یک مجموعه (set) یک گردآوری از چیزها می باشد، در هر ترتیبی که چیده شده باشند. این چیزها می توانند ساختمان ها، محافظ گوش، کرم های شب تاب، اعداد، کیفیت شخصیت های تاریخی، نامهایی که با آن برادر کوچکترتان را صدا می زنید، و هر چیز دیگری باشند.





شما می توانید یک مجموعه را به چند روش اصلی تعریف کنید:

• قرار دادن یک لیست از اعضاء در یک جفت آکولاد (braces) { }: شما می توانید به سادگی هر چیزی را که متعلق به مجموعه باشد لیست کنید. هنگامی که مجموعه بیش از حد بزرگ باشد، به سادگی از یک علامت سه نقطه (...) - که در انگلیسی به آن ellipsis گفته می شود - برای نمایش دادن اعضای مجموعه که نام برده نشده اند، استفاده می گردد. برای مثال، برای لیست کردن مجموعه اعداد 1 تا 100، می توانید آن را به شکل زیر بنویسید:
  

  {1, 2, 3, ..., 100}
  
  

  برای لیست کردن تمامی اعداد شمارشی (counting numbers) - نام دیگر مجموعه اعداد شمارشی، مجموعه اعداد طبیعی می باشد -، می توانید آنها را به شکل زیر بنویسید:
  

  {1, 2, 3, ...}
  
  

• استفاده از یک توضیح کلامی: اگر از یک توضیح کلامی برای آنچیزهایی که مجموعه شاملش می شود، استفاده می کنید، اطمینان حاصل کنید که آن توضیحات، واضح و بدون ابهام باشد تا دقیقاً بدانید چه چیزی در مجموعه وجود دارد و چه چیزی در آن وجود ندارد. برای مثال، مجموعه ای از چهار فصل بسیار روشن است، اما در مورد مجموعه مهارت های آشپزی من، مسأله واضح نیست، چرا که افراد مختلف، مهارتها و ایده های متفاوتی دارند.
  
• نوشتن یک قانون ریاضی (نمادهای مجموعه ساز): در ادامه آموزش ریاضی و در موضوع جبر، می توانید یک معادله بنویسید که به سایرین بگوید چگونه اعدادی را که بخشی از یک مجموعه هستند محاسبه کنند.
  

مجموعه ها را معمولاً با حروف بزرگ انگلیسی نمایش می دهند تا آنها را از متغیرها در جبر - که معمولاً با حروف کوچک هستند - تفکیک کنند. (در فصل 21 در مورد استفاده از متغیرها صحبت خواهم کرد.)

بهترین روش درک مجموعه ها اینست که شروع به کار با آنها کنید. برای مثال در اینجا، سه مجموعه را معرفی کرده ام:



مجموعه A شامل سه شیء محسوس است: آثار معروف معماری. مجموعه B شامل چهار شیء نامشهود می باشد: ویژگی هایی از افراد مشهور. و همچنین مجموعه C نیز شامل اشیاء نامشهود می باشد: چهار فصل. نظریه مجموعه ها (Set theory) به شما امکان می دهد که با اشیاء محسوس یا اشیاء نامشهود کار کنید، مشروط بر اینکه مجموعه تان را به درستی تعریف کرده باشید. در بخش های بعدی مبانی نظریه مجموعه ها را به شما نشان می دهم.

در نظر گرفتن آنچه که داخل مجموعه ها می باشد

چیزهایی که در داخل مجموعه ها قرار می گیرند عناصر (elements) - همچنین به عنوان اعضاء (members) نیز شناخته می شوند - نامیده می شوند. دو مجموع اولی را که در بخش قبلی معرفی کردم در نظر بگیرید:


Eiffel Tower (برج ایفل) عنصری از مجموعه A می باشد، و Marilyn Monroe’s talent (استعداد مرلین مونرو) عنصری از مجموعه B می باشد. شما می توانید این بیانیه ها را با نماد که به معنای "عنصری از" یا "عضوی از" می باشد، بنویسید:


با این حال، Eiffel Tower عضوی از مجموعه B نمی باشد. شما می توانید این بیانیه را با نماد که به معنای "عنصری از مجموعه نیست" می باشد، بنویسید:


هر چقدر در مطالعه ریاضی پیشتر بروید، استفاده از این دو نماد رایجتر می گردد. بخشهای بعدی در مورد آنچیزهایی که در داخل آن آکولادها قرار می گیرند و اینکه چگونه برخی از مجموعه ها با یکدیگر در ارتباط می باشند، بحث می کند.

کاردینالیتی مجموعه ها (Cardinality of sets)

کاردینالیتی (cardinality) یک مجموعه صرفاً یک کلمۀ فانتزی برای تعداد اعضای آن مجموعه می باشد.

هنگامی که مجموعه A برابر با:

{Empire State Building, Eiffel Tower, Roman Colosseum}

باشد، سه عضو دارد، پس کاردینالیتی مجموعه A برابر با 3 می باشد. مجموعه B که برابر با:

 {Albert Einstein’s intelligence, Marilyn Monroe’s talent, Joe DiMaggio’s athletic ability, Senator Joseph McCarthy’s ruthlessness},

می باشد، 4 عضو (یا عنصر) دارد، پس کاردینالیتی B برابر با 4 می باشد.

مجموعه های برابر (Equal sets)

فرض کنید چند مجموعه به شرح زیر معرفی کنیم:



مجموعه C با یک قانون واضح یک مجموعه را توصیف می کند. مجموعه D به صراحت (explicitly) چهار عنصر را لیست کرده است. مجموعه E چهار فصل را در ترتیب متفاوتی لیست کرده است. و مجموعه F چهار فصل را با چند تکرار لیست نموده است. بنابراین، تمامی این چهار مجموعه با هم برابر هستند. مشابه اعداد، می توانید از علامت برابری برای نشان دادن برابری مجموعه ها استفاده کنید:

زیر مجموعه ها (Subsets)

هنگامی که تمامی عناصر یک مجموعه به صورت کامل در یک مجموعه دوم موجود باشند، مجموعه اول، یک زیرمجموعه (subset) از مجموعه دوم می باشد. برای مثال، مجموعه های زیر را در نظر بگیرید:


همانطور که می بینید، هر عنصری از G عنصری از C نیز می باشد، پس G یک زیرمجموعه از C می باشد. نماد زیرمجموعه می باشد، پس آن را به شکل زیر نشان می دهیم:

مجموعه های تهی (Empty sets)

مجموعه تهی (empty set) - به آن null set نیز می گویند - مجموعه ای است که هیچ عضوی ندارد:


همانطور که می بینید، من مجموعه H را با لیست کردن عناصرش معرفی کرده ام، اما هیچ عنصری در آن لیست نکرده ام، پس H خالی است. نماد برای نمایش مجموعه تهی مورد استفاده قرار می گیرد. پس:


شما همچنین می توانید یک مجموعه تهی را با استفاده از یک قانون (rule) معرفی کنید. برای مثال:



واضحاً، خروسها نَر هستند و بنابراین نمی توانند تخم بگذارند، پس این مجموعه تهی می باشد.


این مفهوم در زمانی که در موردش فکر کنید معنا پیدا می کند. به یاد بیاورید که هیچ عنصری ندارد، بنابراین از دید فنی، هر عنصری در در هر مجموعه دیگری نیز موجود می باشد.

مجموعه های اعداد

یکی از مهمترین کاربردهای مجموعه ها، معرفی مجموعه های اعداد می باشد. مشابه سایر مجموعه ها، برای معرفی مجموعه های اعداد نیز می توانید، اعضای آن مجموعه را لیست کنید و یا اینکه به صورت کلامی آن را با توصیف یک قانون که به وضوح به شما بگوید چه چیزهایی در مجموعه وجود دارند، و چه چیزهایی در آن وجود ندارند، تعریف کنید. برای مثال، مجموعه های زیر را در نظر بگیرید:



تعاریف من از J و K عناصر آنها را به صراحت لیست کرده است. از آنجا که K بی نهایت بزرگ است، من نیاز دارم تا از یک علامت سه نقطه (...) برای نمایش اینکه این مجموعه تا ابد پیش می رود، استفاده نمایم. تعریف L یک توصیف مجموعه با کلمات می باشد.

در فصل 25 برخی مجموعه های اعداد خاص و مهم را مورد بحث قرار می دهم.