هنگامی که دانستید چگونه جبر شبیه یک ترازوی تعادلی (balance scale) کار می کند (که در بخش قبل به شما گفتم)، شما می توانید شروع به حل معادلات جبری سخت تر کنید. تاکتیک اصلی همیشه یکسان است: در هر مرحله هر دو سمت معادله را به صورت برابر تغییر بدهید، سعی کنید تا x را در یک سمت معادله منزوی (isolate) کنید.





در این بخش، به شما یاد می دهم، چگونه مهارتهایی را که در فصل 21 آموختید برای حل معادلات به کار بگیرید. ابتدا، به شما نشان می دهم، چگونه بازچینش جملات (rearranging them) در یک عبارت، مشابه بازچینش جملات در یک معادله جبری می باشد. سپس، به شما نشان می دهم چگونه حذف پرانتزها از یک معادله می تواند به حل آن کمک کند. در نهایت، خواهید دانست چگونه ضرب متقابل (cross-multiplication) برای حل کردن معادلات جبری دارای کسرها، مفید می باشد.

بازچینش جملات در یک سمت معادله

بازچینش جملات در هنگام کار با معادلات بسیار مهم می باشد. برای مثال، فرض کنید با این معادله کار می کنید:


اگر در موردش فکر کنید، این معادله در واقع دو عبارت می باشد که با یک علامت برابری (equal sign) به یکدیگر متصل شده اند. و البته این مسأله در مورد هر معادله دیگری هم صدق می کند. به همین دلیل است که تمام چیزهایی را که در فصل 21 در مورد عبارتها دانستید برای حل معادلات مفید می باشند. برای مثال، شما می توانید جملات را در یک سمت یک معادله بازچینش کنید. بنابراین در اینجا روش دیگری برای نوشتن همان معادله را می بینید:


و در اینجا روش سومی برای نمایش همان معادله را می بینید:


این انعطاف پذیری برای بازچینش جملات، در هنگام حل کردن معادلات ابزار سودمندی در دستان شما خواهد بود.

انتقال جملات به سمت دیگر علامت برابری (=)

پیش از این در همین فصل، به شما نشان دادم که چطور یک معادله شبیه یک ترازوی تعادلی (balance scale) می باشد. برای مثال، نگاهی به شکل 1-22 بیندازید.


برای اینکه این ترازو در حالت تعادل باقی بماند، اگر شما چیزی را در یک سمت آن اضافه یا کم کنید، باید همان کار را برای سمت دیگر نیز انجام بدهید. برای مثال:


حالا به این دو نسخه یکسان از این معادله که در کنار یکدیگر قرار گرفته اند، نگاهی بیندازید:


در نسخه اول، جمله 2x در سمت چپ علامت برابری می باشد. در نسخه دوم، جمله 2x- در سمت راست می باشد. این مثال یک قانون مهم را نشان می دهد.


به عنوان مثالی دیگر، فرض کنید مشغول کار با معادله زیر هستید:


شما x هایی را در هر دو سمت معادله دارید، خوب، فرض کنید می خواهید 3x را به سمت دیگر معادله منتقل کنید. هنگامیکه جمله 3x را از سمت راست به سمت چپ منتقل می کنید، باید علامت آن را از مثبت به منفی تغییر بدهید (از نظر فنی شما 3x را از هر دو سمت معادله تفریق می کنید).


بعد از آن، شما می توانید با ترکیب جملات مشابه (combining similar terms) عبارت موجود در سمت راست معادله را ساده کنید:


در این مرحله، شما احتمالاً صرفاً با نگاه کردن به مسأله بتوانید متوجه شوید که 3 = x می باشد، چرا که 1 = 2 - 3 . اما فقط برای اطمینان، جمله 2- را به سمت چپ منتقل کنید و علامت آن را نیز تغییر بدهید:


برای بررسی صحت نتیجه بدست آمده، عدد 3 را در معادله اصلی جایگزین تمامی x های موجود کنید:


همانطور که می بینید، منتقل کردن جملات از یک سمت معادله به سمت دیگر آن می تواند کمک بسیار بزرگی به حل شدن معادله کند.

حذف پرانتزها از معادلات

فصل 21 یک گنجینه با ارزش از ترفندها را برای ساده سازی عبارات به شما داد، و در هنگام حل کردن معادلات آن ابزارها بسیار سودمند می باشند. یک مهارت کلیدی از آن فصل، حذف پرانتزها از عبارات می باشد. این مهارت نیز در هنگام حل معادله ها صرفنظر ناکردنی می باشد.

برای مثال، فرض کنید معادله زیر را دارید:


ماموریت شما اینست که تمامی جملات x دار را به یک سمت معادله و تمامی ثابت ها را به سمت دیگر معادله منتقل کنید. با ابن وجود، در وضعیت فعلی معادله، جملات x و ثابتها در داخل پرانتزها به هم قفل شده اند. یعنی، شما نمی توانید جملات x را از ثابتها جدا کنید. بنابراین قبل از اینکه بتوانید جملات را جدا کنید، نیاز دارید که پرانتزها را از معادله حذف کنید.

