خوش آموز اولین و تنها سایت آموزشی %100 رایگان ایران با 4507 آموزش متنی، تصویری و ویدئویی

عملیات جبری (Algebra Operations)

عملیات جبری (Algebra Operations)

کد مطلب : 4553 PDF

امروزه در جبر، یک متغیر نشان دهنده یک چیز ناشناس است. قبل از اینکه استفاده از نمادها (symbols) متداول شوند، مسأله ها با استفاده از عبارات بلند و پر از لغت نوشته می شدند. در واقع، استفاده از حروف، علامت ها، و عملیات ها یک پیشرفت خیلی بزرگ بود. ابتدا، چندین عملیات مورد استفاده قرار گرفت، و سپس جبر به صورت کامل نمادین (symbolic) گشت. امروزه، ممکن است برخی کلمات را در کنار عملیات ها ببینید که مانند زیرنویس در یک فیلم، برای توضیح و کمک به درک شما می باشند.

دوره آموزش رایگان ریاضی پایه و جبر

با انجام آنچه ریاضیدانان اولیه انجام می دادند - اجازه بدهید یک متغیر نماینده یک عدد باشد، سپس چند عملیات را استفاده کنید (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم)، و سپس از برخی قوانین خاص که سالهاست ایجاد شده اند، استفاده کنید - شما یک سیستم مستحکم و سازمان یافته برای ساده کردن، حل کردن، مقایسه، یا تایید یک معادله دارید. این همه چیز درباره جبر است: این چیزی است که جبر در آن به درد می خورد.

رمزگشایی نمادها


اصول جبر شامل نمادها می شود. جبر از نمادها برای مقادیر، عملیات ها، ارتباطات، یا گروه بندی استفاده می کند. نمادها مختصرنویسی هستند و بسیار کارآمدتر از نوشتن کلمات یا مفاهیم هستند. اما شما باید بدانید نمادها چه چیزی را نمایندگی می کنند، و لیست زیر مقداری از این اطلاعات را با شما به اشتراک گذاشته است. عملیات ها به طور کامل در فصل 5 پوشش داده شده اند.

  • + به معنای جمع یا پیدا کردن مجموع می باشد. همچنین برای نشان دادن یک عدد مثبت مورد استفاده قرار می گیرد.

  • - به معنای تفریق یا پیدا کردن تفاضل دو عدد می باشد. همچنین برای نشان دادن یک عدد منفی مورد استفاده قرار می گیرد.

  • × به معنای ضرب کردن می باشد. مقادیری که در یکدیگر ضرب می شوند فاکتورها (factors) نامیده می شوند. برخی از نمادهای دیگر که معنای ضرب می دهند در ادامه آمده اند:
     ( ), [ ], { }, ·, *
    در جبر نماد × به ندرت مورد استفاده قرار می گیرد، چون ممکن است با متغیر x (ایکس) اشتباه گرفته شود. علامت نقطه (dot) رایج است، چرا که نوشتنش راحت می باشد. نمادهای گروه بندی در مواقعی که نیاز به نوشتن جملات زیاد و یا عبارات شلوغ دارید، مورد استفاده قرار می گیرند. نمادهای گروه بندی به خودی خود معنای ضرب نمی دهند، اما اگر مقداری را قبل از یک نماد گروه بندی قرار دهید، معنای ضرب می دهد.

  • ÷ به معنای تقسیم می باشد. عددی که می خواهید آن را تقسیم کنید، مقسوم (dividend) نامیده می شود و عددی که بر آن تقسیم می کنید مقسوم علیه (divisor) نامیده می شود. نتیجه تقسیم نیز خارج قسمت (quotient) می باشد. نمادهای دیگری که نشان دهنده تقسیم می باشند خط کسری و اسلش (/) می باشد.

  • √ به معنای گرفتن جذر (square root) چیزی می باشد، یعنی عددی را پیدا کنید که اگر در خودش ضرب شود، عدد زیر این علامت را به شما بدهد. نام این علامت رادیکال می باشد. (در فصل 4 در مورد جذرها بیشتر صحبت شده است.)

  • | | به معنای پیدا کردن قدر مطلق (absolute value) یک عدد می باشد، که خود آن عدد یا فاصله آن عدد از 0 در خط اعداد می باشد. (برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد قدر مطلق فصل 2 را ببینید.)

  • π یک حرف یونانی است که به عدد گنگ ...3.14159 اشاره می کند. این عدد نمایانگر ارتباط بین قطر و محیط یک دایره می باشد.

گروه بندی (Grouping)


هنگامی که یک تولید کننده خودرو یک ماشین را مونتاژ می کند، ابتدا باید چندین چیز مختلف انجام شود. متخصصان موتور ماشین، ابتدا باید موتور و تمامی اجزاء آن را بسازند. بدنه خودرو باید روی شاسی نصب و ایمن سازی شود. به همین ترتیب سایر متخصصان خودرو هر کدام باید وظایفی را که در آن تخصص دارند، انجام بدهند. هنگامی که تمامی این وظایف به ترتیب و به درستی انجام شوند، سپس می توان خودرو را مونتاژ کرد. در جبر نیز چیزی مشابه این داریم. شما ابتدا باید آنچیزهایی را که در داخل نمادهای گروه بندی قرار دارند، انجام بدهید و سپس نتایج داخل گروه بندیها را در سایر بخشهای معادله به کار بگیرید.

نمادهای گروه بندی (Grouping symbols) به شما می گویند که ابتدا باید با جملات داخل آنها سر و کار داشته باشید، و سپس به بقیه مسأله بپردازید. اگر مسأله شامل نمادهای گروه بندی باشد، ابتدا آنچیزهایی را که داخل نماد گروه بندی قرار دارد، انجام بدهید، و سپس برای بقیه مسأله، قوانین ترتیب عملیات ها (order of operations) را دنبال کنید. نمادهای گروه بندی به شرح زیر هستند:

  • پرانتزها (): پرانتزها (Parentheses) رایج ترین نمادهای گروه بندی هستند.

  • کروشه ها [] و آکولادها {}: کروشه ها (Brackets) و آکولادها (braces) نیز به وفور مورد استفاده قرار می گیرند و تاثیر یکسانی را با پرانتزها دارند. استفاده از نمادهای متفاوت برای گروه بندی در مواقعی که بیش از یک گروه بندی در یک مسأله قرار داشته باشد به شما کمک می کند. در واقع گفتن اینکه یک گروه کجا آغاز می شود و در کجا خاتمه می یابد، ساده تر می شود.

  • رادیکال √: رادیکال (Radical) برای پیدا کردن ریشه ها استفاده می شود.

  • خط کسری (Fraction line): خط کسری یک خط است که مشابه یک نماد گروه بندی عمل می کند - همه چیزهای بالای این خط (یعنی صورت کسر) با یکدیگر هم گروه می شوند، و همه چیزهای پایین این خط (یعنی مخرج کسر) نیز با یکدیگر هم گروه می شوند.

با وجود اینکه قوانین ترتیب عملیات ها و قوانین نمادهای گروه بندی نسبتاً ساده هستند، توصیف تمامی وضیعتهایی که به این شکل می توانند در مسائل ظاهر شوند، با کلمات مشکل است. مثالهای موجود در فصل 5 و فصل 7 همه چیز در این ارتباط را برای شما کاملاً روشن می سازند.

تعریف روابط (relationships)


جبر تماماً در مورد روابط است، - منظور از روابط "او من را دوست دارد" یا "او من را دوست ندارد" نیست! - مراد در اینجا روابط بین اعداد یا روابط بین جملات یک معادله می باشد. اگرچه روابط جبری (algebraic relationships) می تواند به پیچیدگی روابط عاشقانه باشد، شما شانس بیشتری برای درک یک رابطه جبری دارید. نمادهای روابط در اینجا ذکر شده اند. (اطلاعات بیشتر در مورد معادلات را در فصل 11 تا 14 و نابرابری ها در فصل 15 می توانید بیابید.)

  • = یعنی مقدار اول با مقدار دوم برابر می باشد.

  • ≠ یعنی مقدار اول با مقدار دوم برابر نمی باشد.

  • ≈ یعنی مقدار اول تقریباً برابر با مقدار دوم است. این نماد در هنگام گرد کردن اعداد مورد استفاده قرار می گیرد.

  • ≥ یعنی مقدار اول کوچکتر یا برابر با مقدار دوم می باشد.

  • > یعنی مقدار اول کوچکتر از مقدار دوم است.

  • ≤ یعنی مقدار اول بزرگتر یا برابر با مقدار دوم می باشد.

  • < یعنی مقدار اول بزرگتر از مقدار دوم می باشد.

انجام عملیات جبری


جبر شامل نمادهایی همچون متغیرها و علائم عملیات ها می باشد که ابزارهایی هستند که شما می توانید از آنها استفاده کنید تا عبارتهای جبری را قابل استفاده تر و خواناتر کنید. این چیزها با ساده کردن (simplifying)، فاکتور گرفتن (factoring)، و حل مسائل (solving problems) ارتباط تنگاتنگی دارند، که در صورت شکستن به اجزاء تشکیل دهنده آن، حل مسأله ساده تر می شود. استفاده از نمادها در واقع بسیار ساده تر از استفاده از یک دسته از کلمات می باشد.

  • ساده کردن (simplify) یعنی تمامی آن چیزهایی را که می توانند با هم ترکیب شوند، با یکدیگر ترکیب کنیم، تعداد جملات را کاهش بدهیم، و یک عبارت را به شکلی در بیاوریم که به آسانی قابل فهم باشد.

  • فاکتورگیری (factor) یعنی دو یا چند جمله را فقط به یک جمله تبدیل کنیم. (برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد فاکتورگیری بخش دوم کتاب را ببینید.)

  • حل کردن مسأله (solve) یعنی پاسخ را پیدا کنیم. در جبر یعنی پیدا کردن اینکه متغیر نماینده چه عددی می باشد. (در مورد حل معادله ها بخش 3 را ببیند و در مورد حل کردن برای پاسخ های کاربردهای عملی بخش 4 را ببینید.)

حل کردن معادله سرگرم کننده است زیرا هدفی در آن قرار دارد. شما مسأله را برای رسیدن به چیزی حل می کنید (اغلب یک متغیر مانند x) و یک پاسخ بدست می آورید که می توانید بررسی نمایید آیا درست یا نادرست است. شبیه یک معماست. برای برخی افراد همین که بگوییم "x را به من بده" کفایت می کند. چه چیز بیشتری ممکن است بخواهید؟ اما حل این معادله ها فقط یک وسیله برای رسیدن به هدف است. زیبایی واقعی جبر هنگامی درخشش را نشان می دهد که شما مسائلی را در دنیای واقعی حل کنید - یک کاربرد عملی. آیا برای شنیدن این دو کلمه آماده اید: مسائل داستانی (story problems)؟ مسائل داستانی، هدف نهایی از انجام جبر می باشند. چرا جبر را انجام می دهید، مگر اینکه دلیل خوبی داشته باشید؟ اوه، من معذرت می خواهم - شما ممکن است صرفاً بدلیل سرگرمی معادلات جبری را حل کنید. (بله، برخی از مردم این کار را دوست دارند.) اما بقیه مردم دوست دارند روشی را ببینند که طی آن یک پاراگراف پیچیده می تواند به یک عبارت شفاف، واضح و مختصر، مانند این تبدیل شود "پاسخ سه موز می باشد".

انجام به ترتیب مراحل و استفاده از هر ابزار برای انجام این بازی، کاملاً شدنی است. ساده سازی (Simplify)، فاکتورگیری (factor)، حل کردن مسأله (solve)، و بررسی پاسخ (check). در ادامه این کتاب، به هر کدام از این موارد به شکل عمیقتری می پردازیم.



نویسنده : امیر انصاری

دیدگاه ها(0)

دیدگاه خود را ثبت کنید: