خوش آموز اولین و تنها سایت آموزشی %100 رایگان ایران با 6064 آموزش متنی، تصویری و ویدئویی

نوشتن فاکتورهای اول یک عدد (Prime Factorizations)

نوشتن فاکتورهای اول یک عدد (Prime Factorizations)

کد مطلب : 4605 PDF

نوشتن فاکتورهای اول یک عدد مرکب روشی برای اینست که در هنگام کاهش کسرها یا فاکتورگیری از عبارات جبری، کاملاً مطمئن شویم هیچ چیزی را از قلم نینداخته ایم. این فاکتورها تنها روشی که یک عدد می تواند فاکتورگیری شود را به شما نشان می دهند. دو روش محبوب برای ایجاد فاکتورهای اول روش تقسیم وارونه (upside-down division) و روش درختی (trees) می باشند.

دوره آموزش رایگان ریاضی پایه و جبر

تقسیم وارونه (upside-down division)


یک روش برای نوشتن فاکتورهای اول اینست که یک تقسیم وارونه انجام بدهید. شما یک فاکتور اول - یک عدد اول که عددی که روی آن کار می کنید بر آن بخش پذیر باشد - را در سمت چپ و بیرون قرار می دهید و نتیجه یا خارج قسمت را در زیر قرار می دهید. خارج قسمت را - عددی که در زیر نوشته اید - بر عدد اول دیگری تقسیم می کنید و این کار را تا زمانیکه عدد پایینی یک عدد اول باشد ادامه می دهید. سپس می توانید متوقف شوید. ترتیبی که تقسیم را انجام داده اید مهم نیست. با هر ترتیبی که تقسیم ها را انجام داده باشید، به نتیجه یکسان یا همان لیست فاکتورهای اول یکسانی خواهید رسید. بنابراین، اگر می خواهید ابتدا کلیه فاکتورهای زوج را بدست آورید، فقط بر 2 تقسیم کنید تا زمانیکه دیگر بر 2 بخش پذیر نباشد.

در اینجا یک مثال از پیدا کردن فاکتورهای اول عدد 120 با روش تقسیم وارونه را می بینید:

نوشتن فاکتورهای اول یک عدد (Prime Factorizations)
ابتدا با تنها عدد اول زوج آغاز می کنم و عدد 120 را بر 2 تقسیم کردم، و 60 را بدست آوردم. از آنجا که عدد 60 عدد اول نیست، دوباره آن را بر 2 تقسیم کردم و 30 حاصل شد. سپس دوباره بر 2 تقسیمش می کنم و 15 بدست آمد. عدد 15 بر 3 بخش پذیر است، و نتیجه تقسیم 5 می باشد. از آنجا که عدد 5 اول می باشد، من تقسیم کردن را متوقف می کنم و از نتایج بدست آمده برای نوشتن فاکتورهای اول عدد 120 استفاده می کنم.

به اعدادی که در سمت چپ و بیرون جعبه تقسیم قرار دارند و رو به سمت پایین می روند و همینطور آخرین عدد پایین عملیات دقت کنید، خواهید دید که آنها دقیقاً به عنوان مقسوم علیه (divisors) در یک مسأله تقسیم، عمل می کنند - تنها تفاوت در اینست که در اینجا همه آنها اعداد اول هستند. باوجودیکه خیلی اعداد مرکب می توانند نقش مقسوم علیه را برای عدد 120 بازی کنند، اعداد مربوط به فاکتورهای اول 120 الزاماً باید مقسوم علیه های اول باشند.

هنگامی که از این فرآیند استفاده می کنید، معمولاً تمامی 2ها را اول انجام می دهید، سپس تمامی 3ها، سپس تمامی 5ها، و به همین ترتیب ادامه می دهید تا فرآیند فاکتورگیری اول را ساده تر کنید، اما می توانید این تقسیم ها را به هر ترتیبی که بخواهید انجام بدهید، در پایان نتیجه این می شود:
120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 23 · 3 · 5
در مثال بعدی، با عدد 13 آغاز می کنیم، زیرا به نظر می رسد واضحاً فاکتوری از عدد مربوطه است. بقیه تقسیم ها ترتیب نامنظمی دارند.

مثال: در اینجا مثال دیگری داریم، این بار فاکتورهای اول عدد 13,000 را بدست آورید:

نوشتن فاکتورهای اول یک عدد (Prime Factorizations)

رسیدن به فاکتورهای اول یک عدد با روش درختی


یک روش محبوب و رایج برای پیدا کردن فاکتورهای اول یک عدد، استفاده از درخت می باشد. به عددی که با آن آغاز می کنید به منزله تنه درخت فکر کنید و فاکتورهای اول در انتهای ریشه های درخت قرار می گیرند.

برای استفاده از روش درختی، شما عددتان را می نویسید و برای آن دو فاکتور پیدا می کنید که حاصلضربشان عدد مورد نظر شما گردد. سپس فاکتورهای آن دو فاکتور را می یابید، و سپس فاکتورهای فاکتورهای آن دو فاکتور و به همین ترتیب تا انتها ادامه می دهید. کار شما زمانی تمام می شود که در انتهای تمامی ریشه های درخت فقط اعداد اول باشند. سپس تمامی آن اعداد اول موجود در انتهای ریشه ها را برای نوشتن فاکتورهای اول عدد آغازین جمع آوری می کنید.

شکل 1-6 مثالی از پیدا کردن فاکتورهای اول عدد 6,350,400 را با استفاده از یک درخت فاکتور (factor tree) به شما نشان می دهد.

نوشتن فاکتورهای اول یک عدد (Prime Factorizations)
اکنون تمامی اعداد اول موجود در ریشه های درخت را گردآوری کنید:
7, 3, 7, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 5, 5
اگر آنها را به ترتیب از کوچک به بزرگ بچینید، خواهید داشت:

نوشتن فاکتورهای اول یک عدد (Prime Factorizations)
یادتان باشد: ممکن است درختی که شما ساخته اید، با درخت من متفاوت باشد. هر کسی مضربها و فاکتورهای متفاوتی را می بیند و موقع تقسیم علاقه مندیهای خودش را دارد. من به شخصه دوست دارم به اعدادی بچسبم که می توانم آنها را در ذهنم تقسیم کنم. اما شما ممکن است اهل ماشین حساب باشید. چیز عالی اینست که هر روشی جواب می دهد و پاسخ نهایی همیشه یک چیز خواهد شد.

قوانین بخش پذیری (rules of divisibility)


تکنیکهای پیدا کردن فاکتورهای اول بخوبی کار می کنند، مشروط بر اینکه شما شروع خوبی در پیدا کردن اعدادی که یک عدد را به طور برابر تقسیم می کنند، داشته باشید. شما احتمالاً قبلاً قوانین بخش پذیری بر 2 یا 5 یا 10 را بخوبی می دانید. اما برخی اعداد دیگر قوانین یا ترفندهای خیلی سودمندی دارند که با استفاده از آنها می توانید صرفاً با نگاه کردن به یک عدد متوجه شوید آیا بر فاکتور خاصی بخش پذیر می باشد یا خیر. در جدول 1-6 برخی از قوانین رایج بخش پذیری را برای شما لیست کرده ام. استفاده از بعضی از این قوانین ساده تر از بقیه است. توجه داشته باشید که من اعداد را به ترتیب نچیده ام، ترجیح من در اینجا این بوده است که اعداد را بر اساس نوع قوانین مورد استفاده مرتب سازی کنم.

نوشتن فاکتورهای اول یک عدد (Prime Factorizations)
قوانین بخش پذیری:

  • 2: اعدادی که با 0، 2، 4، 6، یا 8 خاتمه می یابند.
  • 5: اعدادی که با 0 یا 5 خاتمه می یابند.
  • 10: اعدادی که با 0 خاتمه می یابند.
  • 4: دو رقم آخر عدد بر 4 بخش پذیر باشد.
  • 8: سه رقم آخر عدد بر 8 بخش پذیر باشد.
  • 3: مجموع ارقام بر 3 بخش پذیر باشد.
  • 9: مجموع ارقام بر 9 بخش پذیر باشند.
  • 11: تفاضل بین مجموع اعداد به صورت متناوب (یک در میان) بر 11 بخش پذیر باشد.
  • 6: عدد بر 2 و بر 3 بخش پذیر باشد.
  • 12: عدد بر 3 و 4 بخش پذیر باشد.

