جذر (Square Roots)

هنگامی که عملیات جذر (square roots) - به آن ریشه مربع یا ریشه توان دوم نیز می گویند - را انجام می دهید، نماد این عملیات رادیکال (radical) √ می باشد. ریشه توان سوم، یک عدد 3 کوچک قبل از رادیکال دارد و ریشه توان چهارم، یک عدد 4 کوچک قبل از رادیکال دارد، و به همین ترتیب.

رادیکال یک عملیات غیرباینری (non-binary) می باشد (یعنی فقط شامل یک عدد می شود) که از شما می پرسد، "چه عددی ضربدر خودش شود، این عدد زیر رادیکال را به شما می دهد؟" یک روش دیگر برای گفتن این مسأله اینست: "اگر

، پس

."

پیدا کردن ریشه توان دوم یک عملیات نسبتاً رایج در جبر است، اما کار کردن با آن و ترکیب ریشه ها همیشه واضح نیست.

قوانین جبر: عبارتهای دارای رادیکال، مادامیکه توان ریشه آنها و یا مقدار زیر رادیکال یکسان باشند، می توانند ضرب یا تقسیم شوند. عبارتهای دارای رادیکال تنها در صورتی می توانند با یکدیگر جمع یا تفریق شوند که هم توان ریشه آنها و هم عدد زیر رادیکال آنها با یکدیگر یکسان باشند.

مثال: در اینجا چند مثال از ساده کردن عبارتهای رادیکال هر گاه که ممکن باشند، داریم:

: اینها می توانند ترکیب شوند، زیرا عملیات ضرب است و توان ریشه نیز یکسان است.
: اینها می توانند ترکیب شوند، زیرا تقسیم است و توان ریشه نیز یکسان است.
: اینها نمی توانند ترکیب شوند، زیرا عملیات جمع است، و مقدار زیر رادیکال یکسان نمی باشد.
: اینها نمی توانند ترکیب شوند زیرا تفریق است و مقدار زیر رادیکال یکسان نمی باشد.
: اینها نمی توانند ترکیب شوند زیرا تفریق است و ریشه توان یکسان نمی باشد.
: اینها می توانند ترکیب شوند زیرا هم ریشه توان و هم عدد زیر رادیکال یکسان می باشند.

هنگامی که اعداد درون رادیکال یکسان باشند، شما می توانید چندین ترکیب زیبا را ببینید که شامل جمع و تفریق می گردند. ضرب و تقسیم می توانند اجرا شوند، خواه آنها یکسان باشند یا نباشند. ریشه توان (root power) به ریشه مربع (square root)

، ریشه مکعب (cube root)

، ریشه چهارم (fourth root)

، و به همین ترتیب، اشاره دارد.

در اینجا قوانین جمع، تفریق، ضرب، و تقسیم عبارتهای رادیکال را می بینید. فرض کنید a و b اعدادی مثبت باشند.

: جمع و تفریق در صورتی می توانند انجام شوند که ریشه توان و عدد زیر رادیکال یکسان باشند.
: ضرب و تقسیم در صورتیکه ریشه توان ها با هم برابر باشند، قابل انجام است.

در اینجا برخی از پرکاربردترین ریشه های دوم (جذر) را می بینید:

نکات فنی: توجه داشته باشید که ریشه مربع (ریشه دوم) از یک عدد که با 1 آغاز می شود و تعداد زوجی صفر بعد از آن قرار دارد همواره برابر با 1 و نصف آن تعداد صفر می باشد.

قراردادی که ریاضیدانان تصویب کرده اند اینست که از کسرها در توان برای نمایش ریشه یا یک رادیکال استفاده کنند. استفاده از توان های کسری در هنگام ترکیب فاکتورها ساده تر می باشد، و همینطور تایپ آنها نیز ساده تر می باشد، برای مثال:

توجه داشته باشید، وقتی که هیچ عددی بیرون و در گوشه بالای رادیکال قرار نداشته باشد، شما فرض می کنید که آنجا یک 2 قرار دارد، و منظور ریشه مربع است. همینطور به یاد بیاورید هنگامی که یک توان را به توان می رسانیم، توان ها را در یکدیگر ضرب می کنید (در آموزشهای همین فصل مبحث توانِ توان موجود است).

در هنگام تبدیل شکل رادیکال به شکل توان کسری خواهیم داشت:

: ریشه n ام از a می تواند به صورت توان کسری نوشته شود که در آن a به توان متقابل (reciprocal) آن توان رسیده باشد.
: هنگامی که ریشه n ام از a^m گرفته می شود، به توان می رسد، و با توجه به قانون "توانِ توان"، در اینجا m و در یکدیگر ضرب می شوند.

این قانون شامل تبدیل رادیکال ها به توان های کسری به شما امکان می دهند تا عبارتهای زیر را ساده کنید. توجه داشته باشید که قانون "توانِ توان" (Powers of Powers)، در مورد پایه ها همچنان یکسان است.

مثال: در اینجا چند مثال از ساده کردن عبارتها، و ترکیب فاکتورهای مشابه داریم:

: توان را به شکل 9/4 رها کنید و سعی نکنید آن را با یک عدد مختلط (mixed number) نمایش بدهید.
: توان ها واقعاً نمی توانند ترکیب شوند، زیرا پایه ها یکسان نمی باشند.