خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
جمع و تفریق اعداد مخلوط
یک روش برای جمع و تفریق اعداد مخلوط (mixed numbers) اینست که ابتدا آنها را به کسرهای ناسره (improper fractions) تبدیل کنیم و سپس با همان روش هایی که در همین فصل آموزش دادیم عملیات را انجام بدهید و در پایان نتیجه را مجدداً به یک عدد مخلوط تبدیل کنید. انجام این کار کاملاً صحیح می باشد و شما بدون نیاز به یادگیری به روش جدیدی می توانید از همان روش هایی که قبلاً یاد گرفته اید به سادگی استفاده کنید.
متاسفانه، معلم ها دوست دارند که دانش آموزان جمع و تفریق اعداد مخلوط را فقط به روش خاصی که آنها می گویند انجام بدهند. خبر خوب اینست که خیلی از مردم فهمیده اند که روش های ساده تری از روش تبدیل به کسر ناسره وجود دارد. در این آموزش به روش های دیگری برای جمع و تفریق اعداد مخلوط می پردازیم.
جمع کردن اعداد مخلوط بسیار شبیه جمع کردن اعداد صحیح می باشد: شما آنها را در بالای یکدیگر به شکل ستونی می چینید و سپس با هم جمع می زنید. به همین دلیل برخی از دانش آموزان با جمع کردن اعداد مخلوط به نسبت کسرهای معمولی، احساس راحتی بیشتری دارند. در اینجا چگونگی جمع کردن دو عدد مخلوط را می بینید:
ممکن است پاسخ شما نیاز به ساده کردن داشته باشد. مثالهایی که در ادامه آمده اند، تمام چیزهایی را که شما نیاز است بدانید، پوشش داده اند:
درست مانند هر مساله دیگری که دارای کسرها باشد، همیشه جمع زدن کسرهای دارای مخرج یکسان ساده می باشد. برای مثال، فرض کنید می خواهید مساله زیر را حل کنید:
حل کردن مساله های مربوط به اعداد مخلوط معمولاً با چینش اعداد به صورت ستونی ساده تر می شود:
همانطور که می بینید، این چینش مشابه موقعی است که اعداد صحیح را با یکدیگر جمع می زنید، اما دارای یک ستون اضافی برای کسرها می باشد. در اینجا چگونگی جمع زدن این دو عدد مخلوط به صورت مرحله به مرحله آمده است:
این مساله به همان سادگی است که دیدید. در این مورد هر سه مرحله کاملاً ساده بودند. اما برخی اوقات مرحله 2 دقت بیشتری نیاز دارد. برای مثال مساله زیر را در نظر بگیرید:
در ادامه چگونگی حل این مساله آمده است:
درست مانند هر مساله دیگری که شامل کسرها باشد، گاهی اوقات شما در پایان مرحله 1 نیاز پیدا می کنید که کسرها را کاهش بدهید (ساده تر کنید).
ایده مشابه دیگری اینست که مهم نیست تعداد اعداد مخلوطی که با هم جمع می زنید چند تا باشند. برای مثال، مساله زیر را در نظر بگیرید:
سخت ترین نوع جمع کردن اعداد مخلوط زمانی است که مخرج کسرها متفاوت باشند. این تفاوت مراحل 2 و 3 را که در بالا دیدیم، تغییری نمی دهند، اما مرحلۀ 1 را سخت تر می کنند.
برای مثال فرض کنید که می خواهید اعداد 3/5 16 و 7/9 7 را با هم جمع بزنید.
روش اصلی تفریق اعداد مخلوط نزدیک به روشی است که آنها را جمع می کنید. دوباره، تفریق هم بیشتر شبیه موقعی است که اعداد صحیح را از یکدیگر تفریق می کنید. در اینجا چگونگی تفریق دو عدد مخلوط را می بینید:
با این حال در طول مسیر ممکن است با پیچ و خم هایی هم برخورد کنید. من شما را در این مسیر نگه می دارم، تا در پایان این بخش بتوانید مسائل تفریق مربوط به هر نوع عدد مخلوطی را حل کنید.
مشابه جمع کسرها، در تفریق کسرها نیز اگر مخرج ها یکسان باشند، کار بسیار ساده می شود. برای مثال، مساله زیر را در نظر بگیرید:
در ادامه این مساله را در شکل ستونی اش می بینید:
در این مساله من ابتدا تفریق بخش کسری را انجام می دهم:
و سپس بخش صحیح را تفریق می کنم:
خیلی ترسناک نبود، موافقید؟
یک پیچیدگی زمانی رخ می دهد که سعی دارید یک کسر بزرگتر را از یک کسر کوچکتر تفریق کنید. مساله زیر را در نظر بگیرید:
اینبار اگر سعی کنید کسرها را از یکدیگر تفریق کنید، خواهید داشت:
بدیهی است که شما نمی خواهید با یک عدد منفی در پاسخ نهایی تان مواجه شوید. شما می توانید این مشکل را با قرض گرفتن از ستون سمت چپ مدیریت کنید. این ایده بسیار شبیه قرض گرفتن در تفریق های معمولی اعداد صحیح می باشد، البته یک تفاوت کلیدی هم دارد.
هنگامی که در تفریق اعداد مخلوط قرض می گیرید،
به احتمال زیاد تفریق اعداد مخلوط که دارای مخرج متفاوت باشند، سختترین چیزی باشد که در پیش جبر ممکن است داشته باشید. با این حال، خوشبختانه، اگر شما این فصل را به خوبی یاد گرفته باشید، تمامی مهارتهای مورد نیاز برای انجام این کار را دارید.
مساله زیر را در نظر بگیرید:
از آنجا که مخرج ها متفاوت می باشند، تفریق کسرها، سختتر می گردد. اما شما سوال دیگری هم دارید که باید به آن فکر کنید: آیا در این مساله نیاز به قرض گرفتن دارید؟ اگر 4/11 بزرگتر از 3/7 باشد، شما نیازی به قرض گرفتن ندارید. اما اگر 4/11 کوچکتر از 3/7 باشد، شما نیاز دارید.
در فصل 9 چگونگی مقایسه کسرها با استفاده از روش ضرب متقابل (cross-multiplying) را گفتیم:
از آنجا که 28 کوچکتر از 33 می باشد، پس 4/11 کوچکتر از 3/7 است، پس شما نیاز به قرض گرفتن دارید:
الان مساله شما به این شکل در آمده است:
اولین مرحله، که تفریق کسرها می باشد، زمان برترین قسمت کار می باشد، در اینجا داریم:
خبر خوب اینست که این کسر نیازی به ساده کردن ندارد. این کسر نمی تواند ساده شده و کاهش یابد، چون 72 و 77 هیچ فاکتور مشترکی با هم ندارند:
این مساله تقریباً سختترین مساله مرتبط با اعداد مخلوط بود که تاکنون داشتیم. اگر از عهدۀ آن به خوبی برآمدید معنایش اینست که آموزش جمع و تفریق اعداد مخلوط را بخوبی فهمیده اید.
متاسفانه، معلم ها دوست دارند که دانش آموزان جمع و تفریق اعداد مخلوط را فقط به روش خاصی که آنها می گویند انجام بدهند. خبر خوب اینست که خیلی از مردم فهمیده اند که روش های ساده تری از روش تبدیل به کسر ناسره وجود دارد. در این آموزش به روش های دیگری برای جمع و تفریق اعداد مخلوط می پردازیم.
جمع کردن دو عدد مخلوط
جمع کردن اعداد مخلوط بسیار شبیه جمع کردن اعداد صحیح می باشد: شما آنها را در بالای یکدیگر به شکل ستونی می چینید و سپس با هم جمع می زنید. به همین دلیل برخی از دانش آموزان با جمع کردن اعداد مخلوط به نسبت کسرهای معمولی، احساس راحتی بیشتری دارند. در اینجا چگونگی جمع کردن دو عدد مخلوط را می بینید:
-
قسمت کسری را با هر روشی که دوست دارید با هم جمع بزنید، و اگر لازم باشد، حاصل جمع را به یک عدد مخلوط تبدیل کرده و آن را ساده کنید.
-
اگر پاسخی که در مرحله 1 به دست آورده اید، یک کسر ناسره می باشد، آن را به یک عدد مخلوط تبدیل کنید، بخش کسری آن را بنویسید و بخش صحیح آن را به ستون اعداد صحیح منتقل کنید.
-
بخش اعداد صحیح را جمع بزنید (همینطور اعدادی که به این بخش منتقل شده اند را نیز در این جمع لحاظ کنید).
ممکن است پاسخ شما نیاز به ساده کردن داشته باشد. مثالهایی که در ادامه آمده اند، تمام چیزهایی را که شما نیاز است بدانید، پوشش داده اند:
جمع کردن اعداد مخلوط هنگامی که مخرج آنها یکسان باشند
درست مانند هر مساله دیگری که دارای کسرها باشد، همیشه جمع زدن کسرهای دارای مخرج یکسان ساده می باشد. برای مثال، فرض کنید می خواهید مساله زیر را حل کنید:
حل کردن مساله های مربوط به اعداد مخلوط معمولاً با چینش اعداد به صورت ستونی ساده تر می شود:
همانطور که می بینید، این چینش مشابه موقعی است که اعداد صحیح را با یکدیگر جمع می زنید، اما دارای یک ستون اضافی برای کسرها می باشد. در اینجا چگونگی جمع زدن این دو عدد مخلوط به صورت مرحله به مرحله آمده است:
-
کسرها را با یکدیگر جمع بزنید.
-
اگر حاصل جمع کسرها یک کسر ناسره گردد، آن را تبدیل به یک عدد مخلوط کنید و جواب را بنویسید.
در اینجا چون 2/3 یک کسر سره می باشد، نیازی به این تغییر نداریم.
-
اعداد صحیح را با یکدیگر جمع بزنید.
مساله شما در شکل ستونی به این صورت خواهد بود:
این مساله به همان سادگی است که دیدید. در این مورد هر سه مرحله کاملاً ساده بودند. اما برخی اوقات مرحله 2 دقت بیشتری نیاز دارد. برای مثال مساله زیر را در نظر بگیرید:
در ادامه چگونگی حل این مساله آمده است:
-
کسرها را با یکدیگر جمع بزنید.
-
کسر ناسره را تبدیل به عدد مخلوط کنید، بخش کسری را بنویسید و عدد صحیح را به ستون مربوط به آن انتقال بدهید.
از آنجا که پاسخ یک کسر ناسره می باشد، آن را به عدد مخلوط 2/5 1 تبدیل کنید. حالا قسمت کسری یعنی 2/5 را بنویسید و عدد 1 را به ستون اعداد صحیح منتقل کنید.
-
اعداد صحیح را با یکدیگر جمع بزنید. در این جمع اعداد صحیح انتقال داده شده را نیز در نظر بگیرید.
در اینجا چگونگی حل مساله در شکل ستونی را می بینید. (مطمئن شوید که قسمتهای کسری را در یک ستون و همینطور قسمتهای صحیح را در ستون دیگر مرتب کرده باشید.)
درست مانند هر مساله دیگری که شامل کسرها باشد، گاهی اوقات شما در پایان مرحله 1 نیاز پیدا می کنید که کسرها را کاهش بدهید (ساده تر کنید).
ایده مشابه دیگری اینست که مهم نیست تعداد اعداد مخلوطی که با هم جمع می زنید چند تا باشند. برای مثال، مساله زیر را در نظر بگیرید:
-
کسرها را با یکدیگر جمع بزنید.
-
کسرهای ناسره را به اعداد مخلوط تبدیل کنید، قسمت کسری را بنویسید، و قسمت صحیح را به ستون مربوطه منتقل کنید.
از آنجا که نتیجه یک کسر ناسره می باشد، آن را به عدد مخلوط 6/9 2 تبدیل می کنیم. و سپس آن را به 2/3 2 ساده می کنیم. قسمت کسری یعنی 2/3 را بنویسید و قسمت صحیح عدد یعنی 2 را به ستون اعداد صحیح منتقل کنید.
-
اعداد صحیح را با یکدیگر جمع بزنید.
در ادامه مساله حل شده را در شکل ستونی می بینید:
جمع کردن اعداد مخلوط هنگامی که مخرج آنها متفاوت باشند
سخت ترین نوع جمع کردن اعداد مخلوط زمانی است که مخرج کسرها متفاوت باشند. این تفاوت مراحل 2 و 3 را که در بالا دیدیم، تغییری نمی دهند، اما مرحلۀ 1 را سخت تر می کنند.
برای مثال فرض کنید که می خواهید اعداد 3/5 16 و 7/9 7 را با هم جمع بزنید.
-
کسرها را با یکدیگر جمع بزنید.
اعداد 3/5 و 7/9 را با یکدیگر جمع بزنید. شما از هر کدام از روش هایی که در همین فصل دیدید می توانید استفاده کنید، من از روش ساده استفاده کرده ام:
-
کسرهای ناسره را به اعداد مخلوط تبدیل کنید، قسمت کسری آن را بنویسید و قسمت صحیح اش را منتقل کنید.
از آنجا که این کسر ناسره می باشد آن را به عدد مخلوط 17/45 1 تبدیل می کنیم. قسمت کسری این عدد قابل ساده کردن بیشتر از این نمی باشد. پس ما 17/45 را می نویسیم و 1 را به ستون اعداد صحیح منتقل می کنیم.
-
اعداد صحیح را با هم جمع کنید.
شکل ستونی مساله را در زیر می بینید:
تفریق اعداد مخلوط
روش اصلی تفریق اعداد مخلوط نزدیک به روشی است که آنها را جمع می کنید. دوباره، تفریق هم بیشتر شبیه موقعی است که اعداد صحیح را از یکدیگر تفریق می کنید. در اینجا چگونگی تفریق دو عدد مخلوط را می بینید:
-
حاصل تفریق بخش کسری را با هر کدام از روش ها که ترجیح می دهید، بدست آورید.
-
حاصل تفریق دو عدد صحیح را بدست آورید.
با این حال در طول مسیر ممکن است با پیچ و خم هایی هم برخورد کنید. من شما را در این مسیر نگه می دارم، تا در پایان این بخش بتوانید مسائل تفریق مربوط به هر نوع عدد مخلوطی را حل کنید.
تفریق اعداد مخلوط هنگامی که مخرج آنها یکسان باشند
مشابه جمع کسرها، در تفریق کسرها نیز اگر مخرج ها یکسان باشند، کار بسیار ساده می شود. برای مثال، مساله زیر را در نظر بگیرید:
در ادامه این مساله را در شکل ستونی اش می بینید:
در این مساله من ابتدا تفریق بخش کسری را انجام می دهم:
و سپس بخش صحیح را تفریق می کنم:
خیلی ترسناک نبود، موافقید؟
یک پیچیدگی زمانی رخ می دهد که سعی دارید یک کسر بزرگتر را از یک کسر کوچکتر تفریق کنید. مساله زیر را در نظر بگیرید:
اینبار اگر سعی کنید کسرها را از یکدیگر تفریق کنید، خواهید داشت:
بدیهی است که شما نمی خواهید با یک عدد منفی در پاسخ نهایی تان مواجه شوید. شما می توانید این مشکل را با قرض گرفتن از ستون سمت چپ مدیریت کنید. این ایده بسیار شبیه قرض گرفتن در تفریق های معمولی اعداد صحیح می باشد، البته یک تفاوت کلیدی هم دارد.
هنگامی که در تفریق اعداد مخلوط قرض می گیرید،
-
تعداد 1 واحد از بخش اعداد صحیح قرض بگیرید و آن را به بخش کسری اضافه کنید، این مساله کسر شما را به یک عدد مخلوط تبدیل می کند.
در این مورد از عدد 11 تعداد 1 واحد قرض بگیرید و آن را به کسر 1/6 اضافه کنید، در نتیجه عدد مخلوط شما 1/6 1 خواهد شد:
-
این عدد مخلوط جدید را به یک کسر ناسره تبدیل کنید.
بعد از تبدیل 1/6 1 به یک کسر ناسره خواهیم داشت:
پاسخ 7/6 10 خواهد شد. این پاسخ یک چیز عحیب و غریب بین یک کسر ناسره و یک عدد مخلوط می باشد، اما در عین حال چیزی است که برای مدیریت مساله به آن نیاز دارید.
-
از این نتیجه در تفریق خود استفاده کنید.
در این مورد، شما باید پاسخ را ساده تر نیز کنید:
تفریق اعداد مخلوط هنگامی که مخرج آنها متفاوت باشند
به احتمال زیاد تفریق اعداد مخلوط که دارای مخرج متفاوت باشند، سختترین چیزی باشد که در پیش جبر ممکن است داشته باشید. با این حال، خوشبختانه، اگر شما این فصل را به خوبی یاد گرفته باشید، تمامی مهارتهای مورد نیاز برای انجام این کار را دارید.
مساله زیر را در نظر بگیرید:
از آنجا که مخرج ها متفاوت می باشند، تفریق کسرها، سختتر می گردد. اما شما سوال دیگری هم دارید که باید به آن فکر کنید: آیا در این مساله نیاز به قرض گرفتن دارید؟ اگر 4/11 بزرگتر از 3/7 باشد، شما نیازی به قرض گرفتن ندارید. اما اگر 4/11 کوچکتر از 3/7 باشد، شما نیاز دارید.
در فصل 9 چگونگی مقایسه کسرها با استفاده از روش ضرب متقابل (cross-multiplying) را گفتیم:
از آنجا که 28 کوچکتر از 33 می باشد، پس 4/11 کوچکتر از 3/7 است، پس شما نیاز به قرض گرفتن دارید:
الان مساله شما به این شکل در آمده است:
اولین مرحله، که تفریق کسرها می باشد، زمان برترین قسمت کار می باشد، در اینجا داریم:
خبر خوب اینست که این کسر نیازی به ساده کردن ندارد. این کسر نمی تواند ساده شده و کاهش یابد، چون 72 و 77 هیچ فاکتور مشترکی با هم ندارند:
72 = 2 .2 .2 . 3 .3بنابراین، قسمت سخت کار انجام شده است و بقیه کار به شرح زیر می باشد:
77 = 7 . 11
این مساله تقریباً سختترین مساله مرتبط با اعداد مخلوط بود که تاکنون داشتیم. اگر از عهدۀ آن به خوبی برآمدید معنایش اینست که آموزش جمع و تفریق اعداد مخلوط را بخوبی فهمیده اید.
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: