خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


مختصات دکارتی (Cartesian Coordinates)

مختصات دکارتی (Cartesian Coordinates)
نویسنده : امیر انصاری
هنگامی که اهالی ریاضی در مورد استفاده از یک گراف صحبت می کنند، معمولاً به گراف دکارتی - همچنین سیستم مختصات دکارتی (Cartesian coordinate system) نیز نامیده می شود - اشاره دارند (شکل 4-17 را ببینید). در فصل 25، به شما خواهم گفت که چرا اعتقاد دارم که این گراف یکی از ده اختراع مهم ریاضی در تمامی دورانها می باشد. در هنگام مطالعه جبر تعداد زیادی از این نوع گراف را می بینید، بنابراین آشنا شدن با آن ایده خوبی است.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



مختصات دکارتی (Cartesian Coordinates)
یادتان باشد: یک گراف دکارتی (Cartesian graph) در واقع دو خط اعداد (number lines) می باشد که در نقطۀ 0 همدیگر را قطع کرده اند. این دو خط اعداد محور افقی (horizontal axis) - که محور x نیز نامیده می شود - و محور عمودی (vertical axis) - که محور y نیز نامیده می شود - می باشند. جایی که این محورها همدیگر را قطع می کنند، مبدأ (origin) نامیده می شود.

ترسیم نقاط در یک گراف دکارتی


ترسیم یک نقطه در یک گراف دکارتی (پیدا کردن و نشان گذاری مکان آن) خیلی سختتر از پیدا کردن یک نقطه در خط اعداد نمی باشد، چرا که یک گراف در واقع فقط دو خط اعداد می باشد که روی هم قرار گرفته اند.

یادتان باشد: هر نقطه ای در یک گراف دکارتی با دو عدد نمایش داده می شود که در یک جفت پرانتز قرار داده شده اند و با یک ویرگول از یکدیگر جدا شده اند، و به آن یک مجموعه مختصات گفته می شود. برای ترسیم هر نقطه، از مبدأ - جایی که دو محور یکدیگر را قطع کرده اند - آغاز کنید. عدد اول به شما می گوید در محور افقی، چند خانه به سمت راست (اگر عدد مثبت باشد) بروید، یا اینکه چند خانه به سمت چپ (اگر عدد منفی باشد) بروید. عدد دوم به شما می گوید، در محور عمودی، چند خانه به سمت بالا (اگر عدد مثبت باشد) بروید، یا چند خانه به سمت پایین (اگر عدد منفی باشد) بروید.

برای مثال در اینجا مختصات چهار نقطۀ A و B و C و D را می بینید:

مختصات دکارتی (Cartesian Coordinates)
شکل 5-17 یک گراف را نشان می دهد که این چهار نقطه بر روی آن ترسیم شده اند. از مبدأ (0, 0) آغاز کنید. برای ترسیم نقطۀ A، تعداد 2 خانه به سمت چپ، و سپس 3 خانه به سمت بالا بشمارید. برای ترسیم نقطۀ B تعداد 4 خانه به سمت چپ (در جهت منفی)، و سپس 1 خانه به سمت بالا بشمارید. برای ترسیم نقطۀ C تعداد 0 خانه به سمت راست یا چپ، و سپس 5 خانه به سمت پایین (در جهت منفی) بشمارید. و برای ترسیم نقطه D، تعداد 6 خانه به سمت راست و سپس 0 خانه به سمت بالا یا پایین بشمارید.

مختصات دکارتی (Cartesian Coordinates)

ترسیم خطوط در گراف دکارتی


بعد از اینکه چگونگی ترسیم نقطه ها در یک گراف را یاد گرفتید، می توانید ترسیم خطها را آغاز کنید و از آنها برای نمایش روابط ریاضی (mathematical relationships) استفاده کنید.

مثالهای این بخش بر روی تعداد دلارهایی که دو نفر، زِنیا (Xenia) و یانی (Yanni) دارند، تمرکز دارد. محور افقی پولهای زنیا و محور عمودی پولهای یانی را نشان می دهند. برای مثال فرض کنید، می خواهید خطی بکشید که این بیانیه را نشان دهند:

زنیا 1$ بیشتر از یانی دارد.


برای انجام این کار، یک جدول به شکل زیر بسازید:

مختصات دکارتی (Cartesian Coordinates)
حالا هر ستون از جدول را با این فرض پر کنید که، زنیا به آن تعداد دلار دارد. برای مثال اگر زنیا 1$ دارد، پس یانی 0$ خواهد داشت. و اگر زنیا 2$ داشته باشد، پس یانی 1$ دارد. این کار را ادامه بدهید تا جدول شما شبیه این شود:

مختصات دکارتی (Cartesian Coordinates)
هم اکنون شما پنج جفت نقطه دارید که می توانید آن را به شکل (Xenia, Yanni) در گراف ترسیم کنید:
(Xenia, Yanni): (1, 0), (2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4)
سپس مشابه شکل 6-17 یک خط مستقیم از طریق این نقطه ها بکشید:

مختصات دکارتی (Cartesian Coordinates)
این خط بر روی گراف هر جفت مقدار ممکن برای زنیا و یانی را نشان می دهد. برای مثال، توجه کنید که نقطۀ
(6, 5)
چگونه بر روی خط می افتد. این نقطه این امکان را نشان می دهد که زنیا 6$ و یانی 5$ دارد.

در اینجا یک مثال دیگر داریم که اندکی پیچیده تر است:

یانی 3$ بیشتر از دو برابر مقدار زنیا دارد.


دوباره با ایجاد یک جدول معمولی کار را آغاز می کنیم:

مختصات دکارتی (Cartesian Coordinates)
شما می توانید این جدول را به این شکل پُر کنید که، فرض کنید زنیا مقادیر مختلفی پول دارد و سپس محاسبه کنید که با توجه به بیانیه، در هر مورد یانی چقدر پول خواهد داشت. به عنوان مثال، اگر زنیا 1$ داشته باشد، دو برابر آن می شود 2$، و از آنجایی که یانی 3$ بیشتر از دو برابر زنیا دارد، یانی 5$ خواهد داشت. و اگر زنیا 2$ داشته باشد، دو برابر آن می شود 4$، و از آنجا که یانی 3$ بیشتر از آن دارد، یانی 7$ خواهد داشت. همین روش را ادامه دهید تا بقیه جدول را مشابه زیر پر کنید:

مختصات دکارتی (Cartesian Coordinates)
حالا این پنج نقطه را روی گراف ترسیم کنید و یک خط از طریق آنها بکشید (شکل 7-17 را ببینید).

مختصات دکارتی (Cartesian Coordinates)
مشابه سایر مثالها، این گراف تمامی مقادیری را که زنیا و یانی ممکن است داشته باشند، نمایش می دهد. برای مثال، اگر زنیا 7$ داشته باشد، یانی 17$ خواهد داشت.

حل کردن مسائل با گراف دکارتی


بعد از اینکه چگونگی ترسیم نقطه ها و کشیدن خطها را دانستید، شما می توانید با استفاده از گراف برخی از انواع مسائل ریاضی را حل کنید. هنگامی که دو خط ترسیم می کنید که بخشهای مختلفی از یک مسأله داستانی را نشان می دهند، در این حالت نقطه ای که خطها همدیگر را قطع می کنند، پاسخ مسأله می باشد.

در اینجا مثالی داریم:

یعقوب (Jacob) دقیقاً 5 سال کوچکتر از مارنی (Marnie) است، و مجموع سن آنها با هم 15 سال می شود. آنها چند سالشان است؟


برای حل این مساله، ابتدا یک جدول می سازیم که نشان بدهد یعقوب 5 سال کوچکتر از مارنی می باشد:

مختصات دکارتی (Cartesian Coordinates)
سپس جدول دیگری می سازیم که نشان بدهد، سن این دو بچّه روی هم رفته 15 سال می شود:

مختصات دکارتی (Cartesian Coordinates)
در نهایت، هر دو خط را روی گراف ترسیم می کنیم (شکل 8-17 را ببینید) که در آن محور افقی سن یعقوب و محور عمودی سن مارین را نشان می دهد. توجه کنید که دو خط در نقطه ای از یکدیگر عبور می کنند که سن یعقوب 5 و سن مارنی 10 می باشد، بنابراین این اعداد سن این دو بچّه می باشند.

مختصات دکارتی (Cartesian Coordinates)


نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.