خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
محیط، مساحت، مساحت رویه، و حجم
در این بخش، چند فرمول مهم برای اندازه گیری شکل ها (shapes) در سطح و سالیدها (solids) در فضا را به شما معرفی می کنم. این فرمولها به جای اعداد از حروف الفبا استفاده می کنند و شما می توانید برای اندازه گیری های خاص اعدادتان را جایگزین این حروف الفبا کنید. استفاده از حروف الفبا به جای اعداد یک ویژگی است که در بخش 5 - هنگامی که در مورد جبر صحبت می کنم - بیشتر آن را خواهید دید.
دو مهارت مهم در هندسه - و در زندگی واقعی - پیدا کردم محیط (perimeter) و مساحت (area) شکل ها می باشد. محیط یک شکل، اندازه گیری طول ضلعهای آن می باشد. شما از محیط برای اندازه گیری مسافت اطراف لبه های یک اتاق، ساختمان، یا مسیر مدوّر استفاده می کنید. مساحت یک شکل اندازه گیری میزان بزرگی داخل آن است. شما از مساحت در هنگام اندازه گیری یک دیوار، یک میز، یا یک لاستیک استفاده می کنید.
برای مثال، در شکل 10-16، اندازه ضلع های هر شکل را به شما داده ام.
به طرز مشابهی، در شکل 11-16 مساحت هر شکل را به شما داده ام.
من این نوع محاسبات را در این بخش پوشش می دهم.
مرکز یک دایره (center of a circle) یک نقطه است که فاصله آن با تمامی نقاط روی همان دایره برابر می باشد. این فاصله شعاع (radius) دایره نامیده می شود، که به صورت مختصر فقط r نیز نامیده می شود. و هر پاره خطی (line segment) که از یک نقطه بر روی دایره آغاز شود و از مرکز دایره بگذرد و به نقطه دیگری روی دایره برسد، قطر دایره (diameter) نامیده می شود، که به اختصار به آن d نیز گفته می شود. شکل 12-16 را ببینید.
همانطور که می بینید، قطر هر دایره متشکل از یک شعاع دایره، بعلاوۀ شعاع دیگری از دایره می باشد - یعنی دو شعاع. این مفهوم، فرمول سودمند زیر را به شما می دهد:
برای مثال، اگر یک دایره با شعاع 5 میلیمتر را به شما بدهند، شما می توانید قطر آن را به شکل زیر پیدا کنید:
از آنجا که دایره (circle) یک شکل فوق العادۀ خاص است، محیط آن (طول لبه های آن) نیز یک نام فوق العادۀ خاص دارد: circumference (محیط دایره) که به اختصار به آن C نیز می گویند. ریاضیدانان اولیه برای پیدا کردن محیط یک دایره مشکلات فراوانی داشتند. این فرمولی است که آنها کشف کرده اند:
توجه: از آنجا که r . 2 با قطر دایره برابر می باشد، شما می توانید این فرمول را به شکل زیر نیز بنویسد:
بنابراین در یک دایره مشخص با شعاع 5 میلیمتر، شما می توانید محیط تقریبی آن را پیدا کنید:
فرمول پیدا کردن مساحت دایره نیز از عدد پی استفاده می کند - مساحت (area) را به اختصار با A نشان می دهند:
در اینجا چگونگی استفاده از این فرمول برای پیدا کردن مساحت تقریبی یک دایره با شعاع 5 mm را می بینید:
در این بخش، در مورد چگونگی اندازه گیری محیط و مساحت همۀ مثلثها بحث خواهم کرد. سپس، یک ویژگی در ارتباط با مثلث های قائم الزاویه (right triangles) را به شما می گویم که به شما امکان می دهد آنها را خیلی ساده تر اندازه گیری کنید.
ریاضیدانان هیچ فرمول خاصی را برای پیدا کردن محیط یک مثلث ارائه نکرده اند، آنها فقط طول اضلاع مثلث را با هم جمع می زنند.
