معادلات خطی (Linear equations) شامل متغیرهایی هستند که به توان اول رسیده اند. ساده ترین نوع معادلات خطی برای حل کردن آنهایی هستند که فقط دو جمله دارند. معادله های زیر مثالهایی از معادلات خطی دارای دو جمله می باشند:






معادلات خطی که فقط شامل دو جمله می باشند با عملیات ضرب، تقسیم، معکوس عدد (وارون ضربی)، یا ترکیبی از چند عملیات حل می شوند.

ابداع یک روش با استفاده از تقسیم

یکی از پایه ای ترین روشهای حل معادلات اینست که هر سمت از معادله را بر عدد یکسانی تقسیم کنیم. بسیاری از فرمولها و معادلات شامل یک ضریب همراه با متغیر هستند. برای خلاص شدن از شر ضریب و حل معادله، شما تقسیم می کنید. مثال زیر شما را گام به گام از ابتدا تا انتهای حل مسأله با تقسیم پیش می برد.

مثال: این معادله را برای بدست آوردن x حل کنید:

1. ضریب متغیر را تعیین کنید و هر دو سمت را بر آن تقسیم کنید.
   از آنجا که معادله شامل ضرب در 20 می باشد، عملیات ضرب موجود در معادله را با متضاد آن، که تقسیم می باشد، لغو کنید. هر سمت را بر 20 تقسیم کنید:
   
   
   
2. هر دو سمت علامت برابری را کاهش بدهید.
   
   

در ادامه، دو مثال به شما نشان می دهد که کاربردهای عملی در آنها جاسازی شده است.

مثال: شما نیاز دارید که برای یک جلسه بزرگ 300 دونات (donuts) بخرید. چند جین (dozen) دونات می شود؟

اجازه دهید d نماینده تعداد جین های دونات هایی که نیاز دارید باشد. در هر جین 12 دونات وجود دارد، بنابراین . دوازه ضربدر تعداد جین هایی که نیاز دارید برابر با 300 دونات می شود.

1. ضریب متغیر را تعیین کنید و هر دو سمت را بر آن تقسیم کنید.
   هر سمت را بر 12 تقسیم کنید.
   
   
   
2. هر دو سمت علامت برابری را کاهش بدهید.
   
   

مثال: بُرد نمایشی بانک به شما نشان می دهد که می توانید درصد بهره روی سرمایه گزاریتان کسب کنید. شما می خواهید حداقل $500 در طول سال آینده درآمد کسب کنید. شما باید چه مقدار سپرده گذاری با آن میزان بهره نزد بانک داشته باشید؟

این معمای مالی را به شکل یک معادله بنویسید، اجازه بدهید x نماینده میزان مبلغی که شما باید سرمایه گذاری کنید باشد. شما با ضرب کردن سرمایه اصلی (مبلغ سپرده گذاری شده) در نرخ بهره (که به اعشار نوشته شده باشد)، میزان سود را به دست می آورید. معادله ای که شما نیاز دارید اینست:

مقدار اعشاری 0.04875 در متغیر x ضرب شده است، بنابراین هر سمت از معادله را بر آن عدد تقسیم کنید:


شما باید حدود $10,260 سرمایه گذاری کنید تا به درآمد $500 در یکسال برسید.

استفاده بیشتر از ضرب

عملیات متضاد ضرب، تقسیم می باشد. در بخش قبلی من از تقسیم برای حل کردن معادلاتی که در آنها عددی در متغیر ضرب شده بود، استفاده کردم. در این بخش معکوس آن اتفاق می افتد: من از ضرب در جایی که عددی متغیر را تقسیم می کند، استفاده می کنم. اولین مثال، شما را در مراحل مورد نیاز پیش می برد.

مثال: این معادله را برای y حل کنید:

1. مقداری که متغیر را تقسیم می کند تعیین کنید و هر دو سمت معادله را در آن ضرب کنید.
   در این مورد 11 متغیر y را تقسیم می کند، بنابراین آن چیزی است که شما در آن ضرب خواهید کرد.
   
   
2. هر دو سمت علامت برابری را کاهش بدهید.
   

در ادامه، یک مثال قابل اجرا را ببینید - اندکی مشکل است، اما شما در مورد وضعیتهایی مثل این همیشه خوانده اید.

مثال: یک زن پولدار دستور داد که ثروتش بین نه گربه اش به صورت مساوی تقسیم گردد. به هر گربه سان $500,000 رسید، کل ثروت قبل از اینکه تقسیم شود چقدر بود؟

اجازه بدهید f نماینده ثروت (fortune) این زن باشد. سپس می توانید معادله زیر را بنویسید:


به عبارت دیگر، ثروت بر 9 تقسیم گشته و هر سهم $500,000 شده است.

1. مقداری که متغیر را تقسیم می کند تعیین کنید و هر دو سمت معادله را در آن ضرب کنید.
   در این معادله، ثروت تقسیم شده است. معما را با حل کردن هر سمت در 9 حل کنید. متضاد عملیات تقسیم، ضرب میباشد، بنابراین ضرب آنچیزی را که تقسیم انجام داده است، لغو می کند.
   
   
2. سمت چپ را کاهش بدهید و سمت راست را ضرب کنید.
   

ثروت این زن $4.5 میلیون بوده است! آنها نه گربۀ خیلی خوشبخت هستند.

در مثال بعدی، متغیر هم در 4 ضرب شده و هم بر 5 تقسیم شده است. شما این مسأله را با هر دو عملیات ضرب و تقسیم حل خواهید کرد.

مثال: این معادله را برای a حل کنید:

1. تعیین کنید چه چیزی متغیر را تقسیم می کند.
   در این مورد عدد 5 هم متغیر و هم 4 را تقسیم می کند.
   
   
2. مقدار هر سمت علامت برابری را در 5 ضرب کنید.
   
   
3. کاهش داده و ساده سازی کنید.
   
   
4. تعیین کنید چه چیزی در متغیر ضرب شده است.
   عدد 4 ضریب می باشد و در a ضرب شده است.
   
   
5. مقادیر هر دو سمت علامت برابری را بر 4 تقسیم کنید.
   
   
6. کاهش داده و ساده کنید.
   

یک روش ساده تر برای حل کردن این معادله آخر اینست که آن را در معکوس (reciprocal) ضریب متغیر، ضرب کنیم. در ادامه این روش جایگزین را به شما نشان می دهم.

استفاده از معکوس یک عدد (وارون ضربی)

معکوس یک عدد در واقع وارون شدۀ آن عدد می باشد. یک تعریف بیشتر ریاضی اینست که حاصلضرب یک عدد و معکوس آن برابر با 1 می باشد.

آنچیزی که معکوس یک عدد را در جبر حائز اهمیت می کند اینست که می توانید ضریب یک متغیر را در معکوس آن ضرب کنید و به نتیجه 1 برسید. بنابراین، به نحوی، این فرآیند یک مورد خاص از ضرب کردن هر سمت از معادله در یک عدد یکسان می باشد.

آخرین مثال از بخش قبلی مسأله ای بود که در آن دو عملیات ضرب و تقسیم را داشتیم. در اینجا همان مسأله را با استفاده از معکوس عدد حل می کنیم.

مثال: این معادله را برای a حل کنید:

ضریب متغیر a کسر می باشد. معکوس برابر با است. بنابراین، برای بدست آوردن a، هر دو سمت را در ضرب می کنید: