خوش آموز اولین و تنها سایت آموزشی %100 رایگان ایران با 6064 آموزش متنی، تصویری و ویدئویی

عملیات بر روی نابرابری ها

عملیات بر روی نابرابری ها

کد مطلب : 4737 PDF

شباهتهای زیادی بین کار کردن با نابرابری ها (inequalities) و کار کردن با معادلات (equations) وجود دارد. بخش متعادل کننده هنوز حفظ شده است. وقتی که عملیاتی همچون ضرب کردن هر دو سمت در یک عدد یا تقسیم کردن هر دو سمت بر یک عدد، وارد بازی می شود، در اینجا تفاوتهایی وجود دارد.

دوره آموزش رایگان ریاضی پایه و جبر

قوانین جبر: قوانین عملیات بر روی نابرابری ها در اینجا آمده اند. من قوانین را فقط برای نماد کوچکتر از \((\lt)\) نشان می دهم، اما آنها بر روی نماد بزرگتر از \((\gt)\) نیز کاربرد دارند:

  • اگر \( a \lt b \)، سپس \( a + c \lt b+c \) و \( a - c \lt b - c \). جهت نابرابری تغییری نمی کند.
  • اگر \( a \lt b \) و \( c \) مثبت باشد، سپس \( a \times c \lt b \times c \) و \( {a \over c} \lt {b \over c} \). جهت نابرابری تغییری نمی کند.
  • اگر \( a \lt b \) و \( c \) منفی باشد، سپس \( a \times c \gt b \times c \) و \( {a \over c} \gt {b \over c} \). هنگامیکه دو سمت نابرابری را در یک عدد منفی ضرب می کنید، یا بر یک عدد منفی تقسیم می کنید، جهت نماد نابرابری تغییر می کند.
  • اگر \( {a \over c} \lt {b \over d} \)، سپس \( {c \over a} \lt {d \over b} \). اگر کسرها را سر و ته کنید (معکوس آنها را بنویسید) نماد نابرابری تغییر می کند.

جمع و تفریق نابرابری ها


جمع زدن و تفریق کردن مقادیر در داخل نابرابری ها دقیقاً مشابه معادلات است. شما تعادل را حفظ می کنید. اجازه بدهید به شما نشان بدهم چگونه این کار انجام می گردد.

با یک گزاره نابرابری (inequality statement) آغاز می کنیم که شما با نگاه کردن به آن می توانید درستی آن را بگویید، مثل \(6\) کوچکتر از \(10\) است: \( 6 \lt 10 \) . اگر به هر دو سمت چیز یکسانی را اضافه کنید، چه اتفاقی می افتد؟ شما می توانید این کار را در مورد یک معادله انجام بدهید و درستی معادله تغییری نکند، اما در مورد یک نابرابری چطور؟ \(4\) را به هر دو سمت نابرابری اضافه کنید:
\(6+4 \lt 10+4\)
\(10 \lt 14\)

"ده از \(14\) کوچکتر است" هنوز هم یک گزاره صحیح است. این نشان دادن برای اثبات چیزی کافی نیست، اما یک قانون را نشان می دهد که صحیح است: اگر شما هر عددی را به هر دو سمت یک نابرابری اضافه کنید، آن نابرابری هنوز هم صحیح و برقرار است.

به طرز مشابهی، وقتیکه هر عددی را از هر دو سمت یک نابرابری تفریق می کنید، آن نابرابری همچنان صحیح می باشد. با \(10 \lt 14\) آغاز کنید و \(2\) را از هر دو سمت آن تفریق کنید.
\(10-2 \lt 14-2\)
\(8 \lt 12\)

\(8\) از \(12\) کوچکتر است، بنابراین به نظر می رسد اگر جمع و تفریق کنیم، همه چیز اوکی باشد. اما شما با اعداد مثبت این کارها را انجام دادید و نتایج شما نیز اعدادی مثبت بودند. در مورد افزودن یک عدد منفی به هر دو سمت که هر دو سمت را منفی می سازد، چطور؟ با \( 8 \lt 12 \) آغاز کنید و \( -24 \) را به هر دو سمت نابرابری اضافه کنید.

\( 8 + (-24) < 12 + (-24) \)
\( -16 \lt -12 \)
این نابرابری هنوز هم صحیح است: \(-16\) نسبت به \(-12\) از \(0\) دورتر است.

ضرب و تقسیم نابرابری ها


حالا نوبت عملیاتهای مهارت آمیز رسید. ضرب و تقسیم یک بُعد جدید به کار کردن با نابرابری ها اضافه می کنند.

هنگامیکه هر دو سمت یک نابرابری را در یک عدد مثبت ضرب یا تقسیم می کنید، نابرابری درست باقی می ماند. هنگامیکه هر دو سمت یک نابرابری را در یک عدد منفی ضرب یا تقسیم می کنید، علامت نابرابری باید معکوس گردد، تا نابرابری صحیح باقی بماند. شما نمی توانید دو سمت یک نابرابری را در \(0\) ضرب کنید - این کار همیشه نابرابری را نادرست می سازد (مگر اینکه نابرابری شما دارای "یا مساوی" باشد). و البته، شما هرگز نمی توانید چیزی را بر \(0\) تقسیم کنید.

با اعداد مثبت \(20\) و \(12\) آغاز کنید.
\(20 \gt 12\)
هر دو سمت را در \(4\) ضرب کنید:
\(20 \times 4 \gt 12 \times 4\)
\(80 \gt 48\)
این گزاره همچنان درست است.

شما می توانید پیچیدگی را در این نابرابری ببینید: \(10 \gt -3\). هر دو سمت را در \(-2\) ضرب کنید:
\(10(-2) \gt -3(-2)\)
\(-20 \gt 6\)
اوه! یک عدد منفی نمی تواند از عدد مثبت بزرگتر باشد:
\(-20 \lt 6\)
نادرست ساختن نابرابری خبر بدی است. خبر خوب اینست که چرخاندن نماد نابرابری یک روش نسبتاً ساده برای حل کردن این مشکل است.

یادتان باشد: هر گاه که هر دو سمت یک نابرابری را در یک عدد منفی ضرب می کنید (یا بر یک عدد منفی تقسیم می کنید)، نماد نابرابری را بچرخانید تا جهت آن معکوس گردد.

حالا برای تقسیم، نابرابری \(18 \gt -36\) را در نظر بگیرید و هر دو سمت آن را بر \(-9\) تقسیم کنید. مطمئن شوید که نماد نابرابری را از نماد "بزرگتر از"به نماد "کوچکتر از" تغییر داده باشید.
\( {18 \over -9} \lt {-36 \over -9} \)
\( -2 \lt 4 \)

هشدار: در مورد نابرابری ها، نه می توانید در \(0\) ضرب کنید و نه بر \(0\) تقسیم کنید. البته، تقسیم بر \(0\) همیشه ممنوع است، اما شما معمولاً می توانید عبارت ها را در \(0\) تقسیم کنید و حاصلضرب \(0\) را بدست آورید. به هر حال شما نمی توانید نابرابری ها را در \(0\) ضرب کنید.

بیایید ببینیم اگر هر دو سمت یک نابرابری را در \(0\) ضرب کنیم چه اتفاقی می افتد:

\( 3 \lt 7 \)
\(0 \times 4 \lt 0 \times 7\)
\( 0 \lt 0 \)

نه! این گزاره درست نیست: صفر هرگز کوچکتر از خودش نیست، یا اینکه بزرگتر از خودش نیست. بنابراین، برای اینکه \(0\) را از عقدۀ خود کمتر بینی یا عقدۀ خود برتر بینی دور نگهداریم، از آن برای ضرب در نابرابری ها استفاده نکنید. اگر داشته باشید \(3 \le 7\) و هر دو سمت نابرابری را بر \(0\) تقسیم کنید، به \( 0 \le 0\) می رسید که صحیح نیز می باشد.





نویسنده : امیر انصاری

دیدگاه ها(0)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

لطفا پیش از ارسال دیدگاه ، به نکات زیر توجه فرمایید :

- از نوشتن دیدگاه های غیر مرتبط با پست جدا خودداری کنید.
- لطفاً دیدگاه های خود را با حروف فارسی تایپ کنید، دیدگاه های فینگیلیش تایید نمی شوند.
- قبل از ارسال دیدگاه حتما متن پست و نظرات سایر دوستان را بخوانید . نظرات اسپم و تکراری تایید نخواهند شد.
- نظر شما ممکن است بدون پاسخ تایید شوند که در این صورت باید منتظر پاسخ از سوی دیگر کاربران باشید .
- چرا آموزش های سایت خوش آموز در قالب فایل pdf به صورت یکجا ارائه نمی شوند؟
- چرا برخی پرسش های کاربران پاسخ داده نمی شوند؟
- لطفا انتقادات و پیشنهادات و همچنین درخواست های خود را از طریق ایمیل khoshamoz[at].hotmail.com ارسال نمایید

مشکل نمایش فرمول های ریاضی در مرورگر کروم: از تاریخ 1398/06/15 و از بروز رسانی نسخۀ 76.0.3809.132 مرورگر کروم، یک باگ در نمایش فرمول های ریاضی در این مرورگر پیدا شده است که به سازندۀ کروم گزارش شده است. تا زمان رفع این مشکل برای مشاهدۀ صحیح آموزش های دارای فرمول های ریاضی از مرورگرهای فایرفاکس و مایکروسافت ادج استفاده نمایید.
دوره آموزشی رایگان جبر 1