برای پیدا کردن مساحت یک مثلث، نیاز دارید تا طول یکی از اضلاع آن را بدانید - ضلع پایه (base) که به اختصار b نامیده می شود - و ارتفاع (height) که به اختصار h نامیده می شود. توجه کنید که ارتفاع مثلث با ضلع پایه آن یک زاویۀ قائمه را تشکیل می دهند. شکل 13-16 یک مثلث را با طول ضلع پایه 5 سانتیمتر و ارتفاع 2 سانتیمتر نشان می دهد:
در اینجا فرمول محاسبه مساحت مثلث را می بینید:
بنابراین در اینجا چگونگی پیدا کردن مساحت یک مثلث که ضلع پایه آن 5 cm و ارتفاع آن 2 cm می باشد، را می بینید:
ضلع طولانی یک مثلث قائم الزاویه (c) وتر (hypotenuse) نامیده می شود، و دو ضلع کوچکتر (a و b) پاها (legs) نامیده می شوند (شکل 14-16 را ببینید). مهمترین فرمول مثلث قائم الزاویه (right triangle) قضیه فیثاغورس می باشد:
این فرمول به شما امکان می دهد تا وتر یک مثلث قائم الزاویه را تنها با دانستن طول پاهای آن بدست آورید. برای مثال، فرض کنید که پاهای یک مثلث قائم الزاویه 3 و 4 واحد باشند. چگونگی استفاده از قضیه فیثاغورث برای پیدا کردن وتر آن به شکل زیر می باشد:
بنابراین اگر c را در خودش ضرب کنید، حاصل آن 25 می شود. پس:
طول وتر برابر با 5 واحد می باشد.
حرف s نشان دهندۀ ضلع مربع می باشد. برای مثال، اگر ضلع یک مربع 3 اینچ باشد، شما خواهید گفت:
برای مثال، اگر طول یک ضلع مربع 3 inches باشد، کافیست 3 inches را در فرمول جایگزین حرف s کنید:
پیدا کردن مساحت یک مربع نیز ساده است: فقط طول یک ضلع را در خودش ضرب کنید - یعنی، مربع ضلع (آن را به توان 2 برسانید) را بدست آورید. در اینجا دو روش برای نگارش فرمول مساحت مربع را می بینید:
برای مثال، اگر ضلع یک مربع 3 inches باشد، شما خواهید داشت:
ضلع بلندتر یک مستطیل طول (length) نامیده می شود، که به اختصار به آن l می گویند. ضلع کوتاهتر آن عرض (width) نامیده می شود، که به اختصار به آن w می گویند. برای مثال در یک مستطیل که اضلاع آن 5 و 4 فوت هستند، داریم:
از آنجا که یک مستطیل دو طول و دو عرض دارد، شما می توانید برای پیدا کردن محیط یک مستطیل از فرمول زیر استفاده کنید:
محاسبه محیط یک مستطیل که طول آن 5 yards و عرض آن 2 yards می باشد، به شرح زیر است:
$$P=2 \cdot (5 \text{ yd. } + 2 \text{ yd. }) = 2 \cdot 7 \text{ yd. } = 14 \text{ yd. }$$
فرمول پیدا کردن مساحت مستطیل به شرح زیر است:
در اینجا چگونگی محاسبه مساحت مستطیل مثال بالا را می بینید:
مشابه مربع، از حرف s برای نمایش طول یک ضلع لوزی استفاده می شود. امّا اندازه گیری کلیدی دیگر در لوزی، ارتفاع آن می باشد. ارتفاع یک لوزی را به اختصار با h نشان می دهند، که کوتاهترین فاصله از یک ضلع لوزی به ضلع مقابل آن می باشد. در شکل 15-16 داریم:
فرمول محاسبه محیط یک لوزی با فرمول محیط مربع یکسان می باشد:
در اینجا چگونگی محاسبه محیط یک لوزی که ضلع آن 4 سانتیمتر می باشد را می بینید:
برای اندازه گیری مساحت یک لوزی، شما هم به طول ضلع و هم به ارتفاع نیاز دارید. فرمول به شرح زیر می باشد:
در اینجا چگونگی محاسبه مساحت یک لوزی که ضلع آن 4 cm و ارتفاعش 2 cm می باشد را می بینید:
ضلعهای بالا و پایین یک متوازی الاضلاع (parallelogram) پایه های آن (bases) نامیده می شوند و به اختصار آن را با b نشان می دهند، و دو ضلع باقیمانده فقط ضلع نامیده می شوند و با حرف s نشانشان می دهند. و مشابه لوزی (rhombuses)، اندازه گیری مهم دیگر در مورد متوازی الاضلاع ارتفاع (height) آن می باشد که به اختصار h گفته می شود. ارتفاع کوتاهترین فاصله بین پایه های متوازی الاضلاع می باشد. بنابراین متوازی الاضلاع موجود در شکل 16-16 این اندازه گیری ها را دارد:
هر متوازی الاضلاع دو پایه برابر و دو ضلع برابر دارد. بنابراین، این فرمول محاسبه محیط متوازی الاضلاع می باشد:
برای پیدا کردن محیط متوازی الاضلاع نمایش داده شده در این بخش، فقط کافیست اندازه گیری های پایه ها و ضلع ها را در فرمول جایگزین کنید:
در اینجا فرمول مساحت متوازی الاضلاع را داریم:
در اینجا مساحت مثال این بخش را می بینید:
ضلع های موازی ذوزنقه (trapezoid) پایه های آن نامیده می شوند. از آنجا که این پایه ها دارای طول های متفاوت می باشند، می توانید آنها را b1 و b2 بنامید. ارتفاع یک ذوزنقه کوتاهترین فاصله بین پایه ها می باشد. بنابراین، ذوزنقه موجود در تصویر 17-16 دارای اندازه گیری های زیر می باشد:
از آنجا که طول ضلعهای ذوزنقه می توانند با هم متفاوت باشند، برای پیدا کردن محیط آن نیازی به فرمول خاصی ندارید. فقط طول ضلعهای آن را با هم جمع بزنید و پاسخ را به دست خواهید آورد.
در اینجا فرمول مساحت ذوزنقه را می بینید:
در اینجا، چگونگی محاسبه مساحت ذوزنقه مثال این بخش را می بینید:
توجه: بدلیل ویژگی شرکت پذیری (associative property) - در این مورد فصل 4 را می توانید ببینید - من اجازه دارم in. 5 را در in. 2 ضرب کنم، قبل از اینکه آن را در 1/2 ضرب کرده باشم.
در سه بعد، مفهوم محیط (perimeter) و مساحت (area) اندکی باید مورد اصلاح قرار گیرد.
به یاد بیاورید که در شکل های دو بعدی، محیط یک شکل اندازه گیری مرزهای آن بود، و مساحت یک شکل اندازه گیری داخل شکل بود. در شکل های سه بعدی، مرزهای یک سالید (solid) مساحت رویه (surface area) و آنچه که در داخل یک سالید می باشد، حجم (volume) نامیده می شود.
با این حال، پیدا کردن حجم سالیدها، چیزی است که ریاضیدانها دوست دارند تا شما بدانید. در بخش های بعدی، فرمول هایی را برای محاسبه حجم انواع مختلفی از چندوجهی ها به شما ارائه می دهم.
مرکز کره نقطه ای است که با هر نقطه دیگری بر روی همان کره، فاصله یکسانی دارد. این فاصله، شعاع کره (radius) نامیده می شود که به اختصار به آن r می گویند. اگر شما شعاع کره را بدانید، می توانید با فرمول زیر، حجم آن را محاسبه کنید:
از آنجا که این فرمول شامل عدد پی π می باشد، استفاده از 3.14 به عنوان یک تقریب برای عدد پی به شما یک حجم تقریبی را می دهد. برای مثال، در اینجا چگونگی پیدا کردن حجم تقریبی یک توپ با شعاع 4 اینچ را می بینید.
مهمترین اندازه گیری در مورد مکعب مربع، طول ضلع (side) آن می باشد. با استفاده از این اندازه گیری، می توانید با فرمول زیر حجم یک مکعب را بدست آورید:
بنابراین، اگر اندازه ضلع یک مکعب مربع 5 متر باشد، چگونگی بدست آوردن حجم آن را در زیر می بینید:
حجم این مکعب مربع را به شکل 125 متر مکعب می خوانند.
در اینجا به جعبه ها (Boxes) که به آنها مکعب مستطیل (Rectangular solids) نیز گفته می شود، می پردازیم. سه اندازه گیری مهم در مورد یک مکعب مستطیل، طول (length) آن که به اختصار l گفته می شود، عرض (width) آن که به اختصار w گفته می شود، و ارتفاع (height) آن که به اختصار h گفته می شود، می باشند. مکعب مستطیلی که در تصویر 18-16 می بینید، شامل اندازه گیری های زیر می باشد:
شما می توانید حجم یک مکعب مستطیل را از فرمول زیر بدست آورید:
در اینجا چگونگی محاسبه حجم مکعب مستطیل نمایش داده شده در مثال بالا را می بینید:
پیدا کردن حجم یک منشور (prism) - منشورها را می توانید در شکل 7-16 در همین فصل ببینید - در صورتیکه که دو اندازه گیری را داشته باشید، آسان می باشد. یک اندازه گیری، ارتفاع (height) منشور می باشد. دومین اندازه گیری، مساحت پایه (area of the base) منشور که به اختصار به آن Ab گفته می شود، می باشد. پایه یک چندضلعی می باشد که از سطح به صورت عمودی امتداد یافته است.
