خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


اندازه گیری کردن

اندازه گیری کردن
نویسنده : امیر انصاری
شما نمی توانید از آن فرار کنید: یارد مربع از موکت ها، مایل در هر گالن در خودروها، ظرفیت فریزر جدید. شما اندازه گیری می کنید، و از فرمولهای مناسب برای رسیدن به پاسخهایی که امیدوار رسیدن به آنها هستید، استفاده می کنید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



فرمول یک ارتباط است که درستی آن به اثبات رسیده است، مهم نیست آن ارتباط چه باشد. یکی از اولین فرمول هایی که شما آموختید مساحت یک مستطیل بر اساس طول و عرض آن می باشد.

در این فصل، من شما را با مساحت (area)، محیط (perimeter)، و حجم (volume) دوباره آشنا می سازم. شما همچنین خواهید دید چگونه با آن شکلهای ناخوشایند و اشکال اشیاء نامنظم برخورد کنید. این مهم نیست که شما فرمولها را حفظ کنید - مهمترین تاکید ما بر اینست که چگونه از فرمولها استفاده کنید و چگونه در صورت نیاز آنها را بیابید.

اندازه گیری کردن


همواره مسأله اندازه گیری مهم بوده است. چقدر دور است؟ شما چقدر بزرگ هستید؟ چقدر فضا نیاز دارید؟ چقدر کاغذ کادوی بیشتر نیاز دارید؟ تمامی این پرسش ها با اندازه گیری و فرمولها سر و کار دارند.

واحدهای اندازه گیری طول (Units of length)


قبل از اینکه اندازه گیری استاندارد سازی گردد، آنها بسته به اینکه چه کسی مشغول اندازه گیری بود، متفاوت بودند: یک یارد (yard) فاصله بین نوک بینی و انتهای یک بازوی باز می باشد، یک پا (foot)، خوب، احتمالاً شما بتوانید حدس بزنید از کجا آمده است، و یک اینچ (inch) معمولاً طول دومین استخوان در انگشت اشاره می باشد. یک خیاط موقع خریدن پارچه باجناق قد بلندش را با خودش می برد! و البته موقع فروش هم با دستهای کوتاه خودش پارچه ها را می فروشد!

واحدهای اندازه گیری طول که به صورت رایج در آمریکا مورد استفاده قرار می گیرند عبارت از اینچ (inches)، پا (feet)، یارد (yards)، و مایل (miles) می باشند. برخی از اندازه های معادل عبارتند از:
$$12 \text{ inches } = 1 \text{ foot } $$
$$ 3 \text{ feet } = 1 \text{ yard }$$
$$ 5,280 \text{ feet } = 1 \text{ mile } $$
شما می توانید معادل های پایه در واحدهای طول را به شکل فرمولهای زیر در بیاورید:

  • پا به اینچ (Feet to inches):
    $$ \text{Number of inches } = \text{ number of feet} \times 12 $$
  • اینچ به پا (Inches to feet):
    $$ \text{ Number of feet } = \text{ number of inches } \div 12 $$
  • یارد به پا (Yards to feet):
    $$ \text{ Number of feet } = \text{ number of yards } \times 3 $$
  • مایل به پا (Miles to feet):
    $$ \text{ Number of feet } = \text{ number of miles } \times 5,280 $$
بهترین روش برای برخورد با اینها و سایر واحدهای اندازه گیری اینست که یک تناسب (proportion) بنویسید. (برای مرور در مورد تناسب ها فصل 12 را ببینید.)

هنگام استفاده از تناسب برای حل کردن یک مسأله اندازه گیری، واحدهای اندازه گیری (units) یکسان را روی همدیگر بنویسید یا واحدهای اندازه گیری یکسان را روبروی یکدیگر بنویسید.

مثال: تبدیل واحدهای زیر را با استفاده از تناسب ها انجام بدهید:

  • در \(8\) پا (فوت) چند اینچ وجود دارد؟ شما می دانید که \( 12 \text{ inches } = 1 \text{ foot }\) . بنابراین، اینچ را روی اینچ و پا را روی پا قرار بدهید:
    $$ \frac{12 \text{ inches }}{x \text{ inches }} = \frac{1 \text{ foot }}{8 \text{ feet }} $$
    مقادیر موجود در رابطه شناسایی شده روبروی یکدیگر قرار دارند. مقدار ناشناس با \(x\) نشان داده شده است. اکنون ضرب صلیبی (طرفین وسطین) کنید:
    $$ 12 \times 8 = x \times 1 $$
    $$ 96 \text{ inches } = x $$
    \(8\) پا برابر با \(96\) اینچ می باشد.

  • شما در یک هواپیما هستید، خلبان می گوید که در حال گشت زنی در ارتفاع \(14,000 \text{ feet }\) پایی هستید. این ارتفاع در واحد مایل (miles) چقدر می شود؟ شما می دانید که \( 5,280 \text{ feet } = 1 \text{ mile } \) ، بنابراین :
    $$ {5,280 \text{ feet } \over 14,000 \text{ feet }} = {1 \text{ mile} \over x \text{ miles }} $$
    ضرب صلیبی را انجام بدهید:
    $$ 5,280 \times x = 14,000 \times 1 $$
    $$ 5,280x = 14,000 $$
    هر سمت معادله را بر \( 5,280\) تقسیم کنید:
    $$ x = {14,000 \over 5,280} = 2{3,400 \over 5,280} \text{ miles } \approx 2.65 \text{ miles } $$

به کارگیری قضیۀ فیثاغورث (Pythagorean theorem)


فرمول عالی دیگری که در هنگام کار با طول ها و مسافتها مورد استفاده قرار می گیرد قضیۀ فیثاغورث می باشد. قضیه فیثاغورث یک فرمول است که ارتباط خاصی را بین سه ضلع یک مثلث قائم الزاویه نشان می دهد.

یادتان باشد: یک مثلث قائم الزاویه (right triangle) مثلثی است که یک زاویه \(90^\circ\) در آن وجود دارد.

فیثاغورث متوجه شد که اگر یک مثلث واقعاً قائم الزاوایه باشد، سپس مربع طول وتر (hypotenuse) - وتر طولانی ترین ضلع مثلث قائم الزاویه می باشد - همواره برابر است با مجموع مربع دو ضلع کوچکتر:
$$(\text{length of hypotenuse})^2 = (\text{length of a shorter side})^2 + (\text{length of remaining side})^2$$

length of hypotenuse: طول وتر
length of a shorter side: طول ضلع کوچکتر
length of remaining side: طول ضلع دیگر

برای مثال، یک مثلث که طول اضلاع آن برابر با \(3\) اینچ، \(4\) اینچ، و \(5\) اینچ باشند، یک مثلث قائم الزاویه می باشد. طولانی ترین ضلع \(5\) اینچ می باشد. مربع \(5\) می شود \(25\) . دو ضلع کوچکتر \(3\) و \(4\) اینچ می باشند. \(3^2=9\) و \(4^2=16\) . مجموع \(9\) و \(16\) می شود \(25\) ، یعنی برابر با مربع ضلع بلندتر.

این ویژگی فقط در مورد مثلثهای قائم الزاویه کار می کند، و اگر ارتباط بین اضلاع بدرستی کار کند، آن مثلث الزاماً باید یک مثلث قائم الزاویه باشد. شکل 1-16 یک مثلث قائم الزاویه عمومی را به شما نشان می دهد، همچنین مثلث محبوب من با اضلاع \(3,4,5\) را نیز به شما نشان می دهد.

اندازه گیری کردن
قوانین جبر: طبق قضیه فیثاغورث، اگر \(a\) و \(b\) و \(c\) اضلاع یک مثلث قائم الزاویه باشند، و \(c\) بلندترین ضلع یعنی وتر باشد، رابطه زیر بین اضلاع برقرار است:
$$ a^2+b^2=c^2 $$
مثالهای زیر به شما نشان می دهد چگونه می توانید از قضیه فیثاغورث استفاده کنید.

مثال: نشان دهید که یک مثلث با اضلاع \(5,12,13\) یک مثلث قائم الزاویه می باشد.

ابتدا مربع هر کدام از اضلاع را پیدا کنید:
\(5^2=25\)     \(12^2=144\)     \(13^2=169\)
مربع دو ضلع کوچکتر را با یکدیگر جمع بزنید. این مجموع با مربع ضلع بزرگتر برابر می باشد.
\(25+144=169\)

مثال: یک نجار می خواهد تعیین کند که آیا جای یک درب گاراژ گوشه های مربع شکل دارد یا اینکه به یک سمت منحرف شده است. او از یک گوشه در امتداد پایین جای درب را \(30\) اینچ اندازه گیری کرد و محل اندازه گیری را نشان گذاری نمود. او از همان گوشه در امتداد بالا \(40\) اینچ اندازه گیری می کند و محل اندازه گیری را نشان گذاری می کند. سپس با یک متر نواری فاصله بین دو نشان گذاری را \(49\) اینچ اندازه گیری می کند.

مربع اندازه گیری ها را پیدا کنید:
\(30^2=900, 40^2=1600, 49^2=2401\)
سپس:
\(900+1600=2500 \ne 2401\)
مجموع مربع دو ضلع کوچکتر برابر با مربع ضلع بزرگتر (وتر) نشد، بنابراین گوشه جای درب مربع شکل نمی باشد و انحراف دارد.

کار کردن با محیط (perimeter)


طول محدودۀ دویدن اطراف زمین چمن چقدر است؟ فاصله دور اتاق چقدر است؟ برای اطراف استخر به چند فوت حصار نیاز دارید؟ محیط (perimeter) فاصله پیرامون بیرونی یک شکل معین می باشد - مجموع طول حاشیه که مرزهای یک ناحیه را مشخص می سازد.

بطور کلی، محیط یک شکل مجموع طول اضلاع آن می باشد. اگر شما یک مثلث (triangle) داشته باشید، هر کدام از سه ضلع آن را اندازه گیری کنید و این اندازه ها را با هم جمع بزنید. اگر یک شکل چهار ضلعی داشته باشید، چهار طول را با هم جمع بزنید، و به همین ترتیب. اگر شکل شما یک شکل خاص باشد، فرمول های محیط (Perimeter formulas) برای ساده کردن این فرآیند مورد استفاده قرار می گیرند. شما می توانید از فرمولها برای محاسبه سریعتر و ساده تر بهره ببرید. در این بخش فرمولهای زیادی را خواهید دید.

محیط مثلث


قوانین جبر: محیط یک مثلث برابر است با مجموع اندازه سه ضلع آن مثلث - ضلعها عبارتند از \(s_1,s_2,s_3\) و محیط عبارتست از:
$$ P = s_1+s_2+s_3 $$
نکات فنی: فرمول محیط یک مثلث متغیرها را با حرف \(s\) و زیرنویس \(1,2,3\) نشان می دهد. حرف \(s\) نمایانگر کلمه side (ضلع) می باشد. به جای استفاده از \(a\) و \(b\) و \(c\) برای طول ضلعها، مرسوم است که از یک متغیر واحد (مانند \(s\) در این مورد) و از لیستی از اعداد به صورت زیر نویس استفاده کنید، این رسم در مواقعی است که هیچ چیز خاصی در مورد متغیرها نداریم و ارتباط خاصی هم بین آنها برای نشان دادن وجود ندارد. همچنین در مواقعی که تعداد اضلاع یک شکل از \(26\) ضلع بیشتر گردد از زیرنویس ها استفاده می شود، زیرا شما فقط می توانید از \(a\) تا \(z\) را برای نامگذاری اضلاع استفاده کنید، اما با زیرنویس ها شما می توانید به هر تعداد که بخواهید ضلع داشته باشید - شکل شما می تواند هزار ضلع داشته باشد. البته خدای ناکرده!

مثالهای زیر چگونگی پیدا کردن محیط چند مثلث را به شما نشان می دهند.

مثال: محیط مثلثی با اضلاع \(5 \text{ feet }, 11 \text{ feet }, 13 \text{ feet } \) را پیدا کنید.
$$ P = 5 + 11 +13 = 29 \text{ feet } $$
مثال: مقدار حصارهای مورد نیاز برای یک ناحیه مثلثی شکل را پیدا کنید، که دو ضلع تشکیل دهنده زوایه قائمه آن \(7 \text{ yards }\) و \(24 \text{ yards }\) می باشند، و شما نمی توانید ضلع بزرگ آن، یعنی وتر را، اندازه گیری کنید، زیرا در حال حاضر خیلی گل آلود است.

از آنجا که شما یک مثلث قائم الزاویه دارید، مجموع مربع \(7\) و \(24\) برابر با مربع بلندترین ضلع (وتر) می باشد:
$$ 7^2+24^2=49+576=625 $$
از آنجا که \(625\) مربع \(25\) می باشد، اضلاع مثلث عبارتند از \(7\) ، \(24\) و \(25\). میزان حصارهای مورد نیاز برابر با محیط مثلث یعنی \(56\) یارد می باشد.
$$ P = 7 + 24 + 25 = 56 \text{ yards } $$

محیط مربع، محیط مستطیل


کار کردن با مربع (square) فوق العاده است زیرا شما فقط یک اندازه دارید که باید در موردش نگران باشید - در مربع طول همه اضلاع با یکدیگر برابرند. مستطیل (rectangle) نیز یک شکل خاص چهار ضلعی است. شکل 2-16 یک مستطیل را با گوشه های \(90^\circ\) آن به شما نشان می دهد، که در آن ضلع های روبرو هم اندازه هستند.

اندازه گیری کردن
قوانین جبر: برای پیدا کردن محیط یک مربع یا مستطیل، از فرمولهای زیر استفاده کنید:

  • محیط یک مربع چهاربرابر یک ضلع آن می باشد: \(P=4s\) (که از جمع زدن چهار ضلع آن ساده تر است \(s_1 + s_2 + s_3 + s_4\)) .
  • محیط یک مستطیل دوبرابر طول بعلاوه دوبرابر عرض آن می باشد. یا می توانید طول و عرض را با یکدیگر جمع بزنید و آن مجموع را در دو ضرب کنید. این فرمولها از جمع زدن هر چهار ضلع ساده تر می باشند: \(P=2l+2w=2(l+w) \text{ or } P=s_1 + s_2 + s_3 + s_4\)

مثالهای زیر چگونگی استفاده از فرمولهای محیط را نشان می دهند.

مثال: یک گروه محیط زیستی تصمیم گرفتند تا یک مایل مربع از چمن زاری را به دنبال سموم سوسک کش بگردند. محیط آن مایل مربع در واحد پا (فوت) چقدر است؟

شما می دانید که \(1 \text{ mile }\) برابر با \( 5,280 \text{ feet } \) می باشد. بنابراین محیط برابر با \(4 \times 5,280 = 21,120 \text{ feet }\) است. بنابراین، اگر آنها بخواهند دور این محدوده را طناب کشی کنند، طناب زیادی نیاز خواهند داشت!

مثال: باغ جدید شما یک مستطیل با اندازه های \(85 \text{ feet }\) طول و \(35 \text{ feet }\) عرض می باشد. برای محصور کردن باغ چقدر حصار نیاز دارید؟

محیط باغ چقدر است؟ \(85\) و \(35\) را با هم جمع بزنید و دوبرابرش کنید: \(2(85+35)=2(120)=240 \text{ feet }\) . البته، این شامل دروازه نمی شود - شما احتمالاً باید دروازه را هم در نظر بگیرید، مگر اینکه علاقه به پریدن از روی موانع داشته باشید!

محیط چندضلعی ها (polygons)


چندضلعی (polygon) یک شکل با اضلاع متعدد می باشد که انتهای هر ضلع به انتهای ضلع مجاور آن چسبیده است. این اضلاع تماماً پاره خط (line segment) می باشند.

بطور کلی، محیط یک چندضلعی برابر است با مجموع اندازه اضلاع آن. اگر یک چندضلعی منتظم (regular polygon) داشته باشید - چندضلعی منتظم یک چندضلعی است که تمامی اضلاع آن و همینطور تمامی زوایای داخلی آن با هم برابر می باشند - محیط از حاصلضرب تعداد اضلاع \(n\) در طول یکی از آن اضلاع \(s\) بدست می آید: \(P=ns\) .

مثال: یک علامت ایست استاندارد در بزرگراه ها دارای هشت ضلع می باشد که اندازه هر کدام \(12.4\) اینچ می باشد. اگر بخواهید دور تا دور علامت توقف را نوار شبرنگ بزنید، چند اینچ نوار شبرنگ نیاز دارید؟

طول یک ضلع را در تعداد اضلاع یعنی \(8\) ضرب کنید: \(P=ns=8(12.4)=99.2 \text{ inches } \) .

محیط دایره (circle)


دایره هم دارای محیط می باشد. در انگلیسی محیط دایره نام خاصی دارد (circumference). برای پیدا کردن محیط یک دایره، تمام چیزهایی که نیاز دارید شامل اندازه شعاع دایره (radius) یا اندازه قطر دایره (diameter) می باشد. شعاع فاصله بین مرکز دایره و هر نقطه ای بر روی خود دایره می باشد. اگر شعاع را دوبرابر کنید، اندازه قطر دایره را بدست می آورید، قطر فاصله بین دو سمت دایره می باشد که با خطی اندازه گیری شده است که از مرکز دایره عبور کرده است. شکل 3-16 یک دایره را به شما نشان می دهد که شعاع آن نشان گذاری شده است.

اندازه گیری کردن
قوانین جبر: فرمول محیط دایره (circumference) برابر با \(C=2\pi r=\pi d\) می باشد که در آن \(r\) نماینده شعاع (radius) می باشد، \(d\) نماینده قطر (diameter) می باشد، و \( \pi \) همیشه تقریباً برابر با \(3.14\) یا \( {22 \over 7} \) است.
یادتان باشد: نماد ارتباط بین محیط دایره و قطر آن حرف یونانی \( \pi \) می باشد. مقدار \( \pi \) همواره یکسان است - و تفاوتی نمی کند اندازه دایره شما چقدر بزرگ یا چقدر کوچک باشد. معادل اعشاری مقدار \( \pi \) تقریباً برابر با \( 3.14 \) می باشد.
$$ \pi \approx 3.1415926535897932384626433832795... $$
مثال: شما می خواهید یک باغ مدور بسازید، اما شما عضوی از گروه "هیچ چیزی را هدر نده!" هستید. حصارهایی که شما می خواهید در اندازه های \( 50 \text{ feet } \) ، \( 100 \text{ feet } \) ، \( 150 \text{ feet } \) ، \( 200 \text{ feet } \) و به همین ترتیب ... موجود هستند. شما هم می خواهید باغتان را طوری بسازید که هیچ چیزی از اندازه حصار موجود هدر نرود. چگونه می توانید به سادگی قطر هر دایره را با در نظر گرفتن اندازه های متنوع حصارها، تعیین کنید؟

شما باید فرمول محیط دایره را بازنویسی کنید تا بتوانید به سادگی تعیین کنید که اگر اندازه مشخصی از یک حصار را بخرید و بخواهید تمامش را برای حصارکشی استفاده کنید، در آن صورت عرض باغ مدور شما چقدر می باشد.

فرمول \(C=\pi d\) را برای \(d\) حل کنید، هر دو سمت را بر \( \pi \) تقسیم کنید:
$$ \require{cancel} {C \over \pi} = {\cancel{\pi}d \over \cancel{\pi} } $$
$$ {C \over \pi} = d $$
قطر برابر است با محیط دایره تقسیم بر \( \pi \) .
$$ d={C \over \pi} $$
اگر اندازه حصار برابر با \(50 \text{ feet }\) باشد:
$$ d= {50 \over 3.14} \approx 15.92 \text{ feet } $$
اگر اندازه حصار برابر با \(100 \text{ feet }\) باشد:
$$ d= {100 \over 3.14} \approx 31.85 \text{ feet } $$
اگر اندازه حصار برابر با \(200 \text{ feet }\) باشد:
$$ d= {200 \over 3.14} \approx 63.69 \text{ feet } $$
اگر شما ابعاد قطعه زمینی که می خواهید باغ را در آن بسازید بدانید، می توانید به سادگی تعیین کنید کدام حصار برای شما مناسبتر است.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.