پیدا کردن کوچکترین مضرب مشترک

یادتان باشد: کوچکترین مضرب مشترک (LCM: least common multiple) از یک مجموعه اعداد، کوچکترین عدد مثبت است که مضربی از تمامی اعداد موجود در مجموعه باشد.

برای مثال، کوچکترین مضرب مشترک اعداد 2، 3، و 5 عدد 30 می باشد، زیرا:

30 مضربی از 2 می باشد
```
2 . 15 = 30
```
30 مضربی از 3 می باشد
```
3 . 10 = 30
```
30 مضربی از 5 می باشد
```
5 . 6 = 30
```
هیچ عدد کوچکتر از 30 نداریم که مضربی از هر سۀ این اعداد باشد

در این بخش، دو روش برای پیدا کردن کوچکترین مضرب مشترک به شما یاد می دهم.

استفاده از جدول ضرب برای پیدا کردن کوچکترین مضرب مشترک

یادتان باشد: برای پیدا کردن کوچکترین مضرب مشترک از یک مجموعه اعداد، هر کدام از اعداد موجود در این مجموعه را همراه با لیستی از چندین مضرب اول آن به ترتیب بنویسید. کوچکترین مضرب مشترک اولین عددی است که در همه لیست ها موجود باشد.

نکته: هنگامی که به دنبال کوچکترین مضرب مشترک دو عدد هستید، با نوشتن لیست مضرب های عدد بزرگتر آغاز کنید، اما نوشتن این لیست را زمانی که تعداد مضرب هایی که نوشته اید برابر با عدد کوچکتر باشد، متوقف کنید. سپس شروع به نوشتن لیست مضرب های عدد کوچکتر کنید تا اینکه یکی از آنها با لیست دوم مطابقت کند.

برای مثال، فرض کنید می خواهید کوچکترین مضرب مشترک بین دو عدد 4 و 6 را بیابید. با نوشتن مضرب های عدد بزرگتر که 6 می باشد، آغاز کنید. در این مورد، تنها 4 مضرب از 6 را لیست کنید، چرا که عدد کوچکتر برابر با 4 می باشد.

حالا، شروع به لیست کردن مضرب های 4 کنید:

از آنجا که 12 اولین عددی است که در هر دو لیست مضرب ها ظاهر شده است، 12 کوچکترین مضرب مشترک 4 و 6 می باشد.

این روش، مخصوصاً در زمانی که بخواهید کوچکترین مضرب مشترک بین دو عدد را پیدا کنید بخوبی جواب می دهد، اما اگر تعداد اعداد شما بیشتر باشد، ممکن است زمان بیشتری ببرد. هنگامی که با سه عدد کار می کنید، ابتدا دو عدد کوچکتر را در یکدیگر ضرب کنید. برای دومین عدد بزرگتر، حاصلضرب آن دو عدد دیگر را بیابید، لیستی از مضرب های آن را به تعداد حاصلضرب دو عدد دیگر، ایجاد کنید. این کار را برای عدد کوچکتر نیز تکرار کنید.

برای مثال، فرض کنید می خواهید کوچکترین مضرب مشترک بین اعداد 2، 3، و 5 را بیابید. دوباره با بزرگترین عدد آغاز کنید - در اینجا 5 - و 6 مضرب از آن را لیست کنید (عدد 6 در واقع حاصلضرب دو عدد دیگر می باشد):

2 . 3 = 6

سپس، مضرب های 3 را لیست کنید، ده تا از مضرب هایش را بنویسید، چرا که 10 حاصلضرب آن دو عدد دیگر است:

2 . 5 = 10

تنها اعدادی که در هر دو لیست تکرار شده اند، 15 و 30 می باشند. در این مورد، شما می توانید خودتان را از مشکل ایجاد لیست سوم خلاص کنید، چرا که 30 واضحاً مضربی از 2 می باشد، و 15 اینطور نمی باشد. بنابراین 30 کوچکترین مضرب مشترک بین اعداد 2، 3، و 5 می باشد.

استفاده از فاکتور گیری اول برای پیدا کردن کوچکترین مضرب مشترک

یادتان باشد: روش دوم برای پیدا کردن کوچکترین مضرب مشترک از یک مجموعه اعداد استفاده از فاکتور گیری اول (prime factorization) آن اعداد می باشد.

چگونگی این روش:

فاکتورهای اول (prime factors) هر کدام از اعداد را لیست کنید. (چگونگی این کار در همین فصل آموزش داده شده است.)

فرض کنید می خواهید کوچکترین مضرب مشترک بین اعداد 18 و 24 را بیابید. لیست فاکتورهای اول هر کدام از این دو عدد را بیاورید:
```
18 = 2 . 3 . 3

24 = 2 . 2 . 2 . 3
```
در هر کدام از لیست ها، مواردی را که بیشتر از بقیه تکرار شده اند، زیر خط دار کنید.

عدد 2 در لیست فاکتورهای اول 18 یک مرتبه آمده است، اما در لیست مربوط به 24 تعداد سه مرتبه تکرار شده است، پس این سه عدد 2 را زیر خط دار کنید:

به طرز مشابهی، عدد 3 در لیست فاکتورهای اول 18 دو مرتبه ظاهر شده است اما در لیست 24 یک مرتبه آمده است، پس این دو عدد 3 را زیر خط دار کنید:
همۀ اعداد زیر خط دار را در یکدیگر ضرب کنید.

در اینجا حاصل ضرب را داریم:
```
2 . 2 . 2 . 3 . 3 = 72
```
بنابراین، کوچکترین مضرب مشترک بین 24 و 18 عدد 72 می باشد. برای درستی آزمایی عملیات زیر را انجام می دهیم:
```
18 . 4 = 72

24 . 3 = 72
```