برخی از معادلات دارای رادیکال ها (radicals) می باشند. در هنگام حل کردن این نوع معادلات برای راحتی بیشتر آنها را تبدیل به معادلات خطی (linear equations) یا معادلات درجه دوم (quadratic equations) می کنند. معادلات دارای رادیکال هنگام انجام مسائل مربوط به فاصله در نقاط گرافیکی و خطوط، پیش می آیند. از جمله مسائل فاصله آنهایی هستند که شامل قضیه فیثاغورث (Pythagorean theorem) می باشند - قضیه فیثاغورت ارتباط بین اضلاع در یک مثلث قائم الزاویه را توصیف می کند.





فرآیند اساسی که منجر به یافتن راه حل معادلات دارای رادیکال می شود، اینست که از شر آن رادیکال ها خلاص شوید. از بین بردن رادیکال ها، مسأله را به چیزی قابل کنترل تر تبدیل می کند، اما این احتمال هم وجود دارد که این تغییرات منجر به پاسخ بی معنا یا خطا گردند. در هنگام حل کردن معادلات رادیکال، درستی آزمایی پاسخ ها اهمیت بیشتری می یابد. تا زمانی که آگاه باشید خطاها احتمال پیش آمدن دارند، پس می دانید که باید بسیار مراقب باشید. با وجود اینکه این کار ممکن است کمی عذاب آور باشد - از این بابت که این چیزهای بی معنی محتمل هستند - خلاص شدن از شر رادیکال ها هنوز هم کارآمدترین و ساده ترین روش برای مدیریت این نوع معادلات است.

به توان رساندن هر دو سمت معادله

روش اصلی هنگام برخورد با معادلات دارای رادیکال اینست که آنها را تبدیل به معادلاتی کنید که بدون رادیکال باشند. شما این کار را با رساندن رادیکال به یک توان که آن توان کسری (توان کسری در واقع همان رادیکال است) را به 1 تبدیل کند، به انجام برسانید. اگر رادیکال یک ریشه مربع (square root) باشد، که می تواند به شکل توانی از \(1 \over 2 \) نوشته شود، رادیکال را به توان دوم آن برسانید. اگر رادیکال یک ریشه مکعب (cube root) باشد که می تواند به شکل توانی از \(1\over3\) نوشته شود، سپس رادیکال را به توان سوم آن برسانید. (اگر نیاز دارید تا در مورد توانها یک مروری داشته باشید می توانید فصل 4 را ببینید.)

هنگامی که توان کسری (fractional power) به توان عدد معکوس خودش (reciprocal) برسد، حاصلضرب این دو توان در یکدیگر برابر با 1 می گردد:


\( (x^{1\over4})^4=x^1 \)     \( (y^{1\over3})^3=y^1 \)     \( (z^{1\over7})^7=z^1 \)
$$ (\sqrt{x+1})^2 = \bigl((x+1)^{1\over2}\bigr)^2=(x+1)^1=x+1 $$

به توان رساندن رادیکال ها را پاک می کند، اما هنگامی که متغیرها به توان های زوج برسند مشکلاتی ممکن است رخ بدهند. متغیرهایی که اعداد منفی را نمایندگی می کنند یا مقادیری که امکان ایجاد اعداد منفی در زیر رادیکال را می دهند، که همیشه هم مشخص نیستند تا زمانیکه شما مسأله را حل کرده و به پاسخ برسید. به جای اینکه به این رنج و عذاب های احتمالی که در هنگام به توان رساندن هر دو سمت معادله محتمل هستند، بپردازیم، اجازه بدهید چند مثال از چگونگی کارکرد این فرآیند بزنم، سپس به اینکه مشکلات احتمالی چه هستند و چگونه باید با راه حل های غیر مستقیم برخورد کنیم، می پردازم.

مثال: معادله \( \sqrt{4-5y}-7=0 \) را برای \(y\) حل کنید.

1. رادیکال را در یک سمت علامت برابری منزوی کنید.
   بنابراین، اگر \(\sqrt{4-5y}-7=0\) را برای \(y\) حل می کنید، \(7\) را به هر سمت معادله بیفزایید تا رادیکال در یک سمت معادله تنها باقی بماند. با انجام این کار خواهید داشت: \(\sqrt{4-5y}=7\) .
   
2. هر دو سمت معادله را مربع کنید تا رادیکال حذف گردد.
   با مربع کردن هر دو سمت معادله خواهید داشت: \((\sqrt{4-5y})^2=7^2\) یا \(4-5y=49\) .
   
3. معادله بدست آمده در مرحله قبل را که یک معادله خطی (linear equation) می باشد، حل کنید.
   از هر دو سمت معادله \(4\) را کم کنید تا \(-5y=45\) بدست آید که می شود \(y=-9\) .
   ممکن است عجیب به نظر برسد که پاسخ یک عدد منفی می باشد، اما در مسأله اصلی این عدد منفی در عدد منفی دیگری ضرب می شود، که منجر می گردد تا نتیجه زیر رادیکال عددی مثبت شود.
   
4. پاسخ خود را درست آزمایی کنید. (همواره با معادله اصلی درست آزمایی را انجام بدهید.)
   اگر \(y=-9\) داریم:
   \(\sqrt{4-5(-9)}-7=0\)
   \(\sqrt{4+45}-7=0\)
   \(\sqrt{49}-7=7-7=0\)
   درست آزمایی با موفقیت انجام شد!
   

مثال: معادله \(2\sqrt{x+15}-3=9\) را برای \(x\) حل کنید.

1. جمله رادیکال دار را در یک سمت معادله منزوی کنید.
   اولین گام اینست که \(3\) را به هر دو سمت معادله بیفزایید: \(2\sqrt{x+15}=12\)
   
2. هر دو سمت معادله را مربع کنید. (شما می توانید هر دو سمت را بر 2 تقسیم کنید، اما من میخواهم یک قانون مهم در زمانیکه هر دو سمت را مربع می کنید به شما نشان بدهم.)
   یکی از قوانین شامل توان ها اینست که مربع دو فاکتور برابر با مربع هر کدام از آن فاکتورها به صورت جداگانه می باشد: \((a.b)^2=a^2.b^2\) .
   سمت چپ را مربع کنید: \((2\sqrt{x+15})^2=2^2.(\sqrt{x+15})^2=4(x+15)\) .
   سمت راست را مربع کنید: \(12^2=144\) .
   در نهایت یک معادله جدید خواهید داشت: \(4(x+15)=144\) .
   
3. معادله خطی جدید، را برای \(x\) حل کنید.
   ابتدا \(4\) را توزیع کنید: \(4x+60=144\) .
   در هر دو سمت معادله \(60\) را تفریق کنید، و خواهید داشت: \(4x=84\) یا \(x=21\) .
   
4. پاسخ خود را درست آزمایی کنید.
   \(2\sqrt{x+15}-3=9\)
   $$ 2\sqrt{21+15}-3=2\sqrt{36}-3=2.6-3=12-3=9 $$
   

در ادامه مثالی را به شما نشان می دهم که در آن دو پاسخ متفاوت پیدا خواهید کرد، اما فقط یکی از آنها درست کار خواهد کرد.

مثال:معادله \(7+\sqrt{z-1}=z\) را برای \(z\) حل کنید.

1. رادیکال را در سمت چپ معادله منزوی کنید.
   \(7\) را از هر دو سمت معادله تفریق کنید، در نتیجه این عملیات رادیکال در سمت چپ تنها می شود و یک دو جمله ای در سمت راست خواهید داشت: \(\sqrt{z-1}=z-7\)
   
2. هر دو سمت معادله را مربع کنید.
   تنها چیزی که باید در اینجا به آن توجه داشته باشید اینست که دو جمله ای (binomial) را به درستی مربع کنید.
   \((\sqrt{z-1})^2=(z-7)^2\)
   \(z-1=z^2-14z+49\)
   
3. معادله را حل کنید.
   این بار شما یک معادله درجه دوم (quadratic equation) دارید. همه چیز را به سمت راست منتقل کنید تا معادله را برابر با صفر قرار دهید. برای انجام این کار، \(z\) را از هر دو سمت تفریق کنید و \(1\) را به هر دو سمت بیفزایید.
   \(0=z^2-15z+50\)
   با فاکتورگیری سمت راست خواهید داشت: \((z-5)(z-10)=0\). با استفاده از ویژگی ضرب صفر، شما به دو پاسخ \(z=5\) یا \(z=10\) می رسید.
   
4. پاسخها را درست آزمایی کنید.
   این پاسخها را با دقت درست آزمایی کنید، زیرا پاسخهای ممتنع (impossible answers) - پاسخهای ممتنع را محال و غیرممکن نیز می گویند - ممکن است ظاهر شوند، مخصوصاً اگر معادله درجه دوم شما با فرآیند مربع کردن هر دو سمت معادله بوجود آمده باشد، امکان وقوع پاسخ ممتنع در معادله وجود دارد.
   اگر \(z=5\)، سپس می بینید که 5 پاسخ صحیحی نمی باشد:
   $$ 7+\sqrt{5-1}=7+\sqrt{4}=7+2=9\ne5 $$
   اگر \(z=10\)، سپس می بینید که 10 صحیح است.
   $$ 7+\sqrt{10-1}=7+\sqrt{9}=7+3=10=10 $$
   

تنها پاسخ ممکن اینست که \(z\) برابر با 10 می باشد. خوبه! گاهی اوقات این نوع مسأله ها دارای دو پاسخ هستند، گاهی اوقات هم فقط یک پاسخ دارند، حتی این احتمال وجود دارد که مسأله اساساً پاسخی هم نداشته باشد. شما باید در هر صورت مراقب باشید و همواره درست آزمایی پاسخها را مدنظر داشته باشید.

مربع کردن هر دو سمت معادله، دو دفعه

درست موقعی که فکر می کنید چیزها نمی توانند بهتر شوند، وضعیتی پیش می آید که شما نباید دو طرف معادله را یک مرتبه مربع کنید، بلکه باید آنها را دو بار مربع کنید! این دوبرابر کردن سرگرمی زمانی پیش می آید که شما بیش از یک رادیکال در یک معادله دارید و منزوی کردن آنها در یک سمت معادله، میسر نمی باشد.

هنگامی که شروع به حل کردن این انواع خاص از مسأله ها می کنید، شما نمی توانید کاری کنید که هر جمله رادیکال دار را در یک سمت معادله منزوی کنید، و نیاز خواهید داشت تا همه چیز را دو دفعه مربع کنید تا از شر همه رادیکال ها خلاص گردید. این رویه اندکی پیچیده است، اما چیز خیلی ترسناکی نیست. در مثال بعدی خواهید دید چگونه شروع به حل این نوع مسأله ها کنید.

مثال: معادله \(\sqrt{x-3}+4\sqrt{x+6}=12\) را برای \(x\) با دنبال کردن مراحل زیر حل کنید.

1. هر رادیکال را در یک سمت معادله قرار بدهید.
   با وجود اینکه شما نمی توانید هیچ کدام از رادیکال ها را در یک سمت معادله منزوی کنید، قرار دادن آنها در دو سمت معادله می تواند به شما کمک کند. بنابراین \(\sqrt{x-3}\) را از هر دو سمت معادله تفریق کنید تا به این نتیجه برسید: \(4\sqrt{x+6}=12-\sqrt{x-3}\)
   
2. هر دو سمت معادله را مربع کنید.
   در سمت چپ، مربع کردن شامل قوانین توانها در وقتیکه یک حاصلضرب را به توان می رسانید، می گردد. (این قانون در فصل 4 و همینطور در بخش پیشین پوشش داده شد.) در سمت راست معادله، مربع کردن شامل مربع کردن یک دوجمله ای (binomial) می شود.
   \( (4\sqrt{x+6})^2=(12-\sqrt{x-3})^2 \)
   \( 16(x+6)=144-24\sqrt{x-3}+(\sqrt{x-3})^2 \)
   \( 16x+96=144-24\sqrt{x-3}+x-3 \)
   
3. ساده سازی را انجام بدهید، و رادیکال باقیمانده را در یک سمت معادله منزوی کنید.
   ساده سازی شامل ترکیب کردن \(144\) و \(-3\) ، و تفریق \(x\) از هر دو سمت معادله، و سپس تفریق \(141\) از هر دو سمت می باشد.
   \( 16x+96=141-24\sqrt{x-3}+x \)
   \( 15x-45=-24\sqrt{x-3} \)
   
4. در تمامی جملات معادله به دنبال یک فاکتور مشترک بگردید.
   شما می توانید با تقسیم کردن هر دو سمت معادله بر بزرگترین فاکتور مشترک، که 3 می باشد، کارها را اندکی ساده تر کنید:
   \( \require{cancel} \cancel{3}(5x-15) = \cancel{3}(-8\sqrt{x-3}) \)
   \( 5x-15=-8\sqrt{x-3} \)
   اکنون می توانید هر دو سمت را ساده تر مربع کنید (مربع اعداد کوچکتر هستند.)
   
5. هر دو سمت معادله را مربع کنید.
   \( (5x-15)^2=(-8\sqrt{x-3})^2 \)
   \( 25x^2-150x+225=64(x-3) \)
   \( 25x^2-150x+225=64x-192 \)
   این اعداد هنوز هم نسبتاً بزرگ هستند.
   
6. همه چیز را به یک سمت معادله ببرید و فاکتورگیری کنید.
   شما می توانید همه چیز را به سمت چپ منتقل کنید و ببینید که آیا می توانید فاکتورگیری کنید تا اعداد کوچکتر گردند. در این مثال شمامی توانید \(64x\) را از هر سمت تفریق کنید و \(192\) را به هر سمت بیفزایید.
   \(25x^2-214x+417=0\)
   فاکتورگیری از این معادله درجه دوم ساده نمی باشد، اما قابل فاکتورگیری است، نتیجه فاکتورگیری \( (25x-139)(x-3)=0 \) می شود. بنابراین شما دو پاسخ دارید. \(x={139\over25}\) یا \(x=3\) .
   
7. پاسخها را در معادله جایگزاری کنید و درست آزمایی نمایید.
   اگر \(x={139\over25}\) سپس \( \sqrt{139\over25}-3+4\sqrt{139\over25}+6=12 \) . چقدر شانس این وجود دارد که این بیانیه صحیح باشد؟ شما می توانید محاسبات را انجام بدهید و خودتان نتیجه را ببینید.
   \( \sqrt{64\over25}+4\sqrt{289\over25}={8\over5}+4({17\over5})={76\over5}\ne12 \)
   با این همه، پاسخ درست کار نکرد! امیدوارم برای 3 درست کار کند.
   اگر \(x=3\) سپس \(\sqrt{3-3}+4\sqrt{3+6}=0+4\sqrt{9}=4.3=12\) . اوه، خوب بود! پاسخ ما 3 می باشد.
   

برای مسأله بعدی آماده اید؟ (شوخی کردم.)