در اینجا، فرمول پیدا کردن حجم یک منشور را می بینید:
برای مثال، فرض کنید یک منشور داریم که پایه آن 5 سانتیمتر مربع می باشد و ارتفاع آن 3 سانتیمتر می باشد. در اینجا چگونگی پیدا کردن حجم آن را می بینید:
توجه داشته باشید که واحدهای اندازه گیری نیز در یکدیگر ضرب می شوند، و در نتیجه سانتیمتر مربع ضربدر سانتیمتر می شود سانتیمتر مکعب.
شما می توانید حجم یک استوانه را مشابه روش پیدا کردن حجم یک منشور - با ضرب کردن مساحت پایه (Ab) در ارتفاع استوانه بدست آورید - به دست آورید:
فرض کنید می خواهید حجم یک میله استوانه ای را که ارتفاع آن 4 اینچ و پایۀ آن یک دایره با شعاع 2 اینچ می باشد، بدست آورید. ابتدا با استفاده از فرمول مساحت دایره، مساحت پایه را بدست آورید:
این مساحت تقریبی می باشد، چرا که من از 3.14 به عنوان یک مقدار تقریبی برای عدد پی (π) استفاده کردم. (توجه: در مسأله قبلی، من از "علامت برابر است با" (=) در مواقعی که یک مقدار با آنچه که درست قبل از آن آمده است، برابر باشد استفاده کردم و از علامت "تقریباً برابر است" با (≈) در مواقعی که اعداد را گرد کرده ام استفاده نموده ام.)
حالا از این مساحت برای پیدا کردن حجم استوانه استفاده می کنیم:
توجه کنید که چطور ضرب کردن مترمربع در متر نتیجه مترمکعب می دهد.
دو اندازه گیری پایه در مورد هرم ها و مخروط ها مشابه منشورها و استوانه ها می باشد: ارتفاع و مساحت پایه. در اینجا فرمول محاسبه حجم هرم و مخروط را می بینید:
برای مثال فرض کنید می خواهید حجم یک بستنی مخروطی را که ارتفاع آن 4 اینچ و مساحت پایۀ آن 3 اینچ مربع می باشد پیدا کنید. در اینجا چگونگی انجام این کار را می بینید:
به همین ترتیب، فرض کنید می خواهید حجم یک هرم در مصر را محاسبه کنید، که ارتفاع آن 60 متر می باشد و پایه آن یک مربع می باشد که هر ضلع آن 50 متر می باشد. ابتدا با استفاده از فرمول مساحت مربع، مساحت پایه هرم را محاسبه کنید:
حالا از این مساحت برای محاسبه حجم هرم استفاده کنید:
اندازه گیری شکل های دو بعدی
دو مهارت مهم در هندسه - و در زندگی واقعی - پیدا کردم محیط (perimeter) و مساحت (area) شکل ها می باشد. محیط یک شکل، اندازه گیری طول ضلعهای آن می باشد. شما از محیط برای اندازه گیری مسافت اطراف لبه های یک اتاق، ساختمان، یا مسیر مدوّر استفاده می کنید. مساحت یک شکل اندازه گیری میزان بزرگی داخل آن است. شما از مساحت در هنگام اندازه گیری یک دیوار، یک میز، یا یک لاستیک استفاده می کنید.
برای مثال، در شکل 10-16، اندازه ضلع های هر شکل را به شما داده ام.
یادتان باشد: وقتی که همۀ اضلاع یک شکل راست باشند، شما می توانید محیط آن را با جمع کردن طول تمامی اضلاع آن بدست آورید.
به طرز مشابهی، در شکل 11-16 مساحت هر شکل را به شما داده ام.
یادتان باشد: مساحت یک شکل همیشه در واحدهای مربع (square units) اندازه گیری می شود: اینچ مربع (square inches)، فوت مربع (square feet)، مایل مربع (square miles)، کیلومتر مربع (square kilometers)، و ... - حتی در هنگام صحبت کردن در مورد مساحت دایره نیز این قانون برقرار است!
