درست مانند جمع کسرها، در مورد تفریق آنها نیز یکسری روش برای انتخاب کردن دارید. این سه روش مشابه روش هایی هستند که برای جمع کسرها به شما گفتم: روش ساده، ترفند سریع، و روش سنتی.





روش ساده همیشه کار می کند، و من این روش را برای بیشتر نیازهای تفریق کسرهایتان پیشنهاد می کنم. روش ترفند سریع برای صرفه جویی در زمان عالی می باشد، پس هر جا که بتوانید از آن استفاده کنید. و در مورد روش سنتی، با وجودیکه من آن روش را دوست ندارم، اما معلم شما و سایر سنت گرایان ریاضی احتمالاً آن را دوست دارند.

دانستن روش ساده تفریق کسرها

این روش تفریق کسرها در تمامی موارد کار می کند، و ساده هم می باشد. (در ادامه به شما یک روش سریع برای تفریق کسرها، نشان می دهم که می توانید آن را در مواقعی که یک مخرج ضریبی از مخرج کسر دیگر باشد مورد استفاده قرار دهید.) در اینجا روش ساده تفریق کسرها، در زمانی که مخرج کسرها متفاوت باشد را ارائه می کنیم:

1. صورت دو کسر را به شکل متقاطع در یکدیگر ضرب کنید (Cross-multiply) و عدد اول را منهای عدد دوم کنید تا به صورت پاسخ مساله برسید.
   
   برای مثال، فرض کنید که می خواهید 6/7 را منهای 2/5 کنید. برای رسیدن به صورت کسر پاسخ مساله، دو کسر را به صورت متقاطع در یکدیگر ضرب کنید و سپس حاصل آنها را از یکدیگر تفریق کنید (برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد ضرب متقاطع می توانید فصل 9 را ببینید):
   
   
   بعد از اینکه ضرب متقاطع را انجام دادید، مطمئن شوید که تفریق را در ترتیب صحیحی انجام داده اید. (عدد اول در این ترتیب، برابر با صورت کسر اول ضربدر مخرج کسر دوم می باشد.)
   
   
2. مخرج کسرها را در یکدیگر ضرب کنید تا به مخرج کسر پاسخ مساله برسید.
   
   
   
3. صورت پاسخ مساله را بر روی مخرج پاسخ مساله قرار دهید تا به پاسخ نهایی برسید.
   
   

در اینجا مثالی دیگر داریم:


در اینجا من تمامی مراحل را در یکجا قرار داده ام:


با مسائلی که به این شکل طرح شده اند، شما کافیست پاسخ را ساده تر کنید:


در این مورد، شما می توانید کسر را ساده تر کنید:

کوتاه کردن راه حل با یک ترفند سریع

روش ساده که در بخش قبل گفتم، در صورتیکه صورت و مخرج کسر کوچک باشند، بهتر کار می کند. هنگامی که صورت و مخرج کسر بزرگتر باشند ممکن است شما بتوانید یک میانبر بزنید.

قبل از اینکه کسرهای دارای مخرج متفاوت را تفریق کنید، مخرج کسرها را بررسی کنید که آیا مخرج یک کسر مضربی از مخرج کسر دیگر می باشد (برای اطلاعات بیشتر در مورد مضرب ها، فصل 8 را ببینید). اگر اینطور باشد، می توانید از این ترفند سریع استفاده کنید:

1. صورت و مخرج کسری که مخرج کوچکتر دارد را افزایش بدهید، به نحوی که مخرج آن با مخرج کسر بزرگتر برابر گردد.
   
   به عنوان مثال، فرض کنید که می خواهید پاسخ کسر 17/20 منهای 31/80 را بیابید. اگر این کسرها را به صورت متقاطع در یکدیگر ضرب کنید، نتایج شما خیلی بزرگتر از آن چیزی خواهد شد که شما بخواهید با آنها کار کنید. اما خوشبختانه، 80 مضربی از 20 می باشد، پس شما می توانید از روش سریع استفاده کنید.
   
   ابتدا، کسر 17/20 را به شکلی افزایش بدهید که مخرج آن برابر با 80 گردد (برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد چگونگی افزایش کسرها، فصل 9 را ببینید):
   
   
   
2. مساله را با کسر افزایش یافته دوباره بازنویسی کنید. حالا یک تفریق ساده دارید که مخرج کسرها با یکدیگر برابر می باشند.
   
   در اینجا یک مساله تفریق داریم که مخرج کسرها با یکدیگر برابر می باشند، که کار با آن به مراتب آسانتر است:
   
   
   در این مورد، مجبور نیستید که کسر را ساده تر کنید. البته در مسائل دیگر ممکن است مجبور به ساده کردن کسرها نیز گردید. (برای اطلاعات بیشتر در مورد ساده کردن کسرها، فصل 9 را ببینید.)
   

روش سنّتی تفریق کسرها

همانطور که در موضوع جمع کسرها، مطرح کردم، شما باید از روش سنتی فقط در مواردی که مجبور هستید استفاده نمایید. توصیه من به شما اینست که از این روش، تنها در مواقعی استفاده کنید که صورت و مخرج کسر اعداد خیلی بزرگی باشند و روش ساده سخت گردد، و همینطور شما نتوانید از ترفند سریع استفاده کنید.

برای استفاده از روش سنتی، جهت تفریق کسرهای دارای مخرج متفاوت، مراحل زیر را پیروی کنید:

1. ابتدا کوچکترین مضرب مشترک (LCM: least common multiple) بین مخرج کسرها را بیابید (برای پیدا کردن کوچکترین مضرب مشترک بین دو عدد می توانید فصل 8 را ببینید).
   
   برای مثال فرض کنید می خواهید مساله زیر را حل کنید:
   
   
   در اینجا چگونگی پیدا کردن کوچکترین مضرب مشترک بین اعداد 8 و 14 را با استفاده از روش فاکتور گیری اعداد اول (prime factorization) می بینید:
   
   
   من مواردی را که هر فاکتور اول (prime factor) بیشتر ظاهر شده است با زیر خط متمایز کرده ام: 2 سه بار، و 7 یکمرتبه ظاهر شده اند. بنابراین کوچکترین مضرب مشترک 8 و 14 برابر است با:
   
   
   
2. هر دو کسر را طوری افزایش بدهید که مخرج آنها برابر با کوچکترین مضرب مشترک گردد.
   
   مخرج هر دو کسر باید برابر با 56 گردد:
   
   
   
3. این دو کسر افزایش یافته را جایگزین دو کسر قبلی کنید. حالا یک تفریق دارید که کسرها دارای مخرج یکسان هستند و به سادگی قابل انجام است.
   
   
   اینبار نیازی به ساده کردن کسر نمی باشد، چرا که 5 یک عدد اول است و در ضمن 56 نیز بر 5 بخش پذیر نمی باشد. البته برخی مواقع مجبور می شوید که کسرها را ساده تر کنید.