خوش آموز اولین و تنها سایت آموزشی %100 رایگان ایران با 4507 آموزش متنی، تصویری و ویدئویی

کاهش کسرها (ساده کردن کسرها)

کاهش کسرها (ساده کردن کسرها)

کد مطلب : 4567 PDF

درست همانموقعی که فکر می کنید تمامی روش های مختلف مربوط به کاهش (reduce) را شنیده اید، روش دیگری ظاهر می شود. کاهش کسرها! کاش کاهش وزن هم به همین آسانی بود!

دوره آموزش رایگان ریاضی پایه و جبر

هنگام استفاده از کسرها، معمولاً می خواهید آنها به زیباترین شکل ممکن باشند. گاهی اوقات زیبا به این معناست که می خواهید دو کسر مخرج یکسانی داشته باشند. اما در مورد فعلی، زیبا به این معناست که کوچکترین اعداد ممکن در صورت و مخرج کسر قرار بگیرند. گاهی اوقات سر و کله زدن با اعداد کوچکتر ساده تر از - درک آنها و تجسم کردن آنها ساده تر است - اعداد بزرگتر است. همچنین، انجام محاسبات با اعداد کوچکتر بسیار ساده تر است. همانطور که در هنگام دریافت وام بانکی، "کمترین شرایط" مطلوب است، در هنگام کار کردن با کسرها نیز "کمترین شرایط" (lowest terms) مطلوب می باشد.

یادتان باشد: در شرایطی می توانیم بگوییم یک کسر در "کمترین شرایط" (lowest terms) قرار دارد که صورت و مخرج کسر بر هیچ عدد کاملی (به غیر از 1) بخش پذیر نباشد.

تنهاترین عدد (the loneliest number)


عدد 1 معروف به تنهاترین عدد می باشد. هنگامی که عدد 1 را در عدد دیگری ضرب کنید، یا اینکه عددی را بر 1 تقسیم کنید، اتفاق خاصی نمی افتد، اما این دو عملیات در هنگام کار با کسرها بسیار حائز اهمیت هستند. تعداد عدد 1 که با کسرها استفاده می شود، بیشتر از همه اعدادی که برابر با 1 می باشند، نیست.

تقسیم بر یک


قوانین جبر: هر عددی که بر 1 تقسیم شود، نتیجه همان عدد می شود: برای هر عدد حقیقی n:
n ÷ 1 = n

بنابراین، دانستن این موضوع به شما امکان می دهد تا ظاهر یک کسر را بدون اینکه مقدار آن تغییر کند، تغییر بدهید. چگونگی این کار را در مثال زیر ببینید؟

کاهش کسرها (ساده کردن کسرها)
شما یک چیز یکسان را برای صورت و مخرج کسر انجام می دهید، در واقع صرفاً آن را بر 1 تقسیم می کنید، که مقدار را تغییر نمی دهد - تنها ظاهر را تغییر می دهد.

ضرب در یک


قوانین جبر: هر عددی در 1 ضرب شود، نتیجه خود همان عدد می شود: برای هر عدد حقیقی n:
n x 1 = n

مشابه تقسیم، شما می توانید کسرها را در 1 ضرب کنید و با این کار بدون اینکه مقدار کسر تغییر کند، ظاهرش را تغییر بدهید. مثالها را ببینید:

کاهش کسرها (ساده کردن کسرها)
در مورد کسرها، به جای اینکه واقعاً عدد 1 را استفاده کنید، می توانید از کسری که برابر با 1 می باشد استفاده نمایید:

کاهش کسرها (ساده کردن کسرها)
استفاده از مقدار کسری معادل 1 به شما امکان می دهد تا ظاهر کسرها را بدون اینکه مقدار کسر تحت تاثیر قرار بگیرد، تغییر بدهید.

کاهش کسرها (ساده کردن کسرها)
جدول 1-3 چندین کسر معادل از چیزهای روزمره ما را لیست کرده است.

کاهش کسرها (ساده کردن کسرها)
One-half of a basketball game: نیمی از یک بازی بسکتبال
Two periods of a hockey game: دو دوره از بازی هاکی
Four days of a week: چهار روز از یک هفته
Five innings of a baseball game: پنج نوبت از یک بازی بیسبال
Seven months of a year: هفت ماه از یک سال
Twenty-three hours of a day: بیست و سه ساعت از یک روز

درک کسرهای برابر


هنگامیکه شما صورت و مخرج یک کسر را در عدد یکسانی ضرب یا بر آن تقسیم می کنید، شما مقدار کسر را تغییر نداده اید. در واقع شما آن را در 1 ضرب یا بر 1 تقسیم کرده اید، زیرا هرگاه صورت و مخرج کسری برابر باشند، آن کسر برابر با 1 خواهد بود.

اگر یک دستور آشپزی بگوید 12 اونس (ounce) از چیزی نیاز دارید و شما یک بسته 32 اونسی داشته باشید، چقدر از آن بسته را استفاده می کنید؟ اگر به صورت کسر بگوییم از بسته را استفاده می کنید. اگر شما عدد 12 را که در صورت کسر قرار دارد و 32 را که در مخرج کسر قرار دارد بر 4 تقسیم کنید، شما در واقع را بر که برابر با 1 می باشد، تقسیم کرده اید. مشابه همین مسأله در مورد ضرب کردن صورت و مخرج کسر بر همان عدد برقرار است.

در اینجا چند مثال از ایجاد کسرهای برابر با استفاده از ضرب و تقسیم را می بینید:

کاهش کسرها (ساده کردن کسرها)
با این وجود، تمامی کسرهای دارای اعداد بزرگ، قابل تغییر به کسرهای دارای اعداد کوچک نیستند. چندین قانون باید دنبال شود تا کسر مربوطه یکپارچگی اش را حفظ کند، منظور از حفظ یکپارچگی در اینجا اینست که کسر مربوطه با کسر اصلی دارای مقدار یکسانی باشد.

برای کاهش کسرها به "کمترین شرایط" (اصطلاحاً به آن ساده کردن کسرها می گویند) این مراحل را دنبال کنید:

  1. دنبال اعدادی بگردید که صورت و مخرج کسر بر آن اعداد بخش پذیر باشند.

    اگر بیش از یک عدد یافتید که صورت و مخرج کسر بر آن بخش پذیر باشند، عدد بزرگتر را انتخاب کنید.

  2. هم صورت و هم مخرج کسر را بر عددی که انتخاب کرده اید تقسیم کنید، و نتیجه بدست آمده را در موقعیت های مربوط به خودشان قرار دهید.

مثال: برای کاهش کسر به کمترین شرایط، این مراحل را دنبال کنید:

  1. دنبال اعدادی بگردید که هم صورت و هم مخرج کسر بر آنها بخش پذیر باشند.

    شما انتخابهای زیادی دارید. اعداد 48 و 60 هر دو بر اعداد 2 و 3 و 4 و 6 و 12 بخش پذیرند. از آنجا که 12 بزرگترین عدد است، آن را انتخاب کنید.

  2. تقسیم را انجام بدهید و کسر را بازنویسی کنید.

    کاهش کسرها (ساده کردن کسرها)

نکات فنی: هنگام کاهش کسرها، اگر بزرگترین مقسوم علیه (divisor) ممکن را انتخاب نکنید، کسر شما اشتباه نخواهد بود. فقط این معنا را خواهد داشت که شما مجبور خواهید بود دوباره تقسیم کنید تا به کمترین شرایط ممکن برسید. هنگام کاهش کسر ، شما ممکن است به جای 12 عدد 6 را انتخاب کنید و صورت و مخرج کسر را بر آن تقسیم کنید. در آنصورت، شما به کسر خواهید رسید، که دوباره با تقسیم صورت و مخرج بر عدد 2 قابل کاهش می باشد. انتخاب بزرگترین مقسوم علیه ممکن صرفاً تعداد مراحلی را که شما باید طی کنید، کمتر می کند.

نکته: چه زمانی می توانید از این فرآیند کاهش کسر استفاده کنید؟ خوب، اگر شما 48 دقیقه در یک صف برای خرید بلیط هواپیما صرف کرده باشید چه می شود؟ این 48 دقیقه از مجموع 60 دقیقه موجود در 1 ساعت می باشد. به عنوان یک کسر به شکل نوشته می شود. شما می توانید ببینید که 48 از مجموع 60 زمان زیادی است. برای اینکه تصویر بهتری از آنچه در حال انجام است، داشته باشید، کسر را به کمترین شرایطش ببرید: صورت و مخرج کسر هر دو بر 12 بخش پذیرند. بنابراین شما از یک ساعت را در صف صرف کردید.

درک اینکه چرا کوچکتر یا کمتر، بهتر است؟


چرا بهتر از است؟ بیشتر مردم با اعداد کوچکتر بهتر ارتباط برقرار می کنند. شما می توانید 4 تا از 5 تا را بهتر و ساده تر از 48 تا از 60 تا از چیزی، در ذهنتان مجسم سازید - اگر حرف مرا باور ندارید شکل 1-3 را ببینید.

کاهش کسرها (ساده کردن کسرها)
ارائه چند وضعیت بیشتر ممکن است برای درک این موضوع به شما کمک کند:

  • یک نظرسنجی نشان داد که 162 نفر از 198 نفر "کره بادام زمینی بیکس" (Bix Peanut Butter) را ترجیح می دهند. کسر به کسر کاهش می یابد، که اطلاعات واضح تری در مورد اولویت مردم در زمینه کره بادام زمینی ارائه می دهد.

  • یک تبلیغ تلویزیونی می گوید: "طبق نظرسنجی ها نه نفر از ده دندانپزشک خمیردندان اسکویشی (Squishy Toothpaste) را ترجیح داده اند." (من همیشه تعجبم از این بود که چند دندانپزشک واقعاً در آن نظرسنجی شرکت کرده بودند.) کسر اطلاعات خوبی را در مورد اولویت دندانپزشک ها نشان می دهد، اما آیا فقط 10 دندانپزشک در این نظرسنجی شرکت داشته اند، یا 10,000؟

  • شما 18 قسط از 36 قسط تلویزیون جدیدتان را پرداخت کرده اید. هر دو عدد بر 18 بخش پذیرند. در 18 یک 18 و در 36 دو 18 وجود دارد. بنابراین شما می دانید که از اقساطتان را پرداخت کرده اید.
    کاهش کسرها (ساده کردن کسرها) همانطور که می بینید شما نصف قسطها را پرداخت کرده اید، یا اینکه نصف قسطها باقی مانده اند (البته دید شما بسته به اینست که نیمه پر یا نیمه خالی لیوان، کدامیک را می بینید).

  • پرتاب کننده محبوب شما (در بازی بیسبال) تاکنون 96 پرتاپ داشته است. از آنجا که در یک بازی معمولی نه نوبت (innings) وجود دارد، او تا کنون پرتاپ داشته است. از آنجا که یک کسرنامتعارف (improper) می باشد، ابتدا 96 را بر 9 تقسیم کنید و باقیمانده (remainder) آن را به صورت یک کسر بنویسید: .

نکات فنی: باقیمانده (remainder) مقداری است که بعد از تقسیم یک عدد بر عددی دیگر برجای می ماند، و این در صورتی است که تقسیم به صورت برابر انجام نشود. باقیمانده را می توان به صورت یک کسر نوشت به شکلی که باقیمانده در صورت کسر و مقسوم علیه (divisor) در مخرج کسر قرار گیرد. همچنین می توان باقیمانده را بر حرف R نشان داد، مثلاً:
96 ÷ 9 = 10 R 6



نویسنده : امیر انصاری

دیدگاه ها(0)

دیدگاه خود را ثبت کنید: