خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
فرمول محاسبه بهره و درصد (Interest and Percent)
درصدها (Percentages) بخشی از واژگان مدرن ما می باشند. شما احتمالاً یکی از این عبارات را هر روز می شنوید:
درصد (Percent) یک روش برای بیان کردن کسرها به شکل کسرهای معادلشان با مخرج \(100\) می باشد. درصد چیزی است که از صورت این کسر به وجود می آید - چقدر از بین \(100\) :
شما از درصدها در فرمول هایی که در ادامه آمده اند، استفاده می کنید. درصدها را به اعداد اعشاری تبدیل کنید تا ضرب و تقسیم آنها راحتتر شود. برای تبدیل از درصد به عدد اعشاری، شما ممیز اعشاری در درصد را دو مکان به سمت چپ منتقل می کنید. اگر هیچ ممیز اعشاری نمایش داده نشده باشد، فرض شما بر این باشد که در انتهای سمت راست درصد ممیز اعشاری قرار دارد.
فهمیدن اینکه شما چقدر بهره باید پرداخت کنید، یا چقدر از بابت بهره درآمد کسب خواهید کرد، با فرمولهایی که در این بخش وجود دارند، کار ساده ای می باشد. با این وجود، شما احتمالاً با جستجو با یک ماشین حساب می توانید بهره مرکب را حساب کنید.
بهره ساده (Simple interest) زمانی استفاده می شود که بخواهید میزان پولی که توسط بهره کسب شده است تعیین گردد و از ترکیب کردن استفاده نمی کنید. همچنین در هنگامی که چیزی را به صورت مدت دار خریداری می کنید، برای فهمیدن مجموع مبلغی که باید بازپرداخت شود، مورد استفاده قرار می گیرد. بهره ساده در اصل درصدی از مبلغ اصلی می باشد. بهره ساده فقط بر روی مبلغ اولیه حساب می شود - و نه بر روی تغییرات مبلغ که با رُشد سرمایه صورت می پذیرد. برای اینکه از مزیت رشد در یک حساب استفاده ببرید، بهره مرکب را ببینید.
مثال: مبلغ بهره ساده بر روی \($10,000\) وقتیکه نرخ بهره \(2{1 \over 2}\) درصد و مدت دوره \(3{1 \over 2}\) سال باشد، چقدر می شود؟
$$I=Prt$$
$$I=10,000 \times 0.025 \times 3.5 = 875 $$
بهره ساده \($875\) می باشد.
مثال: شما قصد دارید تا یک تلویزیون را به صورت مدت دار خرید کنید. فروشگاه لوازم خانگی از شما مطالبه \(12\) درصد هزینه بهره ساده می کند. شما این مبلغ را به قیمت تلویزیون اضافه می کنید و مجموع مبلغ را در \(24\) قسط ماهانه بازپرداخت می کنید. بیست و چهار ماه برابر با دو سال می باشد، بنابراین \(t=2\) . قیمت تلویزیون \($600\) است. بهره چقدر می شود؟
$$ I=600 \times 0.12 \times 2 = 144 $$
مبلغ بهره \($144\) می باشد. اکنون برای محاسبه مبلغ هر قسط، مبلغ بهره را به قیمت تلویزیون اضافه کنید و مجموع آن \($744\) می شود. این عدد را بر تعداد اقساط یعنی \(24\) تقسیم کنید، و خواهید داشت \({744 \over 24} = 31\) . با این حساب مبلغ هر قسط شما برابر با \($31\) خواهد بود.
بهره مرکب زمانی مورد استفاده قرار می گیرد که مجموع مبلغی که شما در حساب بانکی تان دارید را بعد از مدت زمان مشخصی تعیین می کنید. دلیل نامگذاری بهره مرکب به این نام، اینستکه بهره کسب شده، قبل از اینکه بهره بعدی بر روی مجموع جدید محاسبه گردد، به سرمایه اولیه اضافه می شود. مدت زمانهایی که در هر سال بهره شما ترکیب می گردد بستگی به نوع حسابتان دارد، اما بسیاری از حسابهای بانکی به صورت هر سه ماه یکبار ترکیب می شوند.
با باقی گذاردن بهره به دست آمده در حسابتان، شما در واقع پول بیشتری بدست می آورید، زیرا بهره شما بر روی مبلغ جدید بزرگتر محاسبه می گردد.
مثالهای زیر به شما نشان می دهند این فرمول چطور کار می کند.
مثال: در حساب بانکی که با مبلغ اولیه \($5,000\) افتتاح شده است و طی \(14\) سال گذشته با نرخ \(6\) درصد سود کسب کرده است، و به صورت سه ماه یکبار ترکیب شده است، هم اکنون چقدر پول وجود دارد؟
مبلغ اولیه \($5000\) می باشد، نرخ بهره \(6\) درصد یا \(0.06\) می باشد، تعداد دفعات ترکیب در هر سال \(4\) مرتبه می باشد، و مدت زمان ماندن پول در حساب \(14\) سال است. بنابراین:
$$ A = 5,000(1+{0.06 \over 4})^{4 \cdot 14} $$
با دقت از داخل به بیرون کار کنید. \(0.06\) را بر \(4\) تقسیم کرده و آن را با \(1\) جمع بزنید. همزمان در قسمت توان عدد، \(4\) را در \(14\) ضرب کنید:
$$ A=5,000(1.015)^{56} $$
بنا به قوانین ترتیب عملیات، ابتدا عدد داخل پرانتز را به توان برسانید و سپس ضرب را انجام دهید:
$$ 5,000(2.30196)=11,509.82 $$
مبلغ موجودی حساب بیش از دوبرابر شده است. این عدد را با مبلغ یکسانی که در آن از فرمول بهره ساده استفاده شده باشد، مقایسه کنید:
$$ I=Prt= 5,000 \times 0.06 \times 14 = $4,200 $$
این بهره ساده بدست آمده را با مبلغ اولیه اصلی جمع بزنید.: \(5000+4200=9200\) . با استفاده از بهره مرکب در اینجا بیش از \($2,300\) درآمد اضافی نسبت به روش بهره ساده، کسب شده است.
مثال: در اینجا یک مثال دراماتیک تر از قدرت ترکیب کردن داریم: فرض کنید یک نامه از بانک West Indies دریافت کرده اید، که مدعی شده است که برخی از اجداد شما که با کریستف کلمب (Christopher Columbus) آمده بودند، یک سکه معادل \($1\) را در بانک سرمایه گذاری کرده اند، و سپس در راه بازگشت در دریا گم شده اند. معادل دلاری سپرده آنها در بانک نشسته است، و بهره ای با نرخ \(3{1 \over 2}\) درصد به صورت مرکب هر سه ماه یکبار کسب کرده است. بانک مدعی است که حساب جد شما یک حساب آزار دهنده است و بخاطر هزینه هایش باید جمع آوری گردد. بانک می خواهد بر اساس یک قانون قدیمی و عطف به ماسبق، برای این حساب به ازاء هر سال \($25\) مطالبۀ هزینه کند. آیا می خواهید مدعی این حساب شوید؟ پس باید هزینه هایش را بدهید؟
در ابتدا ممکن است بگویید "به هیچ وجه قبول نمی کنم! من بدهکار خواهم شد." سپس ماشین حسابتان را در می آورید و مقداری محاسبه انجام می دهید. اگر جد شما با کریستف کلمب در سال 1492 آمده باشد، و شما نامه را در سال 2010 دریافت کرده باشید، دقیقاً باید بدنبال چه چیزی باشید؟
سرمایه اولیه \($1\) بوده است، نرخ بهره \(3{1 \over 2}\) به صورت مرکب با ترکیب سه ماه یکبار، یعنی چهار بار در هر سال. این پول \(518\) سال است که سپرده گذاری شده است، اما این به این معناست که \(518\) سال و به ازاء هر سال باید \($25\) هزینه خدمات به بانک بپردازید، ببینیم با این بهره مرکب موجودی حساب جد شما چقدر می شود:
$$ A = 1(1+{0.035 \over 4})^{4(518)} = 1(1.00875)^{2072} \approx 69,105,226.83 $$
نتیجه سپرده اولیه \($1\) بیش از \($69\) میلیون شد.
بیایید هزینه های حساب را هم محاسبه کنیم:
$$ 25 \times 518 = 12,950 $$
پرداخت حدود \($13,000\) برای دریافت \($69\) میلیون، خیلی ناچیز است. هزینه را بدهید و موجودی حساب جدتان را بگیرید! امیدوارم این پول را به خوبی و خوشی خرج کنید!
شما می توانید هم هزینه مالیات و هم مبلغ تخفیف کالاهایی را که می خرید به صورت درصدی محاسبه کنید.
همه مصرف کننده گان با مالیات ها در هنگام خرید مواجه می شوند و امید دارند که وضعیتی را بیابند که بتوانند چیزی را در حراج خریداری کنند. هزینه اش اینست که یک مصرف کننده عاقل باشید.
مثال: یک خودرو با قیمت \($24,000\) که قصد خریدش را دارید، شامل \(8\) درصد تخفیف می باشد. قیمت تخفیف خورده این خودرو چقدر است؟ مطمئن شوید که \(5\) درصد مالیات بر فروش را نیز اضافه کرده باشید.
$$ \text{ discounted price } = 24,000 \times (1 - 0.08) = 24,000 \times 0.92 = $22,080 $$
$$ \text{ total price } = \text{ cost of item } \times (1 + \text{ tax percent as a decimal }) $$
$$ \text{ total price } = 22,080 \times (1 + 0.05) = $23,184 $$
مثال: کفشی که در حال بررسی آن هستید دارای \(40\) درصد تخفیف می باشد و این قیمت یک تخفیف \(15\) درصدی دیگر هم دارد. اگر شما آن را الان \($68\) بخرید، قیمت اصلی آن چقدر است؟ اگر قیمت فعلی دارای \(15\) درصد تخفیف باشد، قیمتی را پیدا کنید که آنها از ابتدا تخفیف خورده بودند (قیمت اولین تخفیف). فرمول قیمت تخفیف خورده را برای قیمت اصلی حل کنید:
$$ \text{ original price } = { \text{ discount price } \over 1 - \text { percent discount as decimal } }$$
$$ \text{ “second discounted price” } = {68 \over (1-0.15)} = {68 \over 0.85} = $80 $$
$$ \text{ “first discounted price” } = {80 \over (1-0.40)} = {80 \over 0.60} = $133.33 $$
توجه داشته باشید که تخفیف \(40\) درصدی که به دنبال آن یک تخفیف \(15\) درصدی آمده باشد، با تخفیف \(55\) درصدی یکسان نمی باشد. یک تخفیف \(55\) درصدی نتیجه اش این می شد که قیمت کفش \($60\) می شد.
-
شانس باریدن \(40\) درصد می باشد.
-
در میانگین صنعتی داو جونز (Dow Jones Industrial Average) افزایش \(2\) درصدی وجود دارد.
-
نمره امتحان شما \(99\) درصد می باشد.
-
قدتان شما را در صدک \(80\) ام قرار می دهد.
درصد (Percent) یک روش برای بیان کردن کسرها به شکل کسرهای معادلشان با مخرج \(100\) می باشد. درصد چیزی است که از صورت این کسر به وجود می آید - چقدر از بین \(100\) :
-
\(80\) درصد برابر است با \({80 \over 100}=0.80\)
-
\(16{1 \over 2}\) درصد برابر است با \({16.5 \over 100}=0.165\)
-
\(2\) درصد برابر است با \({2 \over 100} = 0.02\)
شما از درصدها در فرمول هایی که در ادامه آمده اند، استفاده می کنید. درصدها را به اعداد اعشاری تبدیل کنید تا ضرب و تقسیم آنها راحتتر شود. برای تبدیل از درصد به عدد اعشاری، شما ممیز اعشاری در درصد را دو مکان به سمت چپ منتقل می کنید. اگر هیچ ممیز اعشاری نمایش داده نشده باشد، فرض شما بر این باشد که در انتهای سمت راست درصد ممیز اعشاری قرار دارد.
فرمول های بهره
فهمیدن اینکه شما چقدر بهره باید پرداخت کنید، یا چقدر از بابت بهره درآمد کسب خواهید کرد، با فرمولهایی که در این بخش وجود دارند، کار ساده ای می باشد. با این وجود، شما احتمالاً با جستجو با یک ماشین حساب می توانید بهره مرکب را حساب کنید.
حساب کردن بهره ساده (simple interest)
بهره ساده (Simple interest) زمانی استفاده می شود که بخواهید میزان پولی که توسط بهره کسب شده است تعیین گردد و از ترکیب کردن استفاده نمی کنید. همچنین در هنگامی که چیزی را به صورت مدت دار خریداری می کنید، برای فهمیدن مجموع مبلغی که باید بازپرداخت شود، مورد استفاده قرار می گیرد. بهره ساده در اصل درصدی از مبلغ اصلی می باشد. بهره ساده فقط بر روی مبلغ اولیه حساب می شود - و نه بر روی تغییرات مبلغ که با رُشد سرمایه صورت می پذیرد. برای اینکه از مزیت رشد در یک حساب استفاده ببرید، بهره مرکب را ببینید.
قوانین جبر: مبلغ بهره ساده بدست آمده برابر است با مبلغ اولیه \(P\) ، ضربدر نرخ بهره \(r\) (که به صورت اعشاری نوشته می شود)، ضربدر میزان زمان \(t\) (که معمولاً به صورت سالیانه در نظر گرفته می شود). فرمول محاسبه بهره ساده عبارتست از: \(I=Prt\)
مثال: مبلغ بهره ساده بر روی \($10,000\) وقتیکه نرخ بهره \(2{1 \over 2}\) درصد و مدت دوره \(3{1 \over 2}\) سال باشد، چقدر می شود؟
$$I=Prt$$
$$I=10,000 \times 0.025 \times 3.5 = 875 $$
بهره ساده \($875\) می باشد.
مثال: شما قصد دارید تا یک تلویزیون را به صورت مدت دار خرید کنید. فروشگاه لوازم خانگی از شما مطالبه \(12\) درصد هزینه بهره ساده می کند. شما این مبلغ را به قیمت تلویزیون اضافه می کنید و مجموع مبلغ را در \(24\) قسط ماهانه بازپرداخت می کنید. بیست و چهار ماه برابر با دو سال می باشد، بنابراین \(t=2\) . قیمت تلویزیون \($600\) است. بهره چقدر می شود؟
$$ I=600 \times 0.12 \times 2 = 144 $$
مبلغ بهره \($144\) می باشد. اکنون برای محاسبه مبلغ هر قسط، مبلغ بهره را به قیمت تلویزیون اضافه کنید و مجموع آن \($744\) می شود. این عدد را بر تعداد اقساط یعنی \(24\) تقسیم کنید، و خواهید داشت \({744 \over 24} = 31\) . با این حساب مبلغ هر قسط شما برابر با \($31\) خواهد بود.
بهره مرکب (Compound interest)
بهره مرکب زمانی مورد استفاده قرار می گیرد که مجموع مبلغی که شما در حساب بانکی تان دارید را بعد از مدت زمان مشخصی تعیین می کنید. دلیل نامگذاری بهره مرکب به این نام، اینستکه بهره کسب شده، قبل از اینکه بهره بعدی بر روی مجموع جدید محاسبه گردد، به سرمایه اولیه اضافه می شود. مدت زمانهایی که در هر سال بهره شما ترکیب می گردد بستگی به نوع حسابتان دارد، اما بسیاری از حسابهای بانکی به صورت هر سه ماه یکبار ترکیب می شوند.
با باقی گذاردن بهره به دست آمده در حسابتان، شما در واقع پول بیشتری بدست می آورید، زیرا بهره شما بر روی مبلغ جدید بزرگتر محاسبه می گردد.
قوانین جبر: فرمول محاسبه بهره مرکب عبارتست از:
$$ A= P(1+{r \over n})^{nt} $$
در این فرمول \(A\) کل مبلغ موجودی حساب بانکی است، \(P\) مبلغ اصلی اولیه (principal) است، \(r\) درصد نرخ است که به صورت اعشاری نوشته می شود، \(n\) تعداد دفعات ترکیب در هر سال می باشد، و \(t\) تعداد سالها می باشد. اوه!
$$ A= P(1+{r \over n})^{nt} $$
در این فرمول \(A\) کل مبلغ موجودی حساب بانکی است، \(P\) مبلغ اصلی اولیه (principal) است، \(r\) درصد نرخ است که به صورت اعشاری نوشته می شود، \(n\) تعداد دفعات ترکیب در هر سال می باشد، و \(t\) تعداد سالها می باشد. اوه!
مثالهای زیر به شما نشان می دهند این فرمول چطور کار می کند.
مثال: در حساب بانکی که با مبلغ اولیه \($5,000\) افتتاح شده است و طی \(14\) سال گذشته با نرخ \(6\) درصد سود کسب کرده است، و به صورت سه ماه یکبار ترکیب شده است، هم اکنون چقدر پول وجود دارد؟
مبلغ اولیه \($5000\) می باشد، نرخ بهره \(6\) درصد یا \(0.06\) می باشد، تعداد دفعات ترکیب در هر سال \(4\) مرتبه می باشد، و مدت زمان ماندن پول در حساب \(14\) سال است. بنابراین:
$$ A = 5,000(1+{0.06 \over 4})^{4 \cdot 14} $$
با دقت از داخل به بیرون کار کنید. \(0.06\) را بر \(4\) تقسیم کرده و آن را با \(1\) جمع بزنید. همزمان در قسمت توان عدد، \(4\) را در \(14\) ضرب کنید:
$$ A=5,000(1.015)^{56} $$
بنا به قوانین ترتیب عملیات، ابتدا عدد داخل پرانتز را به توان برسانید و سپس ضرب را انجام دهید:
$$ 5,000(2.30196)=11,509.82 $$
مبلغ موجودی حساب بیش از دوبرابر شده است. این عدد را با مبلغ یکسانی که در آن از فرمول بهره ساده استفاده شده باشد، مقایسه کنید:
$$ I=Prt= 5,000 \times 0.06 \times 14 = $4,200 $$
این بهره ساده بدست آمده را با مبلغ اولیه اصلی جمع بزنید.: \(5000+4200=9200\) . با استفاده از بهره مرکب در اینجا بیش از \($2,300\) درآمد اضافی نسبت به روش بهره ساده، کسب شده است.
مثال: در اینجا یک مثال دراماتیک تر از قدرت ترکیب کردن داریم: فرض کنید یک نامه از بانک West Indies دریافت کرده اید، که مدعی شده است که برخی از اجداد شما که با کریستف کلمب (Christopher Columbus) آمده بودند، یک سکه معادل \($1\) را در بانک سرمایه گذاری کرده اند، و سپس در راه بازگشت در دریا گم شده اند. معادل دلاری سپرده آنها در بانک نشسته است، و بهره ای با نرخ \(3{1 \over 2}\) درصد به صورت مرکب هر سه ماه یکبار کسب کرده است. بانک مدعی است که حساب جد شما یک حساب آزار دهنده است و بخاطر هزینه هایش باید جمع آوری گردد. بانک می خواهد بر اساس یک قانون قدیمی و عطف به ماسبق، برای این حساب به ازاء هر سال \($25\) مطالبۀ هزینه کند. آیا می خواهید مدعی این حساب شوید؟ پس باید هزینه هایش را بدهید؟
در ابتدا ممکن است بگویید "به هیچ وجه قبول نمی کنم! من بدهکار خواهم شد." سپس ماشین حسابتان را در می آورید و مقداری محاسبه انجام می دهید. اگر جد شما با کریستف کلمب در سال 1492 آمده باشد، و شما نامه را در سال 2010 دریافت کرده باشید، دقیقاً باید بدنبال چه چیزی باشید؟
سرمایه اولیه \($1\) بوده است، نرخ بهره \(3{1 \over 2}\) به صورت مرکب با ترکیب سه ماه یکبار، یعنی چهار بار در هر سال. این پول \(518\) سال است که سپرده گذاری شده است، اما این به این معناست که \(518\) سال و به ازاء هر سال باید \($25\) هزینه خدمات به بانک بپردازید، ببینیم با این بهره مرکب موجودی حساب جد شما چقدر می شود:
$$ A = 1(1+{0.035 \over 4})^{4(518)} = 1(1.00875)^{2072} \approx 69,105,226.83 $$
نتیجه سپرده اولیه \($1\) بیش از \($69\) میلیون شد.
بیایید هزینه های حساب را هم محاسبه کنیم:
$$ 25 \times 518 = 12,950 $$
پرداخت حدود \($13,000\) برای دریافت \($69\) میلیون، خیلی ناچیز است. هزینه را بدهید و موجودی حساب جدتان را بگیرید! امیدوارم این پول را به خوبی و خوشی خرج کنید!
اندازه گیری مالیات ها (taxes) و تخفیف ها (discounts)
شما می توانید هم هزینه مالیات و هم مبلغ تخفیف کالاهایی را که می خرید به صورت درصدی محاسبه کنید.
-
قیمت کل:
$$ \text{ Total price } = \text{ price of item } × (1 + \text{ tax percent as a decimal }) $$
Total price: قیمت کل
price of item: قیمت کالا
tax percent as a decimal: درصد مالیات به صورت عدد اعشاری
-
قیمت با تخفیف (قیمت تخفیف خورده):
$$ \text{ Discounted price } = \text{ original price } × (1 – \text{ discount percent as decimal }) $$
Discounted price: قیمت تخفیف خورده
original price: قیمت اصلی
discount percent as decimal: درصد تخفیف به صورت عدد اعشاری
-
قیمت اصلی:
$$ \text{ Original price } = \text{ discount price } ÷ (1 – \text{ discount percent as decimal }) $$
Original price: قیمت اصلی
discount price: قیمت تخفیف خورده
discount percent as decimal: درصد تخفیف به صورت عدد اعشاری
همه مصرف کننده گان با مالیات ها در هنگام خرید مواجه می شوند و امید دارند که وضعیتی را بیابند که بتوانند چیزی را در حراج خریداری کنند. هزینه اش اینست که یک مصرف کننده عاقل باشید.
مثال: یک خودرو با قیمت \($24,000\) که قصد خریدش را دارید، شامل \(8\) درصد تخفیف می باشد. قیمت تخفیف خورده این خودرو چقدر است؟ مطمئن شوید که \(5\) درصد مالیات بر فروش را نیز اضافه کرده باشید.
$$ \text{ discounted price } = 24,000 \times (1 - 0.08) = 24,000 \times 0.92 = $22,080 $$
$$ \text{ total price } = \text{ cost of item } \times (1 + \text{ tax percent as a decimal }) $$
$$ \text{ total price } = 22,080 \times (1 + 0.05) = $23,184 $$
مثال: کفشی که در حال بررسی آن هستید دارای \(40\) درصد تخفیف می باشد و این قیمت یک تخفیف \(15\) درصدی دیگر هم دارد. اگر شما آن را الان \($68\) بخرید، قیمت اصلی آن چقدر است؟ اگر قیمت فعلی دارای \(15\) درصد تخفیف باشد، قیمتی را پیدا کنید که آنها از ابتدا تخفیف خورده بودند (قیمت اولین تخفیف). فرمول قیمت تخفیف خورده را برای قیمت اصلی حل کنید:
$$ \text{ original price } = { \text{ discount price } \over 1 - \text { percent discount as decimal } }$$
$$ \text{ “second discounted price” } = {68 \over (1-0.15)} = {68 \over 0.85} = $80 $$
$$ \text{ “first discounted price” } = {80 \over (1-0.40)} = {80 \over 0.60} = $133.33 $$
توجه داشته باشید که تخفیف \(40\) درصدی که به دنبال آن یک تخفیف \(15\) درصدی آمده باشد، با تخفیف \(55\) درصدی یکسان نمی باشد. یک تخفیف \(55\) درصدی نتیجه اش این می شد که قیمت کفش \($60\) می شد.
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: