برابری (Equality): یک کلمه قدرتمند در اجتماع، سیاست، و عرصه های انسان دوستانه. و تا آنجا که به ریاضی مربوط می شود قدرتمندی این کلمه کمتر نمی شود، جبر بدون برابری (equality) چیز زیادی نمی بود. خوشبختانه، جبر همچنین می داند که چگونه به نابرابری ها (Inequalities) رسیدگی کند (خیلی بهتر از سایر عرصه های دیگر). برابری یک ابزار بسیار مهم در ریاضی و دانش است. این فصل شما را با نابرابری جبری (algebraic inequality) آشنا می سازد، که دقیقاً متضاد برابری نمی باشند. شما می توانید بگویید که نابرابری جبری اندکی شبیه برابری است اما نرمتر. شما از نابرابری برای مقایسه استفاده می کنید. نابرابری در مواقعی استفاده می شود که می خواهید تعیین کنید آیا چیزی مثبت یا منفی است، بزرگتر یا کوچکتر است، بین اعداد است، یا بی نهایت است. نابرابری به شما امکان می دهد تا یک عبارت را در بین مقادیر پایینترین حد آن یا بالاترین حد آن در تنگنا قرار بدهید.





نابرابری های جبری ارتباط بین یک عدد و یک عبارت یا ارتباط بین دو عبارت را نشان می دهند. یک عبارت به ازاء برخی مقادیری که به یک متغیر خاص داده می شود، از عبارت دیگر بزرگتر یا کوچکتر می باشد. برای مثال، می تواند به این شکل باشد که جانیس (Janice) دست کم چهار تا بیشتر از دوبرابر تعداد گربه های الوییز (Eloise)، گربه داشته باشد. اگر این عبارت دست کم و نه دقیقاً باشد، سناریوهای متعددی می تواند رخ بدهد.

معادله ها (بیانیه های دارای علامت برابری) یک نوع از ارتباط می باشند که بیان می کنند دو چیز دقیقاً یکسان هستند. ارتباط نابرابری اندکی غیر دقیق تر است. یک چیز می تواند از چیز دیگری خیلی بیشتر و یا فقط اندکی بیشتر باشد، اما به هر حال هنوز هم ارتباطی بین آن دو چیز وجود دارد که یکی از دیگری بزرگتر است.

بسیاری از عملیاتهایی که شامل نابرابری ها می شوند با عملیات های برابری ها و معادلات به شکل یکسانی کار می کنند، اما شما نیاز دارید که به برخی تفاوتهای مهم که در این فصل به آنها اشاره خواهم کرد، دقت کنید.

ترجمه بین نابرابری و نماد بازه

عملیات ها و دستکاری های جبری بر روی بیانیه های نابرابری اجرا می شوند، در صورتیکه آنها در یک قالب نابرابری باشند. شما دیدید که بیانیه های نابرابری با استفاده از نمادهای زیر نوشته می شوند.

• \(\lt\) : کوچکتر از (Less than)
  
• \(\gt\) : بزرگتر از (Greater than)
  
• \(\le\) : کوچکتر از یا برابر با: کوچکتر یا مساوی (Less than or equal to)
  
• \(\ge\) : بزرگتر از یا برابر با: بزرگتر یا مساوی (Greater than or equal to)
  

برای اینکه سمت این نمادها یادتان بماند، همیشه در نظر بگیرید که قسمت ریزه میزه نماد به سمت عدد کوچکتر است.


گزاره های نابرابری (Inequality statements) مدتهای زیادی است که وجود داشته اند. این نمادها سنتی هستند و توسط ریاضیدانان سراسر جهان پذیرفته شده اند. اما همینطور که نمادهای سنتی نابرابری کار می کنند، آنها هنوز رقابت هایی دارند - مخصوصاً در دنیای ریاضیات سطح بالا. این رقابت در شکل نمادهای بازه (interval notation) می باشد. نمادهای بازه که به آن نمادهای فاصله نیز می گویند، روش دیگری برای نوشتن نابرابری ها می باشند. در نمادهای بازه از پرانتزها و کروشه ها به جای نمادهای نابرابری استفاده می شود، و نماد بی نهایت (infinity symbol) را نیز معرفی می کند.

نمادهای بازه (interval notation)

قبل از اینکه چگونگی استفاده از نمادهای بازه را بگویم، اجازه بدهید ابتدا چند مثال برایتان بزنم که در آنها گزارهای یکسانی هم با نمادهای نابرابری و هم با نمادهای بازه نوشته شده اند:

• \(x \gt 8\) به شکل \( (8, \infty) \) نوشته می شود.
  
• \(x \lt 2\) به شکل \( (-\infty, 2) \) نوشته می شود.
  
• \(x \ge -7\) به شکل \( [-7, \infty) \) نوشته می شود.
  
• \(x \le 5\) به شکل \( (-\infty, 5] \) نوشته می شود.
  
• \(-4 \lt x \le 10\) به شکل \( (-4, 10] \) نوشته می شود.
  

خوب، اکنون که نمادهای بازه (فاصله) را در عمل دیدید، اجازه بدهید قوانین استفاده از آنها را به شما بگویم.


در اینجا چند مثال از نوشتن گزاره های نابرابری با استفاده از نمادهای بازه داریم:

• \(-3 \le x \le 11\) می شود \( [-3,11] \) .
  
• \(-4 \le x \le -3\) می شود \( [-4,-3)\) .
  
• \( x \gt -9 \) می شود \( (-9, \infty) \) .
  
• \( 5 \lt x \) می شود \( (5, \infty) \) . توجه داشته باشید که در گزاره های نابرابری متغیر در ابتدا نمی آید، و گفتن اینکه \(5\) باید کوچکتر از برخی از اعداد باشد با گفتن اینکه آن اعداد بزرگتر از \(5\) می باشند، یکسان است. بعبارت دیگر \( 5 \lt x \) و \( x \gt 5 \) هر دو یکسانند.
  
• \( 4 \lt x \lt 15 \) می شود \( (4,15) \). این بزرگترین مشکل من با نمادهای بازه می باشد: نماد \( (4,15) \) مشابه یک نقطه در صفحه مختصات (coordinate plane) می باشد. توجه داشته باشید که برای پیشگیری از چنین اشتباهی باید به متنی که این نماد در آن آمده است دقت کنید.
  

اکنون در اینجا چند مثال داریم که گزاره های نمادهای بازه را با نمادهای نابرابری نوشته ایم:

• \( [-8,5] \) می شود \( -8 \le x \le 5 \) .
  
• \( (-\infty,0) \) می شود \( x \lt 0 \) .
  
• \( (44,\infty) \) می شود \( x \gt 44\) .
  

ترسیم نمودار نابرابری ها (graphing inequalities)

یکی از بهترین روش های توصیف نابرابری ها (inequalities) استفاده از نمودار (graph) می باشد. جمله معروفی می گوید "یک تصویر به اندازه هزار کلمه می ارزد". یک نمودار یا تصویر همیشه راحت نیست، اما قطعاً پیامش را می رساند. نمودارهای به شکل خط اعداد، در هنگام حل کردن نابرابری های درجه دوم (quadratic inequalities) یک کمک عالی هستند (در همین فصل به جزئیات این موضوع می پردازیم).

یک نمودار خط اعداد از یک نابرابری عبارتست از اعدادی که نقطۀ آغاز و پایان بازه را نشان می دهند و نمادهای بالای اعداد که تعیین می کنند آیا خود آن عدد نیز شامل پاسخ می گردد یا خیر. علامتهایی که با نمادهای نابرابری مورد استفاده قرار می گیرند دایره های توخالی و دایره های توپر هستند. علامتهایی که با نمادهای بازه مورد استفاده قرار می گیرند همان پرانتزها و کروشه های مورد استفاده در گزاره ها می باشند.

مثال: گزاره "همه اعداد بین \(-3\) و \(4\)، شامل خود \(4\)" را با نمادهای نابرابری و نمادهای بازه بنویسید. سپس نمودار هر دو را ترسیم کنید.

• نماد نابرابری \( -3 \lt x \le 4 \) می باشد. نمودار آن در شکل \( 15-1 \) نشان داده شده است.
  
• نماد بازه \( (-3,4] \) می باشد. نمودار آن در شکل \(15-2\) نشان داده شده است.
  

مثال: گزاره "همه اعداد بزرگتر یا مساوی با \(-5\)" را نماد نابرابری و نماد بازه بنویسید. سپس نمودار این نابرابری را با هر دو نوع نماد ترسیم کنید.

• نماد نابرابری \( x \ge -5 \) می باشد. نمودار در شکل \( 15-3 \) نمایش داده شده است.
  
• نماد بازه \( [-5,\infty) \) می باشد. نمودار در شکل \( 15-4 \) نمایش داده شده است.