در اینجا یک سوال قدیمی داریم که هنوز هم منجر به سورپرایز می شود: فرض کنید که شغلی گیر آورده اید که در روز اول فقط 1 پنی به شما دستمزد می دهند، در روز دوم 2 پنی، در روز سوم 4 پنی، و الی آخر. در واقع هر روز به این شیوه میزان پرداختی به شما دو برابر می شود:

1   2   4   8   16   32   64   128   256   512 ...

همانطور که خودتان هم می توانید ببینید، در ده روز اول شما نمی توانید بیش از 10$ درآمد کسب کنید (در واقع 10.23$ - اما چه کسی شمارش می کند؟) درآمد شما در 30 روز چقدر خواهد شد؟ شاید پاسخ شما این باشد که "من در همان وهلۀ اول چنین شغل نکبتی را قبول نخواهم کرد." در نگاه اول، پاسخ شما، پاسخ خوبی به نظر می رسد، اما بیایید یک نگاه اجمالی به درآمد شما در ده روز دوم داشته باشیم:

... 1,024   2,048   4,096   8,192   16,384   32,768   65,536   131,072   262,144   524,288 ...

در انتهای ده روز دوم، مجموع درآمد شما بالغ بر $10,000 خواهد بود. و در پایان هفته سوم، درآمد شما بیش از $10,000,000 خواهد بود! چطور این اتفاق افتاد؟ این کار از طریق جادوی توان اتفاق افتاد. هر عدد جدید در این دنباله، از طریق ضرب کردن عدد قبلی در عدد 2 بدست آمده است:


همانطور که می بینید، 2 به توان 4 به این معنا می باشد که عدد 2 چهار بار در خودش ضرب شود.

شما می توانید توان را بر روی اعدادی غیر از 2 نیز به کار ببرید. در اینجا دنباله دیگری داریم که ممکن است با آن آشنا باشید:

1   10   100   1,000   10,000   100,000   1,000,000...

در این دنباله، هر عدد 10 برابر از عدد قبلی خودش بزرگتر است. شما می توانید این دنباله را با توان ها به شکل زیر ایجاد کنید:


این دنباله برای تعریف "ارزش مکانی" بسیار مهم می باشد، "ارزش مکانی" مبنای سیستم عددی دهدهی (دسیمال) می باشد. در مورد سیستم دهدهی در فصل 2 بحث خواهم کرد. همینطور در فصل 11 در مورد سیستم دهدهی و در فصل 15 که در مورد نماد علمی اعداد صحبت می کنیم این مبحث را خواهیم داشت. در فصل 5 در مورد توان ها بیشتر و عمیقتر بحث خواهیم کرد.