خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


احتمال پایه (Basic Probability)

احتمال پایه (Basic Probability)
نویسنده : امیر انصاری
احتمال (Probability)، ریاضیاتِ تصمیم گیری در مورد اینست که احتمال وقوع یک رویداد چقدر می باشد. برای مثال:

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



  • احتمال اینکه بلیط بخت آزماییِ خریداری شده توسط من، برنده شود چقدر است؟
  • احتمال اینکه ماشین جدید من قبل از اتمام گارانتی نیاز به تعمیر پیدا کند، چقدر است؟
  • احتمال اینکه در زمستان امسال در شهر منچستر از ایالت نیو همشایر آمریکا (Manchester, New Hampshire)، بیش از 100 اینچ برف ببارد، چقدر است؟

احتمال گسترۀ وسیعی از کاربردها در بیمه، پیش بینی آب و هوا، علوم زیستی، و حتی فیزیک دارد.

نکات فنی: مطالعه احتمال صدها سال پیش آغاز شد، هنگامیکه یک گروه از اشراف زادگان فرانسوی که مکرراً به سالن های قمار می رفتند، گمان کردند که می توانند با کمک ریاضی سود به دست آورند و یا حداقل جلوی ضررهای سنگین را بگیرند.

برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد احتمال می توانید کتاب Probability For Dummies را مطالعه نمایید. در این بخش کمی با طعم موضوع جذاب احتمال در ریاضی آشنا خواهید شد.

یادداشت مترجم: امیدوارم فرصتی پیدا کنم تا بتوانم کتاب "احتمال برای احمقها" (Probability For Dummies) را نیز ترجمه کرده و از طریق سایت خوش آموز به رایگان در اختیار شما عزیزان قرار بدهم.

دانستن احتمال


احتمال اینکه رویدادی رُخ بدهد یک کسر است که صورت و مخرج آن کسر به شرح زیر می باشند (برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد کسرها، فصل 9 را ببینید):

احتمال پایه (Basic Probability)
Number of favorable outcomes: تعداد نتایج مطلوب
Total number of possible outcomes: تعداد کل نتایج مطلوب

در این مورد، یک نتیجه مطلوب (favorable outcome) به سادگی یک نتیجه است که در آن، رویدادی که مشغول بررسی آن هستید رخ می دهد. در مقایل، یک نتیجه ممکن (possible outcome) یک نتیجه است که احتمال رخ دادن دارد.

برای مثال، فرض کنید که می خواهید احتمال شیر یا خط بودن یک سکه را که پرتاب می شود بدانید. توجه کنید که دو نتیجه محتمل است (شیر یا خط)، اما فقط یکی از این نتایج مطلوب هستند - فرض کنیم نتیجه مطلوب ما شیر است. برای پیدا کردن احتمال این رویداد، کسری را به شکل زیر بسازید:

احتمال پایه (Basic Probability)
بنابراین احتمال اینکه سکه پرتاپ شده شیر بیاید، 1/2 می باشد.

خوب، احتمال اینکه نتیجه پرتاپ یک تاس 3 بشود، چقدر است؟ برای حل کردن این مسأله توجه داشته باشید که در اینجا شش نتیجه ممکن داریم (اعداد 1 تا 6)، اما فقط یکی از اینها 3 می باشد. برای پیدا کردن احتمال این نتیجه، کسری به شکل زیر بسازید:

احتمال پایه (Basic Probability)
بنابراین احتمال اینکه نتیجه تاس ریختن عدد 3 باشد، 1/6 می باشد.

احتمال اینکه نتیجه انتخاب یک کارت تصادفی از یک بسته پاسور (deck)، تکخال (ace) باشد چقدر است؟ برای حل این مسأله توجه کنید که 52 نتیجه ممکن (تعداد برگه های یک بسته پاسور 52 کارت می باشد) داریم، اما فقط چهار تا از آنها تکخال (ace) هستند. بنابراین:

احتمال پایه (Basic Probability)
بنابراین احتمال اینکه برگه تصادفی تکخال باشد 4/52 می باشد، اگر این کسر را ساده کنیم به 1/13 می رسیم.

یادتان باشد: احتمال (Probability) همواره یک کسر یا یک عدد اعشاری، بین 0 تا 1 می باشد. هنگامی که احتمال یک نتیجه 0 باشد، آن نتیجه غیرممکن می باشد. هنگامیکه احتمال یک نتیجه 1 باشد، آن نتیجه قطعی می باشد.

شمارش نتایج با چندین سکه و تاس


با وجود اینکه فرمول اصلی احتمال سخت نمی باشد، گاهی اوقات پیدا کردن اعداد برای قرار دادنشان در فرمول نیاز به مهارت دارد. یکی از سرچشمه های سردرگمی، شمارش نتایج، هم نتایج مطلوب و هم نتایج ممکن می باشد. در این بخش، بر روی پرتاپ سکه و ریختن تاس تمرکز می کنم.

