شباهتهای زیادی بین کار کردن با نابرابری ها (inequalities) و کار کردن با معادلات (equations) وجود دارد. بخش متعادل کننده هنوز حفظ شده است. وقتی که عملیاتی همچون ضرب کردن هر دو سمت در یک عدد یا تقسیم کردن هر دو سمت بر یک عدد، وارد بازی می شود، در اینجا تفاوتهایی وجود دارد.

جمع و تفریق نابرابری ها

جمع زدن و تفریق کردن مقادیر در داخل نابرابری ها دقیقاً مشابه معادلات است. شما تعادل را حفظ می کنید. اجازه بدهید به شما نشان بدهم چگونه این کار انجام می گردد.

با یک گزاره نابرابری (inequality statement) آغاز می کنیم که شما با نگاه کردن به آن می توانید درستی آن را بگویید، مثل \(6\) کوچکتر از \(10\) است: \( 6 \lt 10 \) . اگر به هر دو سمت چیز یکسانی را اضافه کنید، چه اتفاقی می افتد؟ شما می توانید این کار را در مورد یک معادله انجام بدهید و درستی معادله تغییری نکند، اما در مورد یک نابرابری چطور؟ \(4\) را به هر دو سمت نابرابری اضافه کنید:
\(6+4 \lt 10+4\)
\(10 \lt 14\)

"ده از \(14\) کوچکتر است" هنوز هم یک گزاره صحیح است. این نشان دادن برای اثبات چیزی کافی نیست، اما یک قانون را نشان می دهد که صحیح است: اگر شما هر عددی را به هر دو سمت یک نابرابری اضافه کنید، آن نابرابری هنوز هم صحیح و برقرار است.

به طرز مشابهی، وقتیکه هر عددی را از هر دو سمت یک نابرابری تفریق می کنید، آن نابرابری همچنان صحیح می باشد. با \(10 \lt 14\) آغاز کنید و \(2\) را از هر دو سمت آن تفریق کنید.
\(10-2 \lt 14-2\)
\(8 \lt 12\)

\(8\) از \(12\) کوچکتر است، بنابراین به نظر می رسد اگر جمع و تفریق کنیم، همه چیز اوکی باشد. اما شما با اعداد مثبت این کارها را انجام دادید و نتایج شما نیز اعدادی مثبت بودند. در مورد افزودن یک عدد منفی به هر دو سمت که هر دو سمت را منفی می سازد، چطور؟ با \( 8 \lt 12 \) آغاز کنید و \( -24 \) را به هر دو سمت نابرابری اضافه کنید.

\( 8 + (-24) < 12 + (-24) \)
\( -16 \lt -12 \)
این نابرابری هنوز هم صحیح است: \(-16\) نسبت به \(-12\) از \(0\) دورتر است.

ضرب و تقسیم نابرابری ها

حالا نوبت عملیاتهای مهارت آمیز رسید. ضرب و تقسیم یک بُعد جدید به کار کردن با نابرابری ها اضافه می کنند.

هنگامیکه هر دو سمت یک نابرابری را در یک عدد مثبت ضرب یا تقسیم می کنید، نابرابری درست باقی می ماند. هنگامیکه هر دو سمت یک نابرابری را در یک عدد منفی ضرب یا تقسیم می کنید، علامت نابرابری باید معکوس گردد، تا نابرابری صحیح باقی بماند. شما نمی توانید دو سمت یک نابرابری را در \(0\) ضرب کنید - این کار همیشه نابرابری را نادرست می سازد (مگر اینکه نابرابری شما دارای "یا مساوی" باشد). و البته، شما هرگز نمی توانید چیزی را بر \(0\) تقسیم کنید.

با اعداد مثبت \(20\) و \(12\) آغاز کنید.
\(20 \gt 12\)
هر دو سمت را در \(4\) ضرب کنید:
\(20 \times 4 \gt 12 \times 4\)
\(80 \gt 48\)
این گزاره همچنان درست است.

شما می توانید پیچیدگی را در این نابرابری ببینید: \(10 \gt -3\). هر دو سمت را در \(-2\) ضرب کنید:
\(10(-2) \gt -3(-2)\)
\(-20 \gt 6\)
اوه! یک عدد منفی نمی تواند از عدد مثبت بزرگتر باشد:
\(-20 \lt 6\)
نادرست ساختن نابرابری خبر بدی است. خبر خوب اینست که چرخاندن نماد نابرابری یک روش نسبتاً ساده برای حل کردن این مشکل است.


حالا برای تقسیم، نابرابری \(18 \gt -36\) را در نظر بگیرید و هر دو سمت آن را بر \(-9\) تقسیم کنید. مطمئن شوید که نماد نابرابری را از نماد "بزرگتر از"به نماد "کوچکتر از" تغییر داده باشید.
\( {18 \over -9} \lt {-36 \over -9} \)
\( -2 \lt 4 \)


بیایید ببینیم اگر هر دو سمت یک نابرابری را در \(0\) ضرب کنیم چه اتفاقی می افتد:

\( 3 \lt 7 \)
\(0 \times 4 \lt 0 \times 7\)
\( 0 \lt 0 \)

نه! این گزاره درست نیست: صفر هرگز کوچکتر از خودش نیست، یا اینکه بزرگتر از خودش نیست. بنابراین، برای اینکه \(0\) را از عقدۀ خود کمتر بینی یا عقدۀ خود برتر بینی دور نگهداریم، از آن برای ضرب در نابرابری ها استفاده نکنید. اگر داشته باشید \(3 \le 7\) و هر دو سمت نابرابری را بر \(0\) تقسیم کنید، به \( 0 \le 0\) می رسید که صحیح نیز می باشد.