را نیز حتماً می شناسید. هنگامیکه یک شلجمی و دایره طرح مشبکی را با یکدیگر به اشتراک می گذارند، می توانند به چندین روش با یکدیگر تعامل داشته باشند. این شکلها می توانند در چهار نقطۀ مختلف، سه نقطه، دو نقطه، و یا یک نقطه همدیگر را قطع کنند. همچنین می توانند هیچ تقاطعی با یکدیگر نداشته باشند. این پنج احتمال را که در اینجا لیست نمودم، چیزهای...

تقاطع شلجمی ها با خطها

در دستگاه های معادلات خطی، متغیرها دارای توانی از یک می باشند، و شما معمولاً فقط یک پاسخ را می یابید. همچنان که توانها بزرگتر می گردند، امکان وجود چندین پاسخ نیز رشد می کند، و دستگاه های معادلات غیرخطی (systems of nonlinear equations) ایجاد می شوند. به عنوان مثال، یک خط و یک شلجمی (سهمی) ممکن است در دو نقطه، یا یک نقطه همدیگر را قطع کنند، یا اینکه به هیچ وجه همدیگر را قطع نکنند. یک دایره و بیضی می...

استفاده از دستگاه معادلات برای تجزیۀ کسرها

اگر یک کسر جبری مانند مثالی که در ادامه آمده است، داشته باشید ـــ یک تابع گویا که در صورت و مخرج آن چمدجمله ایهایی وجود داشته باشند ـــ می توانید تعیین کنید که کدام دو کسر با یکدیگر جمع شده اند تا حاصل جمعشان کسر فعلی شده است. این فرآیند تجزیه کسرها (decomposing fractions) نامیده می شود. دلیل اینکه شما می خواهید کسرها را تجزیه کنید اینست که هنگامی که مخرج ها عباراتی خطی باشند، می توانید از مزایای ...

مثالی از کاربرد دستگاه معادلات خطی

توانایی حل کردن دستگاه هایی متشکل از دو، سه، و حتی بیشتر معادلۀ خطی، عالی می باشد، اما هدف از آن چیست؟ هدف اینست که کاربردهای آن در زندگی واقعی بسیارند. و خارج از کلاسهای جبر، جایی که تکنولوژی وارد کار می شود، تعداد معادلات بزرگ و غافلگیرکننده می گردند. وضعیت زیر را که می توانید با سه معادله حلش کنید، بررسی کنید؛ ممکن است مسألۀ زیر برای شما چیز جالبی باشد. شما سعی دارید تا بهای همبرگر، چیپس، و نو...

logo-samandehi