پرتاب سکه


هنگامی که یک سکه را در هوا می چرخانید، در حالت کلی می توانید دو نتیجه ممکن داشته باشید: شیر (Heads) یا خط (Tails). هنگامی که دو سکه را همزمان پرتاب می کنید - فرض کنیم یکی از این سکه ها پنی (penny) و سکه دیگر نیکل (nickel) باشد -، شما چهار نتیجه ممکن دارید:

احتمال پایه (Basic Probability)
هنگامی که تعداد سکه ها سه تا باشند، - فرض کنیم یک سکه پنی (Penny)، یک نیکل (Nickel) و یک دایم (Dime) باشند - هشت نتیجه ممکن خواهیم داشت :

احتمال پایه (Basic Probability)
به الگو دقت کنید: هر بار که یک سکه جدید اضافه می کنید، تعداد حالتهای ممکن دو برابر می شوند. بنابراین اگر شما شش سکه را همزمان پرتاب کنید، تعداد نتایج ممکن به شرح زیر خواهند بود:

احتمال پایه (Basic Probability)
تعداد نتایج ممکن برابر است با تعداد نتایج هر سکه (2) که به توان تعداد سکه ها رسیده باشد (6): از دید ریاضی خواهید داشت:

احتمال پایه (Basic Probability)
در اینجا یک فرمول سودمند برای محاسبه تعداد نتایج در هنگامیکه چندین سکه یا تاس یا هر شیء دیگر را به صورت همزمان مورد استفاده قرار می دهید، داریم:

احتمال پایه (Basic Probability)
Number of outcomes per object: تعداد نتایج به ازاء هر شیء
Number of objects: تعداد اشیاء

فرض کنید، می خواهید احتمال اینکه شش سکه پرتاب شده، همزمان شیر بیایند را بررسی کنید. برای انجام این کار، شما باید یک کسر بسازید، و هم اکنون مخرج این کسر را نیز می دانید - تعداد نتایج ممکن - که 64 می باشد. تنها یکی از نتایج مطلوب ما می باشد، بنابراین صورت کسر 1 می باشد:

احتمال پایه (Basic Probability)
بنابراین احتمال اینکه هر شش سکه همزمان شیر بیایند 1/64 می باشد.

در اینجا یک سوال ظریفتر داریم: احتمال اینکه دقیقاً پنج عدد از شش سکه شیر بیاید، چقدر است؟ دوباره شما یک کسر می سازید و می دانید که مخرج این کسر 64 می باشد. برای پیدا کردن صورت کسر (نتایج مطلوب)، با این روش به آن فکر کنید: اگر اولین سکه خط بیاید، بقیه سکه ها باید شیر بیایند. اگر دومین سکه خط بیاید، پس دوباره همه سکه های دیگر باید شیر بیایند. این برای هر شش سکه برقرار می باشد، بنابراین شما شش نتیجه مطلوب دارید:

احتمال پایه (Basic Probability)
بنابراین، احتمال اینکه دقیقاً پنج تا از شش سکه شیر بیایند 6/64 می باشد، که این کسر به 3/32 ساده می شود.

پرتاب تاس


هنگامی که شما یک تاس واحد را می ریزید، شش نتیجه ممکن خواهید داشت: 1، 2، 3، 4، 5، یا 6. با این حال، هنگامی که دو تاس می ریزید، تعداد نتایج ممکن 36 می شود. شکل 1-19 را ببینید.

احتمال پایه (Basic Probability)
هر بار که تاس جدید دیگری به تعداد تاس های موجود اضافه کنید، تعداد نتایج ممکن در 6 ضرب می شود. بنابراین اگر چهار تاس داشته باشید، تعداد نتایج ممکن به شرح زیر خواهند بود:

احتمال پایه (Basic Probability)
فرض کنید می خواهید امکان اینکه چهار 6 بیاید را، محاسبه کنید. این احتمال یک کسر می باشد و شما می دانید که مخرج این کسر 1,296 است. در این مورد، تنها یک نتیجه مطلوب است و آن اینکه هر چهار تاس 6 بیایند، پس چگونگی ساختن کسرتان را در اینحا می بینید:

احتمال پایه (Basic Probability)
بنابراین احتمال اینکه هر چهار تاس 6 بیایند 1/1296 می باشد، در واقع یک احتمال بسیار کوچک و ضعیف است.

در اینجا یک سوال جالبتر داریم: احتمال اینکه هر چهار تاس 4، 5، یا 6 بیایند، چقدر است؟ دوباره شما یک کسر می سازید که مخرج آن 1,296 می باشد. برای پیدا کردن صورت کسر با این روش به مسأله فکر کنید: برای تاس اول، سه نتیجه مطلوب داریم (4، 5، یا 6). برای دو تاس اول، تعداد 3 ضربدر 3 یعنی 9 نتیجه مطلوب، به شرح زیر داریم:

احتمال پایه (Basic Probability)
برای سه تاس،
3 . 3 . 3 = 27
تعداد 27 نتیجه مطلوب داریم. بنابراین برای هر چهار تاس،
3 . 3 . 3 . 3 = 81
تعداد 81 نتیجه مطلوب داریم. بنابراین:

احتمال پایه (Basic Probability)
بنابراین، احتمال اینکه هر چهار تاس به یکی از اعداد 4، 5، یا 6 ختم شوند 81/1296 می باشد. این کسر به 1/16 ساده می شود.



نمایش دیدگاه ها (2 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.