به یاد بیاورید که یک معادله در حقیقت فقط دو عبارت است که با علامت برابری (=) به یکدیگر متصل شده اند. بنابراین شما می توانید با عبارت سمت چپ کار را آغاز کنید. در این عبارت، پرانتزها با یک علامت بعلاوه (+) آغاز شده اند، بنابراین می توانید به سادگی فقط پرانتزها را حذف کنید.


حالا به سراغ عبارت سمت راست می رویم. این بار، پرانتزها بلافاصله بعد از علامت منها (-) می آیند. برای حذف پرانتزها، علامت هر دو جمله موجود در داخل پرانتز را تغییر بدهید: x می شود x- و 7- می شود 7:


آفرین! حالا می توانید جملات x را با تمام وجودتان منزوی نمایید. x- را از سمت راست به سمت چپ ببرید، و آن را تبدیل به x کنید:


سپس، 15- را از سمت چپ به سمت راست ببرید، آن را به 15 تغییر بدهید:


حالا جملات مشابه را در هر دو سمت معادله با یکدیگر ترکیب کنید:


در نهایت، با تقسیم کردن از شرّ ضریب 12 خلاص شوید:


طبق معمول می توانید با جایگزین کردن عدد 5 به جای تمامی x های موجود در معادله اصلی، پاسخ خود را درستی آزمایی کنید:


در اینجا یک مثال دیگر داریم:


مشابه مثال قبلی، با حذف هر دو جفت پرانتزها کار را آغاز کنید. این بار، در سمت راست معادله، بین 3 و پرانتز علامتی وجود ندارد. اما دوباره می توانید از مهارتهایی که در فصل 21 یاد گرفته اید، استفاده کنید. برای حذف پرانتزها، عدد 3 را در هر دو جملۀ موجود در داخل پرانتز، ضرب کنید:


در سمت راست معادله، پرانتزها با علامت منها آغاز شده اند، پس با تغییر دادن علامت جمله های داخل پرانتز، پرانتزها را حذف کنید:


حالا آماده اید که جملات x را منزوی سازید. من این کار را در یک مرحله انجام داده ام، اما شما هر چند مرحله که بخواهید می توانید داشته باشید:


در این مرحله، می توانید جملات مشابه را با یکدیگر ترکیب کنید:


برای خاتمه کار، هر دو سمت معادل هر را بر 2- تقسیم کنید:


مثل همیشه، با جایگزینی، راه حلتان را درستی آزمایی کنید:


هم اکنون همۀ متغیرها از بین رفته اند، پس قوانین ترتیب عملیات ها را از فصل 5 بیاد بیاورید. با ضربهای داخل پرانتز، که آنها را با زیرخط متمایز کرده ام، شروع کنید:


حالا می توانید هر آنچیزی را که در داخل هر جفت پرانتز قرار دارد، ساده کنید:


و حالا می توانید پرانتزها را حذف کنید و بررسی را تکمیل کنید:

ضرب متقابل (Cross-multiplication)

در جبر، ضرب متقابل (Cross-multiplication) به شما کمک می کند تا با حذف کردن کسرهای ناخواسته، معادلات را ساده تر کنید (و اگر صادقانه بگوییم اصلاً کِی کسرها خواسته بوده اند؟). همانطور که در فصل 9 بحث کردم، شما می توانید از ضرب متقابل برای مقایسه بزرگی یا کوچکی و یا حتی برابر بودن دو کسر استفاده نمایید. برای مثال، در اینجا دو کسر برابر داریم:


هنگامی که شما این دو کسر را ضرب متقابل می کنید، صورت یک کسر را در مخرج کسر دیگر ضرب می کنید:


اما، فرض کنید می خواهید این معادله جبری را حل کنید:


این معادله مبهم به نظر می رسد. شما نمی توانید تقسیم را انجام بدهید یا چیزی را خط بزنید، چرا که کسر سمت چپ دو جمله در مخرجش دارد، و کسر سمت راست، دو جمله در صورتش دارد.(اگر در صورت یا مخرج کسر بیش از یک جمله جبری وجود داشته باشد، شما نمی توانید متغیرها یا ضرایب را خط بزنید). با این حال، شما در اینجا یک تکه اطلاعات خیلی مهم دارید و آن این می باشد که، هر دوی این کسرها با هم برابر می باشند. بنابراین، اگر این دو کسر را به صورت متقابل در یکدیگر ضرب کنید، دو نتیجه بدست آمده با هم برابر می باشند:


در این مرحله، شما چیزی دارید که می دانید چگونه با آن کار کنید. سمت چپ آسان می باشد:


سمت راست نیاز به عملیات FOIL دارد که در فصل 21 آن را توضیح دادیم:


حالا همه پرانتزها از بین رفته اند، بنابراین شما می توانید جملات x را منزوی کنید. از آنجا که بیشتر این جملات در حال حاضر در سمت راست معادله قرار دارند، شما هم آنها را در سمت راست منزوی کنید:


ترکیب کردن جملات مشابه یک سورپرایز خیلی لذت بخش به شما می دهد:


هم اکنون می توانید با خیره شدن به مسأله پاسخ را متوجه شوید، اما ما مسأله را با روش معمول خاتمه می دهیم:


برای درست آزمایی پاسختان، عدد 3 را در معادله اصلی جایگزین کنید:


درستی مسأله تایید می شود، بنابراین 3 = x صحیح می باشد.