من این نوع محاسبات را در این بخش پوشش می دهم.
اندازه گیری دایره
مرکز یک دایره (center of a circle) یک نقطه است که فاصله آن با تمامی نقاط روی همان دایره برابر می باشد. این فاصله شعاع (radius) دایره نامیده می شود، که به صورت مختصر فقط r نیز نامیده می شود. و هر پاره خطی (line segment) که از یک نقطه بر روی دایره آغاز شود و از مرکز دایره بگذرد و به نقطه دیگری روی دایره برسد، قطر دایره (diameter) نامیده می شود، که به اختصار به آن d نیز گفته می شود. شکل 12-16 را ببینید.
همانطور که می بینید، قطر هر دایره متشکل از یک شعاع دایره، بعلاوۀ شعاع دیگری از دایره می باشد - یعنی دو شعاع. این مفهوم، فرمول سودمند زیر را به شما می دهد:
برای مثال، اگر یک دایره با شعاع 5 میلیمتر را به شما بدهند، شما می توانید قطر آن را به شکل زیر پیدا کنید:
از آنجا که دایره (circle) یک شکل فوق العادۀ خاص است، محیط آن (طول لبه های آن) نیز یک نام فوق العادۀ خاص دارد: circumference (محیط دایره) که به اختصار به آن C نیز می گویند. ریاضیدانان اولیه برای پیدا کردن محیط یک دایره مشکلات فراوانی داشتند. این فرمولی است که آنها کشف کرده اند:
توجه: از آنجا که r . 2 با قطر دایره برابر می باشد، شما می توانید این فرمول را به شکل زیر نیز بنویسد:
یادتان باشد: نماد π، پی (pi) خوانده می شود. این فقط یک عدد است که مقدار تقریبی آن به شکل زیر می باشد (از آنجا که بخش اعشاری عدد پی تا ابد ادامه پیدا می کند، بنابراین شما نمی توانید مقدار دقیق آن را بدست آورید):
π ≈ 3.14
بنابراین در یک دایره مشخص با شعاع 5 میلیمتر، شما می توانید محیط تقریبی آن را پیدا کنید:
فرمول پیدا کردن مساحت دایره نیز از عدد پی استفاده می کند - مساحت (area) را به اختصار با A نشان می دهند:
در اینجا چگونگی استفاده از این فرمول برای پیدا کردن مساحت تقریبی یک دایره با شعاع 5 mm را می بینید:
اندازه گیری مثلث ها
در این بخش، در مورد چگونگی اندازه گیری محیط و مساحت همۀ مثلثها بحث خواهم کرد. سپس، یک ویژگی در ارتباط با مثلث های قائم الزاویه (right triangles) را به شما می گویم که به شما امکان می دهد آنها را خیلی ساده تر اندازه گیری کنید.
پیدا کردن محیط و مساحت مثلث
ریاضیدانان هیچ فرمول خاصی را برای پیدا کردن محیط یک مثلث ارائه نکرده اند، آنها فقط طول اضلاع مثلث را با هم جمع می زنند.
برای پیدا کردن مساحت یک مثلث، نیاز دارید تا طول یکی از اضلاع آن را بدانید - ضلع پایه (base) که به اختصار b نامیده می شود - و ارتفاع (height) که به اختصار h نامیده می شود. توجه کنید که ارتفاع مثلث با ضلع پایه آن یک زاویۀ قائمه را تشکیل می دهند. شکل 13-16 یک مثلث را با طول ضلع پایه 5 سانتیمتر و ارتفاع 2 سانتیمتر نشان می دهد:
در اینجا فرمول محاسبه مساحت مثلث را می بینید:
بنابراین در اینجا چگونگی پیدا کردن مساحت یک مثلث که ضلع پایه آن 5 cm و ارتفاع آن 2 cm می باشد، را می بینید:
درس هایی از فیثاغورث: پیدا کردن ضلع سوم یک مثلث قائم الزاویه
ضلع طولانی یک مثلث قائم الزاویه (c) وتر (hypotenuse) نامیده می شود، و دو ضلع کوچکتر (a و b) پاها (legs) نامیده می شوند (شکل 14-16 را ببینید). مهمترین فرمول مثلث قائم الزاویه (right triangle) قضیه فیثاغورس می باشد:
این فرمول به شما امکان می دهد تا وتر یک مثلث قائم الزاویه را تنها با دانستن طول پاهای آن بدست آورید. برای مثال، فرض کنید که پاهای یک مثلث قائم الزاویه 3 و 4 واحد باشند. چگونگی استفاده از قضیه فیثاغورث برای پیدا کردن وتر آن به شکل زیر می باشد:
بنابراین اگر c را در خودش ضرب کنید، حاصل آن 25 می شود. پس:
طول وتر برابر با 5 واحد می باشد.
اندازه گیری مربع
حرف s نشان دهندۀ ضلع مربع می باشد. برای مثال، اگر ضلع یک مربع 3 اینچ باشد، شما خواهید گفت:
s = 3 in.پیدا کردن محیط یک مربع (P) ساده می باشد: فقط کافیست طول یک ضلع را در عدد 4 ضرب کنید. در اینجا فرمول محاسبه محیط یک مربع را می بینید:
برای مثال، اگر طول یک ضلع مربع 3 inches باشد، کافیست 3 inches را در فرمول جایگزین حرف s کنید:
پیدا کردن مساحت یک مربع نیز ساده است: فقط طول یک ضلع را در خودش ضرب کنید - یعنی، مربع ضلع (آن را به توان 2 برسانید) را بدست آورید. در اینجا دو روش برای نگارش فرمول مساحت مربع را می بینید:
برای مثال، اگر ضلع یک مربع 3 inches باشد، شما خواهید داشت:
اندازه گیری مستطیل
ضلع بلندتر یک مستطیل طول (length) نامیده می شود، که به اختصار به آن l می گویند. ضلع کوتاهتر آن عرض (width) نامیده می شود، که به اختصار به آن w می گویند. برای مثال در یک مستطیل که اضلاع آن 5 و 4 فوت هستند، داریم:
l = 5 ft. and w = 4 ft.
از آنجا که یک مستطیل دو طول و دو عرض دارد، شما می توانید برای پیدا کردن محیط یک مستطیل از فرمول زیر استفاده کنید:
محاسبه محیط یک مستطیل که طول آن 5 yards و عرض آن 2 yards می باشد، به شرح زیر است:
$$P=2 \cdot (5 \text{ yd. } + 2 \text{ yd. }) = 2 \cdot 7 \text{ yd. } = 14 \text{ yd. }$$
فرمول پیدا کردن مساحت مستطیل به شرح زیر است:
در اینجا چگونگی محاسبه مساحت مستطیل مثال بالا را می بینید:
اندازه گیری لوزی
مشابه مربع، از حرف s برای نمایش طول یک ضلع لوزی استفاده می شود. امّا اندازه گیری کلیدی دیگر در لوزی، ارتفاع آن می باشد. ارتفاع یک لوزی را به اختصار با h نشان می دهند، که کوتاهترین فاصله از یک ضلع لوزی به ضلع مقابل آن می باشد. در شکل 15-16 داریم:
s = 4 cm and h = 2 cm
فرمول محاسبه محیط یک لوزی با فرمول محیط مربع یکسان می باشد:
در اینجا چگونگی محاسبه محیط یک لوزی که ضلع آن 4 سانتیمتر می باشد را می بینید:
برای اندازه گیری مساحت یک لوزی، شما هم به طول ضلع و هم به ارتفاع نیاز دارید. فرمول به شرح زیر می باشد:
در اینجا چگونگی محاسبه مساحت یک لوزی که ضلع آن 4 cm و ارتفاعش 2 cm می باشد را می بینید:
اندازه گیری متوازی الاضلاع
ضلعهای بالا و پایین یک متوازی الاضلاع (parallelogram) پایه های آن (bases) نامیده می شوند و به اختصار آن را با b نشان می دهند، و دو ضلع باقیمانده فقط ضلع نامیده می شوند و با حرف s نشانشان می دهند. و مشابه لوزی (rhombuses)، اندازه گیری مهم دیگر در مورد متوازی الاضلاع ارتفاع (height) آن می باشد که به اختصار h گفته می شود. ارتفاع کوتاهترین فاصله بین پایه های متوازی الاضلاع می باشد. بنابراین متوازی الاضلاع موجود در شکل 16-16 این اندازه گیری ها را دارد:
b = 6 in., s = 3 in., and h = 2 in
هر متوازی الاضلاع دو پایه برابر و دو ضلع برابر دارد. بنابراین، این فرمول محاسبه محیط متوازی الاضلاع می باشد:
برای پیدا کردن محیط متوازی الاضلاع نمایش داده شده در این بخش، فقط کافیست اندازه گیری های پایه ها و ضلع ها را در فرمول جایگزین کنید:
در اینجا فرمول مساحت متوازی الاضلاع را داریم:
در اینجا مساحت مثال این بخش را می بینید:
اندازه گیری ذوزنقه
ضلع های موازی ذوزنقه (trapezoid) پایه های آن نامیده می شوند. از آنجا که این پایه ها دارای طول های متفاوت می باشند، می توانید آنها را b1 و b2 بنامید. ارتفاع یک ذوزنقه کوتاهترین فاصله بین پایه ها می باشد. بنابراین، ذوزنقه موجود در تصویر 17-16 دارای اندازه گیری های زیر می باشد:
b1 = 2 in., b2 = 3 in., and h = 2 in.
از آنجا که طول ضلعهای ذوزنقه می توانند با هم متفاوت باشند، برای پیدا کردن محیط آن نیازی به فرمول خاصی ندارید. فقط طول ضلعهای آن را با هم جمع بزنید و پاسخ را به دست خواهید آورد.
در اینجا فرمول مساحت ذوزنقه را می بینید:
در اینجا، چگونگی محاسبه مساحت ذوزنقه مثال این بخش را می بینید:
توجه: بدلیل ویژگی شرکت پذیری (associative property) - در این مورد فصل 4 را می توانید ببینید - من اجازه دارم in. 5 را در in. 2 ضرب کنم، قبل از اینکه آن را در 1/2 ضرب کرده باشم.
اندازه گیری شکل های سه بعدی
در سه بعد، مفهوم محیط (perimeter) و مساحت (area) اندکی باید مورد اصلاح قرار گیرد.
به یاد بیاورید که در شکل های دو بعدی، محیط یک شکل اندازه گیری مرزهای آن بود، و مساحت یک شکل اندازه گیری داخل شکل بود. در شکل های سه بعدی، مرزهای یک سالید (solid) مساحت رویه (surface area) و آنچه که در داخل یک سالید می باشد، حجم (volume) نامیده می شود.
یادتان باشد: مساحت رویه (surface area) از یک سالید، اندازه گیری رویه آن می باشد، که در واحدهای مربع همچون اینچ مربع (square inches)، فوت مربع (square feet)، متر مربع (square meters)، و ... انجام می شود. حجم (volume) یک سالید اندازه گیری فضایی است که اشغال نموده است، و در واحدهای مکعب همچون اینچ مکعب (cubic inches)، فوت مکعب (cubic feet)، متر مکعب (cubic meters)، و ... انجام می شود.
نکته: شما می توانید مساحت رویه یک چند وجهی (polyhedron) - سالیدی که تمام وجه های آن چند ضلعی (polygon) باشد - را با جمع زدن مساحت تمام وجه های آن بدست آورید. در مورد چگونگی محاسبه مساحت چندضلعی ها در همینجا فرمول هایی ارائه شده است. بنابراین در غالب اوقات نیازی به فرمول برای محاسبه مساحت رویه چندوجهی ندارید.
با این حال، پیدا کردن حجم سالیدها، چیزی است که ریاضیدانها دوست دارند تا شما بدانید. در بخش های بعدی، فرمول هایی را برای محاسبه حجم انواع مختلفی از چندوجهی ها به شما ارائه می دهم.
کُره ها (Spheres)
مرکز کره نقطه ای است که با هر نقطه دیگری بر روی همان کره، فاصله یکسانی دارد. این فاصله، شعاع کره (radius) نامیده می شود که به اختصار به آن r می گویند. اگر شما شعاع کره را بدانید، می توانید با فرمول زیر، حجم آن را محاسبه کنید:
از آنجا که این فرمول شامل عدد پی π می باشد، استفاده از 3.14 به عنوان یک تقریب برای عدد پی به شما یک حجم تقریبی را می دهد. برای مثال، در اینجا چگونگی پیدا کردن حجم تقریبی یک توپ با شعاع 4 اینچ را می بینید.
مکعب مربع ها (Cubes)
مهمترین اندازه گیری در مورد مکعب مربع، طول ضلع (side) آن می باشد. با استفاده از این اندازه گیری، می توانید با فرمول زیر حجم یک مکعب را بدست آورید:
بنابراین، اگر اندازه ضلع یک مکعب مربع 5 متر باشد، چگونگی بدست آوردن حجم آن را در زیر می بینید:
حجم این مکعب مربع را به شکل 125 متر مکعب می خوانند.
جعبه ها (مکعب مستطیل ها)
در اینجا به جعبه ها (Boxes) که به آنها مکعب مستطیل (Rectangular solids) نیز گفته می شود، می پردازیم. سه اندازه گیری مهم در مورد یک مکعب مستطیل، طول (length) آن که به اختصار l گفته می شود، عرض (width) آن که به اختصار w گفته می شود، و ارتفاع (height) آن که به اختصار h گفته می شود، می باشند. مکعب مستطیلی که در تصویر 18-16 می بینید، شامل اندازه گیری های زیر می باشد:
l = 4 m, w = 3 m, and h = 2 m.
شما می توانید حجم یک مکعب مستطیل را از فرمول زیر بدست آورید:
در اینجا چگونگی محاسبه حجم مکعب مستطیل نمایش داده شده در مثال بالا را می بینید:
منشورها (Prisms)
پیدا کردن حجم یک منشور (prism) - منشورها را می توانید در شکل 7-16 در همین فصل ببینید - در صورتیکه که دو اندازه گیری را داشته باشید، آسان می باشد. یک اندازه گیری، ارتفاع (height) منشور می باشد. دومین اندازه گیری، مساحت پایه (area of the base) منشور که به اختصار به آن Ab گفته می شود، می باشد. پایه یک چندضلعی می باشد که از سطح به صورت عمودی امتداد یافته است.
در اینجا، فرمول پیدا کردن حجم یک منشور را می بینید:
برای مثال، فرض کنید یک منشور داریم که پایه آن 5 سانتیمتر مربع می باشد و ارتفاع آن 3 سانتیمتر می باشد. در اینجا چگونگی پیدا کردن حجم آن را می بینید:
توجه داشته باشید که واحدهای اندازه گیری نیز در یکدیگر ضرب می شوند، و در نتیجه سانتیمتر مربع ضربدر سانتیمتر می شود سانتیمتر مکعب.
استوانه ها (Cylinders)
شما می توانید حجم یک استوانه را مشابه روش پیدا کردن حجم یک منشور - با ضرب کردن مساحت پایه (Ab) در ارتفاع استوانه بدست آورید - به دست آورید:
فرض کنید می خواهید حجم یک میله استوانه ای را که ارتفاع آن 4 اینچ و پایۀ آن یک دایره با شعاع 2 اینچ می باشد، بدست آورید. ابتدا با استفاده از فرمول مساحت دایره، مساحت پایه را بدست آورید:
این مساحت تقریبی می باشد، چرا که من از 3.14 به عنوان یک مقدار تقریبی برای عدد پی (π) استفاده کردم. (توجه: در مسأله قبلی، من از "علامت برابر است با" (=) در مواقعی که یک مقدار با آنچه که درست قبل از آن آمده است، برابر باشد استفاده کردم و از علامت "تقریباً برابر است" با (≈) در مواقعی که اعداد را گرد کرده ام استفاده نموده ام.)
حالا از این مساحت برای پیدا کردن حجم استوانه استفاده می کنیم:
توجه کنید که چطور ضرب کردن مترمربع در متر نتیجه مترمکعب می دهد.
هرم ها (Pyramids) و مخروط ها (cones)
دو اندازه گیری پایه در مورد هرم ها و مخروط ها مشابه منشورها و استوانه ها می باشد: ارتفاع و مساحت پایه. در اینجا فرمول محاسبه حجم هرم و مخروط را می بینید:
برای مثال فرض کنید می خواهید حجم یک بستنی مخروطی را که ارتفاع آن 4 اینچ و مساحت پایۀ آن 3 اینچ مربع می باشد پیدا کنید. در اینجا چگونگی انجام این کار را می بینید:
به همین ترتیب، فرض کنید می خواهید حجم یک هرم در مصر را محاسبه کنید، که ارتفاع آن 60 متر می باشد و پایه آن یک مربع می باشد که هر ضلع آن 50 متر می باشد. ابتدا با استفاده از فرمول مساحت مربع، مساحت پایه هرم را محاسبه کنید:
حالا از این مساحت برای محاسبه حجم هرم استفاده کنید:
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (2 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: