هنگامی که به یک عبارت درجه دوم، همچون عبارتی که در ادامه آمده است نگاه می کنید، ممکن است با خودتان فکر کنید، فهمیدن اینکه چگونه این عبارت را به حاصلضرب دو دوجمله ای فاکتور بگیریم، کار سخت و طاقت فرسایی است.





و حتی ممکن است با خودتان بیندیشید آیا اصلاً می توان آنها را به آن شکل فاکتورگیری کرد. اجازه بدهید به شما اطمینان بدهم این مسائل واقعاً آسان هستند. به آنها به شکل پازل نگاه کنید، البته نه پازل های چالش انگیزی همچون سودوکو (Sudoku) و کِن کِن (KenKen).

چیز زیبا در حل این نوع معماهای خاص اینست که سیستمی برای ساده کردن unFOIL وجود دارد. شما وارد این سیستم می شوید، و سیستم به شما کمک می کند بدانید پاسخ چیست یا حتی به شما کمک می کند تعیین کنید آیا اصلاً پاسخی وجود دارد. این روش را نمی توان به تمامی مسأله های فاکتورگیری تعمیم داد، اما در مورد عبارات درجه دوم به شکل صدق می کند. به همین دلیل است که کار کردن با عبارات درجه دوم در جبر اینقدر زیبا می باشد.

باز کردن بسته بندی FOIL

کلید unFOIL کردن این مسأله های فاکتورگیری سازماندهی می باشد:

• مطمئن شوید که عبارت شما در شکل می باشد.
  
• مطمئن شوبد جملات شما به ترتیب نزولی (کاهشی) توانها نوشته شده باشد.
  
• اگر لازم باشد، لیست اعداد اول و مربع های کامل را مرور کنید.
  
• این مراحل را دنبال کنید.
  

مراحل زیر را برای فاکتورگیری از عبارت درجه دوم با استفاده ازunFOIL دنبال کنید:

1. تمامی روشهایی که می توانید دو عدد را در یکدیگر ضرب کنید تا به a برسید، تعیین کنید.
   هر عددی حداقل می تواند به شکل یک حاصلضرب نوشته شود، حتی اگر این حاصلضرب شامل خود همان عدد ضربدر 1 باشد. بنابراین فرض کنید که دو عدد وجود دارند، e و f، که حاصلضرب آنها برابر با a می باشد. اینها دو عددی هستند که شما برای این مسأله نیاز دارید.
   
   
2. تمامی روشهایی که می توانید دو عدد را در یکدیگر ضرب کنید تا به c برسید، تعیین کنید.
   اگر مقدار c منفی باشد، فعلاً آن علامت منفی را نادیده بگیرید. بر روی اینکه نتایج چه فاکتورهایی برابر با قدرمطلق c می باشد، تمرکز کنید.
   حالا فرض کنید که دو عدد g و h وجود دارند که حاصلضرب آنها برابر با c می باشد. این دو عدد را برای این مسأله استفاده کنید.
   
   
3. حالا به علامت c و لیستهایتان در مراحل 1 و 2 نگاهی بیندازید.
   
   • اگر c مثبت باشد، مقداری را از لیست مرحله 1 انتخاب کنید و مقدار دیگری را از لیست مرحله 2 انتخاب نمایید به این نحو که مجموع حاصلضرب آنها و حاصلضرب دو عددی که با آنها جفت هستند، نتیجه اش b شود.
     مقادیر e . g و f . h را پیدا کنید، به نحوی که
     
     
   • اگر c منفی باشد، مقداری را از لیست مرحله 1 و مقدار دیگری را از لیست مرحله 2 انتخاب کنید به نحویکه تفاضل بین حاصلضرب آنها و حاصلضرب دو عددی که با آنها جفت هستند، نتیجه اش b شود.
     مقادیر e . g و f . h را پیدا کنید، به نحویکه
     
     
4. انتخابهایتان را به شکل دوجمله ای ها چینش کنید.
   موارد e و f باید در موقعیت first (اولین) در دوجمله ای ها باشند، و g و h باید در موقعیت last (آخرین) در دوجمله ای ها باشند. آنها باید مرتب شوند تا ضربهای مرحله 3 دارای حاصلضربهای outer (بیرونی) و inner (درونی) صحیح باشند.
   
   
5. علامت ها را به درستی قرار بدهید.
   اگر c مثبت و b مثبت باشند، هر دو علامت مثبت هستند.
   اگر c مثبت و b منفی باشند، هر دو علامت منفی هستند.
   اگر c منفی باشد یک علامت مثبت و یک علامت منفی می باشد. انتخاب شما به این بستگی دارد که b مثبت یا منفی باشد و اینکه شما چگونه فاکتورها را چینش می کنید.
   

مثال: این عبارت درجه دوم را با استفاده از unFOIL فاکتور بگیرید:

1. تمامی روش هایی را که می توانید دو عدد را در یکدیگر ضرب کنید تا به a که در این مسأله 2 می باشد، برسید، تعیین کنید.
   عدد 2 یک عدد اول می باشد، بنابراین تنها راهی که می توانید با ضرب دو عدد به نتیجه 2 برسید می باشد.
   
   
2. تمامی روشهایی که می توانید دو عدد را در یکدیگر ضرب کنید تا به c که در این مسأله 12- می باشد، برسید، تعیین کنید.
   فعلاً علامت منفی را نادیده بگیرید. علامت منفی در مرحله بعد اهمیت پیدا می کند. فقط روی این تمرکز کنید که چه چیزهایی باید در یکدیگر ضرب شوند تا به عدد 12 برسید.
   سه روش وجود دارد که با ضرب اعداد در یکدیگر نتیجه 12 شود:
   

   12: 12 × 1, 6 × 2, or 4 × 3.
   
   

   
   
3. به علامت c و لیستهای تشکیل شده در مرحله 1 و 2 بنگرید.
   از آنجاییکه c منفی می باشد، شما باید مقداری را از لیست 1 و مقدار دیگری را از لیست 2 پیدا کنید به نحویکه تفاضل بین حاصلضرب آنها و حاصلضرب اعداد جفت شده با آنها، نتیجه اش b گردد.
   از لیست اول و از لیست دوم را انتخاب کنید. عدد 1 در لیست اول را در عدد 3 در لیست دوم ضرب کنید و سپس عدد 2 در لیست اول را در عدد 4 در لیست دوم ضرب نمایید.
   
   این دو حاصلضرب 3 و 8 می باشند، که تفاضل آنها 5 می شود.
   
   
4. این انتخابها را به شکل دوجمله ای ها (binomials) سازماندهی کنید.
   در سازماندهی زیر ضرب می شوند تا نتیجه شود، که برای ضرب اول مورد نیاز می باشد. به همین ترتیب، 4 و 3 در یکدیگر ضرب می شوند تا 12 حاصل شود. حاصلضرب outer (بیرونی) مقدار 3x و حاصلضرب inner (درونی) مقدار 8x می باشند، که تفاضل آنها نیز به شما 5x را می دهد.
   
   
   
5. علامتها را قرار بدهید تا نتایج مطلوب را به شما بدهد.
   شما می خواهید 5x منفی گردد، بنابراین نیاز دارید که 8x منفی باشد. سازماندهی زیر این نتایج را به انجام می رساند:
   

مثال: عبارت درجه دوم زیر را فاکتور بگیرید:

1. تمامی روش هایی که طی آن حاصلضرب دو عدد 24 می شود، تعیین کنید.
   
   
2. تمامی روش هایی را که دو عدد در یکدیگر ضرب می شوند تا حاصل 45 شود، تعیین نمایید.
   
   
3. به علامت c نگاه کنید. جمله آخر 45- می باشد، بنابراین شما تفاضل حاصلضرب ها را می خواهید.
   از و استفاده کنید. حاصلضرب 4 و 5 عدد 20 می باشد. حاصلضرب 6 و 9 می شود 54. تفاضل این حاصلضرب ها 34 می شود.
   
   
4. انتخابهایتان را به شکل دوجمله ای ها سازماندهی کنید، تا به نتایجی که می خواهید برسید.
   
   
5. علامتها را قرار بدهید تا به نتایج مطلوب برسید.
   

ترکیبی که می خواهید ممکن است چیزی نباشد که فوراً متوجه اش شوید. اما داشتن لیستی از تمامی حالتهای ممکن خیلی کمک می کند. شما می توانید به صورت سیستماتیک ترکیب های مختلف را امتحان کنید. برای مثال را در نظر بگیرید و آن را با هر سه مجموعه اعداد که به شما c را نتیجه می دهند، امتحان کنید:

45 × 1, 15 × 3, 9 × 5

اگر هیچکدام از آنها کار نکند، سپس را با تمامی مجموعه اعدادی که به شما c را می دهند، امتحان کنید. این کار را تا زمانیکه به صورت سیستماتیک تمامی ترکیب های ممکن از ابتدا تا انتها انجام شوند، ادامه دهید. اگر هیچکدام کار نکند، شما خواهید دانست که کار شما تمام شده است. اگر با این روش سیستماتیک پیش بروید، منجر می شود تا هیچ نگرانی از اینکه چیزی فراموش شده باشد، باقی نماند.

در مثال بعدی یک حاصلجمع مورد استفاده قرار گرفته است.

مثال: عبارت درجه دوم زیر را فاکتور بگیرید:

1. تمامی روشهایی را که طی آن حاصلضرب دو عدد 2 می شود، تعیین کنید.
   تنها یک انتخاب وجود دارد:
   
   
2. تمامی روش هایی را که طی آن حاصلضرب دو عدد 4 می شود، تعیین کنید.
   
   
3. عدد 4 مثبت می باشد، بنابراین شما مجموع حاصلضرب بیرونی (outer) و درونی (inner) را می خواهید.
   برای رسیدن به مجموع 9 از فاکتورهای و استفاده کنید. 2 را در 4 ضرب کنید تا به 8 برسید و 1 را در 1 ضرب کنید که همان 1 خواهد شد. مجموع 8 و 1 می شود 9.
   
   
4. انتخابهایتان را به شکل دوجمله ای ها سازماندهی کنید تا نتایج آن چیزی که می خواهید گردد.
   
   
5. علامتها را قرار دهید، هر دو دوحمله ای باید تفریق باشند به نحویکه مجموع 9- و حاصلضرب 4+ باشد.
   

در مثال بعدی، تمامی جملات مثبت هستند. مجموع حاصلضربهای بیرونی (outer) و درونی (inner) مورد استفاده قرار خواهند گرفت. و برای ضریبها چندین انتخاب وجود دارد.

مثال: عبارت زیر را فاکتور بگیرید:

1. تمامی روشهایی که طی آن حاصلضرب دو عدد 10 می شود، تعیین کنید.
   عدد 10 را می توانید به صورت یا بنویسید.
   
   
2. تمامی روش هایی را که می توانید دو عدد را در یکدیگر ضرب کنید تا نتیجه 15 شود، تعیین کنید.
   عدد 15 را می توانید به شکل یا بنویسید.
   
   
3. جمله آخر 15+ می باشد، بنابراین شما می خواهید مجموع حاصلضربها 31 گردد.
   از و استفاده کنید، حاصلضرب 2 در 3 می شود 6، و حاصلضرب 5 در 5 می شود 25. مجموع 6 و 25 می شود 31.
   
   
4. انتخابهایتان را به شکل دوجمله ای ها سازماندهی کنید به نحویکه فاکتورها به شیوه ای که شما می خواهید مرتب گردند تا حاصلضربهای دلخواهتان را به شما نتیجه بدهند.
   
   
5. قرار دادن علامتها ساده است زیرا همه چیز مثبت است.
   

رسیدن به آخرین نقش FOIL

این مثال آخر، درابتدا یک کاندیدای عالی برای فاکتورگیری با این روش (UnFOIL) به نظر می رسد. با این حال، شما خواهید دید، که همه چیز قابل فاکتورگیری نمی باشند. همچنین، میخواهم این نکته را روشن سازم که با استفاده از این روش شما می توانید با اطمینان بگویید که هیچ چیزی را از قلم نینداخته اید و حتی در مواقعی با خاطرجمعی تمام، مدعی باشید یک سه جمله ای (trinomial) اول (prime) می باشد. (قابل فاکتورگیری نمی باشد.)

مثال: فاکتورگیری کنید:

1. تمامی روشهایی را که طی آن حاصلضرب دو عدد 18 می شود، تعیین کنید.
   

   18 = 18 × 1 = 9 × 2 = 6 × 3
   
   

   
   
2. تمامی روشهایی را که منجر می شوند تا حاصلضرب دو عدد 4 گردد، تعیین کنید.
   

   4 = 4 × 1 = 2 × 2
   
   

   
   
3. به علامت 4- بنگرید و خواهید دانست که نیاز به یک تفاضل دارید. و تفاضل حاصلضربها باید 27 شود.
   به نظر نمی رسد که بتوانید هیچ ترکیبی را پیدا کنید که تفاضلشان 27 شود. تمامی ترکیبهای ممکن را از ابتدا تا انتها مرور کنید تا مطمئن شوید هیچ چیزی را از قلم نینداخته اید.
   
   استفاده از و ترکیبهای ممکن آن:
   
   • : اگر از ترکیب 1 ضربدر 4 و 18 ضربدر 1 استفاده کنید، تفاضل 14 را به شما می دهد. اگر هم از ترکیب 1 ضربدر 1 و 18 ضربدر 4 استفاده کنید، تفاضل 71 را به شما می دهد.
     
   • : در یک حالت تفاضل 34 و در ترکیب دیگر نیز همین تفاضل 34 را می دهد. زیرا هر دو عدد 2 هستند.
     
   
   استفاده از و ترکیبهای ممکن آن:
   
   • : در دو ترکیب ممکن تفاضل های 34 و 1 را به شما می دهد.
     
   • : در اینجا فقط یک ترکیب ممکن است که نتیجه اش 14 می شود.
     
   
   استفاده از و ترکیبهای ممکن آن:
   
   • : در یک ترکیب تفاضل 21 و در ترکیب دیگر تفاضل 6 را به شما می دهد.
     
   • : در این حالت صرفاً تفاضل 6 بدست می آید.
     

از آنجاییکه شما تمامی ترکیبهای ممکن را تمام کردید و موفق نشدید تا تفاضل 27 را بدست آورید، می توانید بگویید این عبارت درجه دوم قابل فاکتورگیری نمی باشد. این عبارت اول (prime) است.