مثال: در اینجا مثالی از استفاده از قوانین بخش پذیری داریم تا تعیین کنیم چه اعدادی 360 را به طور مساوی تقسیم می کنند:

  • عدد 360 با 0 خاتمه می یابد، بنابراین بر 2، 5، و 10 بخش پذیر می باشد.
  • دو رقم آخر عدد 360 یعنی عدد 60، بر 4 بخش پذیر می باشد، بنابراین کل عدد 360 بر 4 بخش پذیر می باشد.
  • سه رقم آخر 360 (اوکی، ظاهراً در این مثال کل عدد است) بر عدد 8 بخش پذیر است، پس کل عدد 360 بر 8 بخش پذیر می باشد.
  • مجموع ارقام 360 می شود 9، پس 360 هم بر 3 و هم بر 9 بخش پذیر می باشد.
  • تفاضل بین مجموع ارقام متناوب در عدد 360 برابر با 3 می باشد، پس این عدد بر 11 بخش پذیر نیست. (برای بدست آوردن مجموع ارقام متناوب من 0 + 3 را با یکدیگر جمع زده ام که 3 می شود و عدد 6 که چیزی برای جمع زدن با آن نداریم. تفاضل بین 6 و 3 می شود 3.)
  • عدد 360 هم بر 2 و هم بر 3 بخش پذیر است، پس بر 6 نیز بخش پذیر است.
  • عدد 360 هم بر 3 و هم بر 4 بخش پذیر است، پس بر 12 نیز بخش پذیر است.

مثال: در اینجا مثال دیگری داریم، این بار با عدد 1056.

  • عدد 1056 با 6 خاتمه می یابد، پس بر 2 بخش پذیر است.
  • دو رقم آخر 1056 عدد 56 را تشکیل می دهد، که بر 4 بخش پذیر است، پس کل عدد 1056 نیز بر 4 بخش پذیر است.
  • سه رقم آخر 1056 عدد 56 را تشکیل می دهد (0 قبل از عدد نادیده گرفته می شود)، که بر 8 بخش پذیر می باشد، پس کل عدد 1056 نیز بر 8 بخش پذیر است.
  • مجموع ارقام 1056 می شود 12، که بر 3 بخش پذیر است، پس 1056 نیز بر 3 بخش پذیر است.
  • تفاضل بین مجموع ارقام متناوب برابر با 0 می باشد، که بر 11 بخش پذیر است، پس 1056 هم بر 11 بخش پذیر است.
  • عدد 1056 هم بر 2 و هم بر 3 بخش پذیر است، پس بر 6 نیز بخش پذیر است.
  • عدد 1056 هم بر 3 و هم بر 4 بخش پذیر است، پس بر 12 نیز بخش پذیر است.

نکات فنی: قوانینی برای بخش پذیری بر 7 و 13 و چندین عدد دیگر نیز وجود دارند، اما سایر قوانین به ندرت مورد استفاده قرار می گیرند، بنابراین در اینجا به آنها نپرداخته ام.





نویسنده : امیر انصاری

دیدگاه ها(0)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

لطفا پیش از ارسال دیدگاه ، به نکات زیر توجه فرمایید :

- از نوشتن دیدگاه های غیر مرتبط با پست جدا خودداری کنید.
- لطفاً دیدگاه های خود را با حروف فارسی تایپ کنید، دیدگاه های فینگیلیش تایید نمی شوند.
- قبل از ارسال دیدگاه حتما متن پست و نظرات سایر دوستان را بخوانید . نظرات اسپم و تکراری تایید نخواهند شد.
- نظر شما ممکن است بدون پاسخ تایید شوند که در این صورت باید منتظر پاسخ از سوی دیگر کاربران باشید .
- چرا آموزش های سایت خوش آموز در قالب فایل pdf به صورت یکجا ارائه نمی شوند؟
- چرا برخی پرسش های کاربران پاسخ داده نمی شوند؟
- لطفا انتقادات و پیشنهادات و همچنین درخواست های خود را از طریق ایمیل khoshamoz[at].hotmail.com ارسال نمایید

مشکل نمایش فرمول های ریاضی در مرورگر کروم: از تاریخ 1398/06/15 و از بروز رسانی نسخۀ 76.0.3809.132 مرورگر کروم، یک باگ در نمایش فرمول های ریاضی در این مرورگر پیدا شده است که به سازندۀ کروم گزارش شده است. تا زمان رفع این مشکل برای مشاهدۀ صحیح آموزش های دارای فرمول های ریاضی از مرورگرهای فایرفاکس و مایکروسافت ادج استفاده نمایید.
دوره آموزشی رایگان جبر 1