شما ممکن است به فلسفه "هر چی بزرگتر بهتر" باور داشته باشید، این فلسفه در مورد حقوق های دریافتی، کلوچه ها، خانه ها و خیلی موارد دیگر صدق می کند، اما در مورد جبر واقعاً جواب نمی دهد. در بیشتر مواقع، دقیقاً برعکس این فلسفه در جبر برقرار است: در جبر کار کردن با اعداد کوچکتر، ساده تر و راحتتر، از کار کردن با اعداد بزرگتر است.





در این فصل، شما خواهید دانست چگونه به آن جملات "هر چی کوچکتر بهتر" دست یابید. شما با مبانی فاکتورگیری آشنا خواهید شد و ارتباط بین فاکتورگیری و تقسیم را خواهید دانست. الگوهای فاکتورگیری که در این فصل خواهید دید می توانند به عبارتهای تاحدی پیچیده تر نیز منتقل شوند.

فاکتورگیری (Factoring)

فاکتورگیری روش دیگری برای گفتن اینست که: "این را بازنویسی کن به نحوی که همه چیز در یکدیگر ضرب شود." شما معمولاً با دو یا چند جمله کار را آغاز می کنید و باید تعیین کنید چطور آنها را بازنویسی کنم تا همه آنها به نحوی در یکدیگر ضرب شوند. و، اوه بله، دو عبارت باید با هم برابر باشند! چرا اینهمه هیاهو؟ شما عبارتها را به صورت حاصلضربهایی بازنویسی می کنید - نتایج جدید با نتایج قدیم برابر نگه داشته می شوند - بنابراین شما می توانید عملیاتهایی را روی نتایج انجام بدهید. وقتیکه شما بتوانید فاکتور بگیرید، کسرها ساده تر کاهش پیدا می کنند، معادله ها ساده تر حل می شوند، و پاسخها ساده تر مشاهده می گردند.

فاکتور گرفتن اعداد

فاکتورگیری متضاد توزیع می باشد (برای اطلاعات بیشتر در مورد توزیع فصل 6 را ببینید). در هنگام توزیع، شما یک سری از جمله ها را در یک ضریب مشترک، ضرب می کنید. اکنون در فاکتورگیری، شما به دنبال چیزهای مشترک در یک سری از جمله ها می گردید و سپس آن چیزهای مشترک را بیرون می کشید، و آن فاکتور مشترک یا ضریب مشترک را با تقسیم کردن از تمامی جملات بیرون می آورید. به هر جمله به عنوان صورت یک کسر نگاه کنید، و شما یک مخرج یکسان برای هر کدام می یابید. با فاکتور گرفتن، آن فاکتور مشترک در بیرون یک جفت پرانتز یا هر نماد گروه بندی دیگر نوشته می شود و تمامی نتایج تقسیم ها در داخل پرانتز قرار می گیرند.

نوشتن فاکتورها به شکل تقسیم

در سه جمله ایِ یک فاکتور مشترک 2 می باشد. اما 4 نیز یک فاکتور مشترک است، همینطور 8 نیز یک فاکتور مشترک است. در اینجا نتایج تقسیم جملات بر 2، 4، و 8 را می بینید:


شما می بینید که پاسخ نهایی در هر مورد، شامل کسر نمی باشد. برای اینکه عددی یک فاکتور باشد، شرطش اینست که تمامی جملات را به صورت مساوی تقسیم نماید. برای اینکه نتایج فاکتورگیری را نمایش بدهید، فاکتور را بیرون پرانتز و نتایج تقسیم را درون پرانتز بنویسید:

خلاصه روش فاکتورگیری

روش کاملاً مناسب برای فاکتورگیری از یک عبارت اینست که فاکتورهای اول (prime factorization) هر کدام از اعداد را بنویسید و به دنبال بزرگترین فاکتور مشترک (GCF:Greatest Common Factor) بگردید. در پایان آنچه که واقعاً کاربردی تر و سریعتر است، اینست که به دنبال بزرگترین فاکتوری که به سادگی می توانید شناسایی کنید باشید. آن را فاکتور بگیرید و سپس بررسی کنید که آیا اعداد داخل پرانتزها دوباره نیاز به فاکتورگیری دارند. تقسیم را تکرار کنید تا زمانی که اعداد داخل پرانتزها در ارتباط با یکدیگر اول (relatively prime) باشند.

مثال: در اینجا چگونگی استفاده از روش تقسیم های تکراری برای فاکتورگیری عبارت زیر را می بینید:
شما میتوانید ببینید که ضریب هر جمله زوج می باشد، پس هر جمله را در 2 تقسیم کنید:


اعداد داخل پرانتز ترکیبی از اعداد زوج و فرد می باشند، بنابراین شما نمی توانید دوباره آنها را بر 2 تقسیم کنید. اعداد داخل پرانتز همگی بر 3 بخش پذیرند، اما انتخاب بهتری هم وجود دارد: شما ممکن است متوجه شده باشید که مجموع ارقام اعداد تمامی جمله ها 9 می شود. این قانون بخش پذیری بر 9 می باشد، بنابراین 9 می تواند هر جمله را به صورت مساوی تقسیم کند. (برای اطلاعات بیشتر در مورد قوانین بخش پذیری، فصل 6 را ببینید.) بنابراین:


حالا 2 و 9 را در یکدیگر ضرب کنید تا به نتیجه زیر برسید:


شما می توانستید در همان وهله اول 18 را بر هر کدام از جملات تقسیم کنید، اما افراد زیادی پیدا نمی شوند که جدول ضرب 18 را حفظ باشند. (حتی برای خود من هم عجیب و سخت است.) ضرایب اعداد داخل پرانتز چه می شوند؟ هیچکدام از آنها عدد اول نیستند. و برخی از آنها دارای فاکتورهای مشترک می باشند. اما هیچ فاکتوری وجود ندارد که تمامی ضریب ها را به صورت برابر تقسیم کند. این چهار ضریب در ارتباط با یکدیگر اول می باشند (relatively prime)، بنابراین فاکتورگیری شما خاتمه یافته است.

فاکتور گرفتن متغیرها (Factoring out variables)

متغیرها اعداد را نشان می دهند. متغیرهای دارای توان، توان های همان اعداد را نشان می دهند. به همین دلیل، متغیرها هم مثل اعداد می توانند در جملات یک عبارت فاکتور گرفته شوند، و در این بخش شما چگونگی این کار را خواهید دانست.


هنگام انجام عملیات جبری یا حل معادله ها، همیشه زمانی را برای درست آزمایی پاسختان صرف کنید. گاهی اوقات درست آزمایی صرفاً اینست که ببینیم آیا پاسخ معنادار می باشد یا خیر. در مورد فاکتورگیری عبارت ها، یک درست آزمایی بصری خوب اینست که فاکتور را در تک تک جملات داخل پرانتز ضرب کنید تا ببینید آنچیزی که قبل از فاکتورگیری با آن آغاز کرده بودید بدست می آید. برای انجام درست آزمایی بر روی فاکتورگیریتان:

• ضربها را به صورت ذهنی انجام بدهید تا مطمئن شوید شکل فاکتورگیری شده معادل شکل اصلی باشد. در واقع پاسختان را توزیع (distribute) کنید.
  
• یک روش خوب دیگر برای درست آزمایی کارتان، اینست که جملات داخل پرانتزها را با دقت رصد کنید تا مطمئن شوید که آنها هیچ مقداری را با یکدیگر به اشتراک نگذاشته باشند.
  

درست آزمایی سریع (quick checks) را در عبارتهای فاکتورگیری شدۀ زیر انجام بدهید:


آیا پاسخ شما همان چیزی است که با آن آغاز شده است؟ ضرب ها را در ذهنتان انجام بدهید:


آنها سه جمله موجود در مسأله اصلی می باشند.

حالا، برای دومین مرحله درست آزمایی سریع (quick check): به چیزهای داخل پرانتز در پاسختان بنگرید. دو جمله اول دارای y می باشند و دو جمله دوم دارای x و z می باشند، اما هیچ متغیری در هر سه جمله قرار ندارد. جملات داخل پرانتز در ارتباط با یکدیگر اول می باشند (relatively prime). درست آزمایی انجام شد!

ترکیب اعداد و متغیرها

آزمون واقعی فرآیند فاکتورگیری ترکیب اعداد و متغیرها، پیدا کردن بزرگترین فاکتور مشترک (GCF)، و فاکتورگیری موفقیت آمیز می باشد. گاهی اوقات ممکن است یک یا دو فاکتور را فراموش کنید، اما می توانید مجدداً یکبار دیگر کارتان را مرور سریعی کنید و چیزهای فراموش شده را انجام بدهید و یادتان نرود در هنگام حل کردن مسأله های جبری هیچ چیزی برای خجالت کشیدن وجود ندارد. اگر فاکتورگیری را در بیش از یک مرحله انجام می دهید، اهمیتی ندارد که فاکتورها را با چه ترتیبی بیرون می کشید. شما می توانید ابتدا اعداد را انجام بدهید یا ابتدا به متغیرها بپردازید. نتیجه یکسان خواهد بود.

مثال: فاکتورگیری کنید:

هر جمله یک ضریب دارد که بر 2، 3، و 6 بخش پذیر می باشد. شما 6 را به عنوان بزرگترین فاکتور مشترک آنها انتخاب می کنید.

هر جمله فاکتوری از x دارد. توان های x اعداد 2، 3، و 1 هستند. هنگامی که به دنبال بزرگترین فاکتور مشترک هستید، باید کوچکترین توان را انتخاب کنید، بنابراین فاکتور مشترک در اینجا فقط x می باشد.

هر جمله فاکتوری از y دارد. توان ها 3، 2، و 4 می باشند. کوچکترین توان 2 می باشد، پس فاکتور مشترک y² می باشد.

هر جمله فاکتوری از z دارد، و توان ها 1، 2، و 3 می باشند. عدد 1 کوچکترین است، بنابراین شما می توانید یک z را از هر جمله بیرون بکشید.

همه فاکتورها را در کنار یکدیگر قرار دهید، و شما را به عنوان بزرگترین فاکتور مشترک (GCF) خواهید داشت. بنابراین:


یک درست آزمایی سریع (quick check) انجام بدهید، از ابتدا تا انتها را در بزرگترین فاکتور مشترک (GCF)، در ذهنتان ضرب کنید تا مطمئن شوید حاصلضرب ها با عبارت اصلی تطابق دارند. سپس یک رفت و برگشت انجام بدهید تا مطمئن شوید هیچ فاکتور مشترکی بین جملات داخل پرانتز وجود نداشته باشد.

مثال:فاکتور بگیرید:

بزرگترین فاکتور مشترک ضریب ها 100 می باشد. با وجود اینکه توانهایی از a و b در سه جمله اول موجودند، هیچکدام از آنها در جمله آخر واقع نشده است. پس، شما شانس پیدا کردن فاکتورهای دیگری را ندارید. پس، فاکتورگیری را انجام بدهید:


مثال: فاکتور بگیرید:

هر چند هر کدام از اعداد مرکب (composite) - اعداد مرکب می توانند بر مقداری غیر از خودشان و 1 به صورت برابر تقسیم گردند - می باشند، این سه جمله هیچ فاکتور مشترکی ندارند. این عبارت نمی تواند فاکتورگیری شود. این عبارت اول (prime) در نظر گرفته می شود.

مثال: فاکتور بگیرید:

در این مثال، حتی اگر در مرتبه اول سرتاسر عبارت را بر بزرگترین فاکتور مشترک تقسیم نکنید، هنوز شانس موفقیت دارید. اجرای دوم مراقب مسأله خواهد بود. اغلب، انجام فاکتورگیری در دو مرحله ساده تر است، زیرا اعدادی که در هر مرحله از ابتدا تا انتهای عبارت را بر آنها تقسیم می کنید کوچکتر می شوند، و شما می توانید کار را به صورت ذهنی انجام بدهید.

فرض کنید شما تشخیص داده اید که بزرگترین فاکتور مشترک از این عبارت در این مثال 4x²y می باشد. سپس خواهید داشت:

با نگاه کردن به عبارت داخل پرانتز، متوجه خواهید شد که هر کدام از اعداد بر 11 بخش پذیرند و همینطور یک y در هر جمله مشترک می باشد. جمله های داخل پرانتز دارای فاکتور مشترک 11y می باشند.


شما می توانید این فاکتورگیری را تماماً در یک مرحله و با بزرگترین فاکتور مشترک انجام بدهید، اما هر کسی نمی تواند مضربهای 44 را تشخیص بدهد. همچنین، فاکتورگیری را می توانید در دو یا چند مرحله، با ترتیب های متفاوت، و با فاکتورهای متفاوت در هر مرحله، انجام بدهید. نتیجه در هر صورت یکسان خواهد بود.

مثال: فاکتور بگیرید:

هر کدام از جمله ها در عبارت منفی می باشد، تقسیم کردن منفی در همه جمله های داخل پرانتز آنها را مثبت می سازد.

تبدیل فاکتورگیری به یک مسأله تقسیم

شما ممکن است در تقسیم کردن جملات در ذهنتان فردی خبره باشید، اما گاهی اوقات حتی برای تواناترین افراد ساده تر اینست که جملاتی را که قرار است فاکتور گرفته شوند و فاکتورهای مشترک را به شکل یک سری مسأله تقسیم بنویسند. بله، حتی من هم گاهی اوقات به ناچار این کار را به منظور کاهش کسرها انجام می دهم تا محاسبات را ساده تر کنم و میزان موفقیتم را افزایش بدهم.

مثال: فاکتور بگیرید:

در ابتدا بزرگترین فاکتور مشترک ضریب ها را شناسایی کنید. همه آنها با 0 خاتمه می یابند، بنابراین هر کدام بر 10 بخش پذیرند.

سپس، به 48، 32، و 64 نگاه کنید (بعد از حذف صفر انتهای همه آنها به این اعداد مبدل می شوند)، درخواهید یافت که همه این اعداد بر 16 بخش پذیرند.

اعداد 10 و 16 را در کنار یکدیگر قرار دهید، خواهید دید، بزرگترین فاکتور مشترک 160 می باشد.

توان های x، y، و z را بررسی کنید، خواهید دید که می توانید هر جمله را بر فاکتور تقسیم کنید.

اکنون، هر جمله را در صورت یک کسر بنویسید و بزرگترین فاکتور مشترک را در مخرج کسر قرار بدهید.


بعد از کاهش کسرها، خواهید داشت:


توجه داشته باشید که هر جمله دو تا از سه متغیر را دارد، اما هیچ کدام از متغیرها در هر سه جمله وجود ندارند. ضریب ها در ارتباط با یکدیگر اول (relatively prime) می باشند، پس هیچ فاکتور مشترکی برای بیرون کشیدن وجود ندارد. بنابراین: