از آنجاییکه در جبر متغیرها (variables) برای نمایش اعدادی که می توانند جمع، تفریق، ضرب، و تقسیم شوند، مورد استفاده قرار می گیرد، شما همواره فرض می کنید که متغیرها نماینده مقادیری هستند که می توانند جمع، تفریق، ضرب، و تقسیم گردند. اما استفاده از نمایندگی اینقدر ساده و واضح نیست. حتی مواقعیکه شما فقط مقادیری را با هم جمع می زنید، محدودیت هایی وجود دارد. به همین ترتیب، محدودیت ها و قوانینی برای جمع کردن متغیرها با یکدیگر یا جمع اعداد و متغیرها با یکدیگر وجود دارد.





یک دقیقه صبر کنید! صرفاً برای جمع کردن اعداد با یکدیگر، چه محدودیتهایی می تواند وجود داشته باشد؟ چرا باید مشکلی با آن داشته باشد؟ آیا 1 بعلاوه 1 دیگر 2 نمی شود؟ مطمئناً، مگر اینکه برابر با 4 باشد. در نظر بگیرید اگر شما شش کوارتر (quarters) - کوارتر سکه های 25 سنتی می باشد - و چهار دایم (dimes) - سکه ده سنتی - را با یکدیگر جمع بزنید، چه اتفاقی می افتد. هنگامی که این اعداد را با هم جمع می زنید، چه چیزی بدست می آورید (صرفنظر از اینکه این پول برای خرید یک فنجان قهوه لذیذ هم کافی نمی باشد)؟ ده کوارتر؟ ده دایم؟ ده دوارتر؟ ده کوایم؟

نه. البته که این احمقانه است. اما منظور من از محدودیت در جمع اعداد با یکدیگر را نشان می دهد. اگر بخواهید می توانید کوارترها (quarters) و دایم ها (dimes) را با یکدیگر جمع کنید و سپس تعداد سکه ها را بشمارید و بگویید که شما ده سکه دارید، یا هر سکه را به ارزش پولی معادلش تبدیل کنید و بگویید $1.90 یا یک دلار و 90 سنت دارید. هنگام جمع زدن مقادیر یا کمیت ها، باید اطمینان حاصل کنید که مقادیر با یکدیگر قابل جمع کردن هستند. در هنگام جمع حروف الفبا این مسأله بحرانی تر هم می شود زیرا خطاهای احمقانه آنقدرها آشکار نیستند. شما باید مراقب باشید تا آنها را به درستی جمع بزنید.

نمایش اعداد با حروف الفبا

حروف موجود در کلمه tip نمایش دهنده to insure proper service به معنای "اطمینان از خدمات مناسب" می باشد، و NATO مخفف North Atlantic Treaty Organization به معنای "سازمان پیمان آتلانتیک شمالی" می باشد. این چه ربطی به جبر دارد؟ در جبر، حروف الفبا نمایش دهنده کارها، مکان ها، یا مردم نیستند. حروف الفبا، یا متغیرها، همیشه نماینده اعداد هستند.

با قرار دادن یک متغیر به نمایندگی از یک کمیت، شما می توانید یک مسأله را ساده کنید و آن را به موقعیتهای خوب و شسته و رفته هدایت کنید زیرا مجبور نخواهید بود با یک دسته از کلمات بی نظم درگیر شوید. گاهی اوقات مجبور می شوید با شرایط نسبتاً پیچیده ای درگیر شوید. اما نترسید! چند قانون ساده می تواند کمک کند حتی پیچیده ترین وضعیتها به وضعیتی که به سادگی قابل درک باشد تبدیل گردد.

کار جمع آوری، سازماندهی و گزارش دهی سکه هایی که در طول یک فعالیت خیریه جمع آوری شده اند را در نظر بگیرید. اجازه دهید n نماینده مقدار نیکل ها (nickels) - سکه های پنج سنتی - در یک رول از نیکل ها باشد، اجازه دهید d نماینده دایم ها (dimes) - سکه های ده سنتی - در یک رول از دایم ها باشد، و اجازه دهید q نماینده کوارترها (quarters) - سکه های 25 سنتی - در یک رول از کوارترها باشد.

توجه داشته باشید که هر کدام از این متغیرهای n، d، و q نماینده یک مقدار پولی هستند - یک عدد. اکنون به من اجازه دهید تا به شما روشی را نشان بدهم که در آن این متغیرها برای توصیف مقادیر متعدد از اعداد مورد استفاده قرار می گیرند.

من شما را مسئول ترکیب تمامی تلاش های کمک کنندگان به خیریه قرار می دهم. بعد از جمع آوری پولها، شما این اطلاعات را از کمک کنندگان دریافت می کنید:

• اَن (Ann) شش رول نیکل، چهار رول دایم، و نه رول کوارتر جمع آوری کرده است، یا
  
  
• بِن (Ben) پنج رول نیکل، سه رول دایم، و هفت رول کوارتر جمع آوری کرده است، یا
  
  
• کال (Cal) پانزده رول نیکل، دو رول دایم، و شش رول کوارتر جمع آوری کرده است، یا
  
  
• دان (Don) یک رول نیکل، سه رول دایم، و چهار رول کوارتر جمع آوری کرده است، یا
  

هم اکنون شما می توانید با استفاده از نمادهای مختصرنویسی که شامل رول های سکه ها می باشند، مقادیر را با یکدیگر ترکیب کنید، مقادیر را مقایسه کنید، یا مقادیر را مرتب سازی کنید. (در ادامه همین فصل چگونگی جمع و تفریق متغیرها را یاد خواهید گرفت.)


یک متغیر که بیش از یکبار در یک عبارت یا معادله ظاهر شده است همواره باید نماینده یک عدد یکسان باشد. اگر آن متغیر بتواند بیش از یک چیز را نمایندگی کند، آن بیانیه بی ارزش خواهد بود - هیچ راهی برای تشخیص یک معنای یک متغیر از سایر معانی همان متغیر وجود نخواهد داشت.

متصل کردن فاکتورها و ضرایب

یک چیز خوب در مورد جبر اینست که در مصرف انرژی صرفه جویی می کند - منظور انرژی لازم برای نوشتن چندین علامت ضرب بین حروف و یا بین یک عدد و یک حرف می باشد. حتی نوشتن آن نقطه های کوچک در بین نمادها زمان بر است، بنابراین سیستم ساده تری اختراع شد. هرگاه یک عدد درست قبل از یک متغیر نوشته شود، مثل 3x، به این معنا می باشد که 3 و x در یکدیگر ضرب شده اند. این 3 و این x هر دو فاکتورهایی از جمله 3x هستند. و در این مورد 3 یک ضریب (coefficient) می باشد - این یک مشخصه ویژه است.

عددی که قبل از متغیر می آید ضریب (coefficient) می باشد. برای مثال، عدد 4 در هنگامی که عبارت a + a + a + a به شکل 4a بیان می شود، یک ضریب می باشد. هنگامی که چند متغیر در یکدیگر ضرب می شوند، علامتهای ضرب مورد نیاز نیستند. جمله 3xyz به این معنا می باشد که تمامی چهار فاکتور آن در یکدیگر ضرب شده اند.

تفسیر عملیات ها

نمادهای + و - ممکن است برای شما معانی زیادی داشته باشند. شما ممکن است این نمادها را در هنگام قرار دادن باتریها در چراغ قوه تان دیده باشید. همچنین در صورتحساب بانکی همیشه دوست دارید که نماد + را در کنار تراکنش ها ببینید. نمادهای + و - در جبر نیز چندین معنی دارند. معنای نماد تماماً به متنی که در آن مورد استفاده قرار گرفته است، بستگی دارد. به دلایلی، نمادهای + و - همواره جملات را - که دسته ای از متغیرها و اعداد هستند که با ضرب و تقسیم به یکدیگر متصل شده اند - از یکدیگر تفکیک می کنند. در زبان جبر، یک علامت بعلاوه (+) این معانی را می دهد: "و"، "بیشتر"، "با افزایش"، "اضافه شدن به"، و به همین ترتیب.

• : یک هدیه a دلاری حساب بانکی من را به میزان a دلار افزایش داده است.
  
• : دو نفر از این درب داخل شدند، و سپس a نفر بیشتر داخل شدند.
  
• : دما a درجه بود، و سپس 20 درجه بالاتر رفت.
  

این قدری متفاوت از جمله 2a می باشد که در آن ضریب 2 مقدار متغیر a را دوبرابر می کند:

• 2a: هیلاری (Hillary) مقدار a پاوند (pounds) وزن کم کرد، اما جورجیا (Georgia) مقدار 2a وزن کم کرد، دوبرابر بیشتر.
  
• 2a: دمای هوا a درجه بود، و سپس دوبرابر شد یعنی 2a.
  

علامت منها (-) این معانی را می دهد: "کمتر"، "برداشتن"، "کاهش با"، "کم شدن از"، "تفریق از"، و به همین ترتیب.

• : در آنجا a مدیر وجود داشتند، اما تعداد آنها 2 نفر کاهش یافت.
  
• : آنجا یکی کمتر از a تمساح در حوضچه بودند.
  
• : ویلیام (William) گفت در آغاز a سیب داشت و در پایان او 4 سیب کمتر داشت.
  

باوجودیکه شما باید در هنگام قرار دادن متغیرها به نمایندگی از اعداد مراقب باشید، مزایا و سادگی کار با متغیرها مشکلات احتمالی را جبران می کند. علاوه بر مزایای اینکه مجبور نیستید زیاد بنویسید، تمرکز کردن روی مسأله ای که فضای کمتری اشغال می کند ساده تر است - چشمان شما بهتر می توانند ردیابی کنند. همچنین نمادهای جبری دقیق هستند. معانی پنهانی که کلمات نوشتاری می توانند داشته باشند، در جبر وجود ندارد. جبر یک زبان جهانی است که از مرزهایی که زبان و زمان می تواند ارائه کند، عبور می کند.