خوش آموز اولین و تنها سایت آموزشی %100 رایگان ایران با 4635 آموزش متنی، تصویری و ویدئویی

کار با نماد علمی (Scientific Notation)

کار با نماد علمی (Scientific Notation)

کد مطلب : 4449 PDF

نماد علمی (Scientific Notation) یک سیستم برای نگارش اعداد خیلی بزرگ و خیلی کوچک می باشد که کار کردن با آن اعداد را ساده تر می کند. هر عددی می تواند با نماد علمی، به شکل حاصلضرب دو عدد نوشته شود.

دوره آموزش رایگان ریاضی پایه و جبر

  • یک عدد اعشاری (decimal) که بزرگتر یا کوچکتر از 1 می باشد و از 10 نیز کوچکتر می باشد (برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد اعداد اعشاری می توانید فصل 11 را ببینید)
  • یک مضرب از ده که به شکل توان دار نمایش داده شده است (که در همین فصل در موردش توضیحات لازم را دادیم)

نوشتن اعداد به صورت نماد علمی


در اینجا چگونگی نگارش اعداد به صورت نماد علمی را می بینید:

  1. عدد را به شکل اعشاری بنویسید (البته اگر عدد خودش اعشاری نباشد).

    فرض کنید که می خواهید عدد 360,000,000 را با نماد علمی بنویسید. ابتدا آن را به شکل اعشاری بنویسید:

    کار با نماد علمی (Scientific Notation)
  2. ممیز اعشاری را به نحوی حرکت دهید که این عدد به یک عدد جدیدتر تبدیل شود که بین 1 و 10 باشد.

    ممیز اعشاری را به سمت راست یا چپ حرکت دهید تا فقط یک رقم غیر از صفر قبل از ممیز اعشاری باقی بماند. هر نوع صفر قبل از عدد (leading zeros) و همینطور دنباله صفرهای بعد از اعشار (trailing zeros) را حذف کنید.

    در مورد عدد 360,000,000.0 ، فقط عدد 3 باید قبل از ممیز اعشاری باشد. پس ممیز اعشاری را 8 خانه به سمت چپ حرکت می دهیم، دنباله صفرهای بعد از اعشار را حذف می کنیم و عدد 3.6 باقی می ماند:

    کار با نماد علمی (Scientific Notation)
  3. این عدد جدید را در 10 به توان تعداد حرکتهای ممیز اعشاری در مرحلۀ 2 ضرب کنید.

    شما ممیز اعشاری را 8 خانه حرکت دادید، بنابراین عدد 10 به توان 8 خواهد رسید:

    کار با نماد علمی (Scientific Notation)
  4. اگر در مرحلۀ 2 ممیز اعشاری را به سمت راست حرکت داده باشید، یک علامت منفی در کنار توان قرار دهید.

    از آنجا که در این مثال ممیز اعشاری را به سمت چپ حرکت داده اید، پس علامت منفی لازم ندارد. بنابراین در پایان خواهیم داشت:
    360,000,000 = 3.6 . 108
    

تبدیل کردن یک عدد اعشاری به نماد علمی مراحل یکسانی دارد. برای مثال، فرض کنید که می خواهید عدد 0.00006113 را به نماد علمی معادل آن تبدیل کنید:

  1. عدد 0.00006113 را به صورت اعشاری بنویسید (از آنجا که خود عدد اعشاری است پس این مرحله لازم نیست).

    کار با نماد علمی (Scientific Notation)
  2. برای تبدیل 0.00006113 به یک عدد جدید که بین 1 و 10 باشد، ممیز اعشاری را پنج خانه به سمت راست حرکت بدهید و صفرهای قبل از عدد را حذف کنید:

    کار با نماد علمی (Scientific Notation)
  3. از آنجا که ممیز اعشاری را پنج خانه حرکت داده اید، عدد جدید را در عدد 10 به توان 5 ضرب کنید:

    کار با نماد علمی (Scientific Notation)
  4. از آنجا که ممیز اعشاری را به سمت راست حرکت داده اید، یک علامت منفی کنار توان بگذارید:

    کار با نماد علمی (Scientific Notation)
    بنابراین خواهیم داشت:
    0.00006113 =  6.113 . 10–5
    


بعد از اینکه در نگارش اعداد با نماد علمی مهارت لازم را پیدا کردید، می توانید تمام این کارها را در یک مرحله انجام بدهید. در اینجا چند مثال داریم:

کار با نماد علمی (Scientific Notation)

چرا نماد علمی درست کار می کند؟


بعد از اینکه دانستید نماد علمی چگونه کار می کند، در موقعیت بهتری برای دانستن این هستید که چرا نماد علمی درست کار می کند. فرض کنید با عدد 4,500 کار می کنید. در ابتدا، شما می دانید که می توانید هر عددی را در عدد 1 ضرب کنید و تغییری در آن عدد ایجاد نخواهد شد، پس در اینجا یک معادلۀ صحیح داریم:

کار با نماد علمی (Scientific Notation)
از آنجا که 4,500 با یک 0 خاتمه می یابد، پس بر 10 بخش پذیر می باشد (برای اطلاعات بیشتر در مورد بخش پذیری فصل 7 را ببینید). پس شما می توانید عدد 10 را به شکل زیر فاکتور بگیرید:

کار با نماد علمی (Scientific Notation)
همچنین، از آنجا که 4,500 با دو 0 خاتمه می یابد، بر 100 نیز بخش پذیر می باشد، پس می توانید 100 را فاکتور بگیرید:

کار با نماد علمی (Scientific Notation)
در هر مورد، شما یک 0 دیگر از انتهای 45 حذف کردید و آن را بعد از 1 قرار دادید. در این مرحله، شما دیگر 0 دیگری برای حذف کردن ندارید، اما می توانید با حرکت دادن ممیز اعشاری به میزان یک خانه به سمت چپ این الگو را ادامه بدهید:

کار با نماد علمی (Scientific Notation)
آنچه شما از ابتدای کار انجام داده اید اینست که ممیز اعشاری را یک خانه به سمت چپ حرکت داده اید و آن را در عدد 10 ضرب کرده اید. اما به سادگی می توانید ممیز اعشاری را یک خانه به سمت راست حرکت بدهید و آن را در عدد 0.1 ضرب کنید. یا آن را دو خانه به سمت راست ببرید و در عدد 0.01 ضرب کنید، یا سه خانه به سمت راست ببرید و در عدد 0.001 ضرب کنید:

کار با نماد علمی (Scientific Notation)
همانطور که می بینید، شما کاملاً انعطاف پذیری های لازم را برای نمایش عدد 4,500 به صورت یک عدد اعشاری که در مضربی از ده ضرب گردد، دارید. همانطور که باید، در نماد علمی، عدد اعشاری باید بین 1 و 10 باشد، پس اشکال زیر معادله ای است که انتخاب می شود:

کار با نماد علمی (Scientific Notation)
آخرین مرحله اینست که 1,000 را به شکل توان دار آن نمایش بدهیم. کافیست تعداد 0 های 1,000 را بشمارید و عدد را به شکل توانی از 10 بنویسید:

کار با نماد علمی (Scientific Notation)
اثر خالص اینست که ممیز اعشاری را سه خانه به سمت چپ حرکت داده اید و 10 را به توان 3 رسانده اید. شما می بینید که این ایده در مورد تمامی اعداد، صرفنظر از اینکه چقدر بزرگ یا کوچک باشند، به درستی کار می کند.

درک مرتبه بزرگی (order of magnitude)


یک سوال خوب اینست که چرا نماد علمی همیشه از یک عدد بین 1 و 10 استفاده می کند. پاسخ اینست که به دلیل "مرتبه بزرگی". مرتبه بزرگی (order of magnitude) یک روش ساده برای مقایسه ساده و آسان اعداد جهت فهمیدن عدد بزرگتر است. مرتبه بزرگیِ یک عدد، توان آن عدد در نماد علمی آن می باشد. برای مثال:

کار با نماد علمی (Scientific Notation)
هر عددی که با 10 آغاز شود اما از 100 کوچکتر باشد دارای "مرتبه بزرگی" 1 می باشد. هر عددی که با 100 آغاز شود اما از 1,000 کوچکتر باشد، دارای مرتبه بزرگی 2 می باشد.

ضرب با نماد علمی


ضرب کردن اعدادی که به شکل نماد علمی هستند نسبتاً ساده می باشد چرا که ضرب کردن مضرب های ده ساده می باشد. در اینجا چگونگی ضرب دو عدد در شکل نماد علمی را می بینید:

  1. دو قسمت اعشاری اعداد را در یکدیگر ضرب کنید.

    فرض کنید می خواهید دو عدد زیر را در هم ضرب کنید:

    کار با نماد علمی (Scientific Notation)
    ضرب یک عملیات جابجایی پذیر (commutative) می باشد (فصل 4 را ببینید)، پس می توانید بدون اینکه نتیجه عوض شود، ترتیب اعداد را تغییر بدهید. و به دلیل ویژگی شرکت پذیری (associative property)، امکان تعیین چگونگی گروه بندی اعداد در عملیات ضرب را نیز دارید. بنابراین می توانید این مسأله را به شکل زیر بنویسید:

    کار با نماد علمی (Scientific Notation)
    حالا آنچیزی را که در اولین جفت پرانتز قرار دارد - 2 . 4.3 - را در یکدیگر ضرب کنید، تا حاصلضرب قسمت اعشاری مساله را بیابید:

    کار با نماد علمی (Scientific Notation)
  2. دو قسمت توان دار را با جمع کردن توان هایشان در یکدیگر ضرب کنید.

    کار با نماد علمی (Scientific Notation)
  3. پاسخ های بدست آمده در مراحل 1 و 2 را به شکل یک ضرب بنویسید.

    کار با نماد علمی (Scientific Notation)
  4. اگر قسمت اعشاری پاسخ مساله 10 یا بزرگتر از 10 باشد، ممیز اعشاری را یک خانه به سمت چپ حرکت بدهید و توان 10 را با عدد 1 جمع بزنید.

    از آنجا که 8.6 از 10 کوچکتر است، در اینجا نیازی ندارید تا ممیز اعشاری را حرکت بدهید. بنابراین پاسخ نهایی خواهد بود:

    کار با نماد علمی (Scientific Notation)
    توجه: این نماد علمی برابر با عدد 8,600,000,000,000 می باشد.

    نکات فنی: از آنجا که در نماد علمی از اعداد اعشاری مثبت کوچکتر از 10 استفاده می شود، هنگامی که دو تا از این اعداد اعشاری را در یکدیگر ضرب کنید، حاصلضرب همواره عددی مثبت خواهد بود که کوچکتر از 100 می باشد. بنابراین در مرحلۀ 4، شما هرگز موردی نخواهید داشت که مجبور شوید ممیز اعشاری را بیش از 1 خانه به سمت چپ حرکت بدهید.

این روش در صورتی که یکی از نمادهای علمی و یا حتی هر دوی آنها اعداد منفی باشند، باز هم درست کار خواهد کرد. برای مثال، مساله زیر را در نظر بگیرید:

کار با نماد علمی (Scientific Notation)
  1. قسمت اعشاری را در یکدیگر ضرب کنید:

    کار با نماد علمی (Scientific Notation)
  2. حالا قسمت توان دار اعداد را در یکدیگر ضرب نمایید:

    کار با نماد علمی (Scientific Notation)
  3. پاسخ را به شکل حاصلضربی از نتایج مراحل 1 و 2 بنویسید:

    کار با نماد علمی (Scientific Notation)
  4. از آنجا که 54.18 بزرگتر از 10 می باشد، ممیز اعشاری را یک خانه به سمت چپ حرکت بدهید و 1 را به توان اضافه کنید:

    کار با نماد علمی (Scientific Notation)
    توجه: این عدد در شکل اعشاری اش برابر با 0.0005418 می باشد.

نماد علمی در مواقعی که می خواهید اعداد خیلی بزرگ و خیلی کوچک را در یکدیگر ضرب کنید، واقعاً موفقیت آمیز هستند. برای درک بهتر اهمیت نماد علمی، کافیست بدانید، اگر می خواستید مثال قبلی را به شکل معمول حل کنید با مساله زیر مواجه بودید:

کار با نماد علمی (Scientific Notation)
همانطور که می بینید، نماد علمی به شدت کار را ساده تر می کند.



نویسنده : امیر انصاری

دیدگاه ها(0)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر