خوش آموز اولین و تنها سایت آموزشی %100 رایگان ایران با 5570 آموزش متنی، تصویری و ویدئویی

مسائل ترکیبی (Mixture problems)

مسائل ترکیبی (Mixture problems)

کد مطلب : 4801 PDF

مسائل ترکیبی می توانند اشکال خیلی متفاوتی داشته باشند. انواع سنتی وجود دارد که در آنها شما واقعاً می توانید یک مسأله را با مسأله ای دیگر مخلوط کنید، مثل مخلوط کردن آب و ضدیخ. انواع دیگری هم هستند که در آنها اجزاء جامد با یکدیگر ترکیب می شوند، مثل ترکیبی که در ظرف سالاد یا ظرف شکلات می بینید. در انواع دیگری سرمایه گزاریهای متفاوتی در نرخهای متفاوتی با یکدیگر ترکیب شده اند. من تمامی این انواع مسأله ها را در کنار هم گردآوری کرده ام زیرا شما اساساً فرآیند یکسانی را برای حل کردن همه آنها انجام می دهید.

دوره آموزش رایگان ریاضی پایه و جبر

کشیدن یک تصویر در تمامی انواع مسأله های ترکیبی می تواند کمک کند. همان تصویر می تواند برای همه این انواع کار کند: مایع، جامد، و سرمایه گزاری. شکل 5-18 سه ظرف نمونه را نشان می دهد - دو تا از آنها با هم ترکیب شده اند تا سومی، یعنی ترکیب را درست کنند. در هر مورد ظرفها با کیفیت و کمیت محتویاتش برچسب گذاری شده اند. قبل از اضافه کردن، این دو مقدار در یکدیگر ضرب شده اند. کیفیت برابر با دوام ضدیخ یا نرخ بهره یا قیمت اجزاء می باشد. کمیت برابر با مقداردر واحد کوارتز (quarts) یا دلار یا پاوند (pounds) می باشد. شما می توانید تصویر یکسانی را برای ظرفها رد هر مسأله ترکیبی دیگری بکشید، یا شما می توانید ظرفها یا جعبه ها را تغییر بدهید. مهم نیست - شما فقط می خواهید روشی را که ترکیب بر اساس آن صورت پذیرفته است را بصری کنید.

مسائل ترکیبی (Mixture problems)

راه حل های مخلوط کردن


یک مسأله مخلوط کردن سنتی وقتی است که شما آب و ضدیخ را با یکدیگر ترکیب می کنید. هنگامی که این مایعات مخلوط می شوند، استحکام این دو مایع میانگین گرفته می شوند.

مثال: چند کوارت (quarts) از ضدیخ \(80\) درصد باید به \(8\) کوارت از ضدیخ \(20\) درصد اضافه گردد، تا مخلوطی از یک ضدیخ \(60\) درصد بدست آید؟

ابتدا، ظرفهای خودتان را برچسب گذاری کنید. اولین ظرف به این شکل برچسب گذاری می شود \(80\) درصد را در بالای برچسب و \(x\) کوارت را در پایین آن بنویسید. (در مورد اولین ظرف تعداد کوارت ها را هنوز نمی دانیم). در برچسب ظرف دوم \(20\) درصد را در بالا و \(8\) کوارت را در پایین بنویسید. در ظرف سوم، که آخرین مخلوط را نشان می دهد، \(60\) درصد را در بالا و \(x+8\) کوارت را در پایین برچسب بنویسید. برای حل این مسأله، هر کیفیت (quality) یا درصد استحکام ضدیخ را در کمیت (quantity) آن ضرب کنید و اینها را در یک معادله قرار بدهید:
$$ 80 \text{ percent }(x \text{ quarts }) + 20 \text{ percent }(8 \text{ quarts }) = 60 \text{ percent }(x + 8) \text{ quarts } $$
$$ (0.8)x+0.2(8)=0.6(x+8) $$
$$ 0.8x+1.6=0.6x+4.8 $$
با تفریق \(0.6x\) از هر دو سمت معادله و همینطور تفریق \(1.6\) ازهر دوسمت، خواهیم داشت:
$$ 0.2x=3.2 $$
هر سمت را بر \(0.2\) تقسیم کنید، خواهید داشت:
$$ x=16 $$
بنابراین \(16\) کوارت از ضدیخ \(80\) درصد باید اضافه گردد.

شما می توانید از این قوانین ترکیب مایع در افزودن مایعات به سالاد، نوشیدنی های ترکیبی، و همه انواع معجون های شیرین استفاده کنید.

ترکیبات جامد (solid mixtures)


شما همچنین فرصت های زیادی برای ترکیب کردن جامدات دارید: ترکیب کردن اجزاء خشک برای یک کیک، به هم زدن یک سالاد سبزیجات، و ترکیب میوه های خشک همراه با کشمش و بادام زمینی. این بخش به شما نشان می دهد چگونه با استفاده از جبر اشیاء جامد را با یکدیگر ترکیب کنید.

آیا تابحال یک قوطی از دانه های ترکیب شده خریده اید؟ من همیشه اول بادام هندی ها را جدا می کنم و می خورم. آیا تابحال فکر کرده اید چرا به نظر می رسد از دانه های محبوب شما کمتر وجود دارد و در عوض اینقدر بادام زمینی در آن هست؟ خوب، برخی از انواع دانه ها خیلی گرانتر از بقیه انواع دانه ها هستند، و برخی از آنها نیز خیلی رایج تر از بقیه هستند. فروشندگان دانه ها این فاکتورها در هنگام طراحی نسبتهای ترکیب در نظر می گیرند، تا ترکیبات حاصل شده هم مطلوب و هم مقرون به صرفه باشند.

چند پاوند (pounds) از بادام هندی که قیمت هر پاوند آن \($5.50\) می باشد باید با \(3\) پاوند از بادام زمینی که هر پاوندش \($2\) است ترکیب شود تا مخلوطی به قیمت \($3\) در هر پاوند درست شود؟ (شما می توانید از این فرمول برای صرفه جویی در بودجه مهمانی بعدی تان استفاده کنید.)

استفاده از ظرف ها در اینجا معنادار است. فرض کنیم \(x\) نماینده تعداد پاوندهای بادام هندی (cashews) می باشد. در اینجا کیفیت ما هزینه دانه ها می باشد و کمیت ما تعداد پاوندها می باشد. اولین ظرف باید \($5.50\) در قسمت بالای برچسبش و \(x\) پاوند در قسمت پایین برچسبش نوشته شود. در دومین ظرف باید \($2\) در بالا و \(3\) پاوند در پایین نوشته شود. در ظرف سوم،که ترکیب در آن قرار دارد، باید \($3\) دلار در بالا و \(x+3\) در پایین برچسب نوشته شود.
$$ 5.5x+2(3)=3(x+3) $$
$$ 5.5x+6=3x+9 $$
با تفریق \(3x\) از هر سمت و تفریق \(6\) از هر سمت، خواهیم داشت:
$$ 2.5x=3 $$
$$ x={3 \over2.5}=1.2 \text{ pounds of cashews } $$
شما \(1.2\) پاوند بادام هندی را با \(3\) پاوند بادام زمینی ترکیب می کنید تا \(4.2\) پاوند مخلوط دانه با قیمت هر پاوند \(3$\) درست شود.

تحقیق در مورد سرمایه گذاری و سود


شما می توانید پولتان را در یک حساب گواهی سپرده یا در یک حساب پس انداز بانکی ذخیره کنید و یک نرخ بهره دریافت کنید. همچنین می توانید در سرمایه گذاریهای دارای ریسک بیشتر مشارکت کنید و نرخ بهره بالاتری دریافت کنید، اما ریسک از دست دادن اصل پولتان را نیز باید بپذیرید. بیشتر مشاوران مالی به شما پیشنهاد می دهند که سرمایه گذاریتان را متنوع کنید - بخشی از پولتان را در هر کدام از این دو نوع سرمایه گذاری کنید - تا از مزایای هر دو نوع سرمایه گذاری بهره مند شوید.

در هر کدام از مسأله های زیر از فرمول بهره ساده استفاده کنید تا فرآیند را ساده سازی کنید. در فرمول بهره ساده، بهره فقط بر روی مبلغ سرمایه گذاری اولیه محاسبه می شود.

نکات فنی: در عمل، موسسات مالی بیشتر احتمال دارد که از فرمول بهره مرکب (compound interest) استفاده کنند. فرمول بهره مرکب به این شکل است که مبالغ تغییر می یابند و بهره به صورت دوره ای به سرمایه گذاری اصلی اضافه می شود.

مثال: خلیل (Khalil) در سال گذشته مبلغ \($20,000\) سرمایه گذاری کرد. او بخشی از این پول را با بهره \(3{1 \over 2}\) درصد و بقیه را با بهره \(8\) درصد سرمایه گذاری کرد. مجموع درآمد او از بابت بهره های دریافتی در هر دو سرمایه گذاری برابر با \($970\) بود. او در هر نرخ بهره چقدر سرمایه گذاری کرده است؟

دوباره از ظرفها استفاده کنید. فرض کنید \(x\) نماینده میزان پولی باشد که در نرخ \(3{1 \over 2}\) درصد سرمایه گذاری شده است. در برچسب ظرف اول \(3{1 \over 2}\) درصد را در بالا و \(x\) را در پایین بنویسید. در ظرف دوم \(8\) درصد را در بالا و \(20,000-x\) را در پایین بنویسید. در ظرف سوم، ترکیب برابر با \($970\) می باشد که آن را مستقیماً در وسط برچسب بنویسید. این عدد نتیجه ضرب کردن ترکیب درصدها در مجموع \($20,000\) می باشد. شما نیازی به دانستن درصد ترکیب ندارید، فقط نتیجه اش را در اینجا لازم دارید.
$$ 3{1\over2} \text{ percent }(x)+8\text{ percent }(20,000-x)=970 $$
$$ 0.035(x)+0.08(20,000-x)=970 $$
$$ 0.035x+1,600-0.08x=970 $$
\(1,600\) را از هر دو سمت تفریق کنید و سمت چپ را ساده سازی کنید:
$$ -0.045x=-630 $$
هر دو سمت را بر \(-0.045\) تقسیم کنید، خواهید داشت:
$$ x = 14,000 $$
این یعنی، \($14,000\) در سرمایه گذاری با نرخ \(3{1\over2}\) درصد و \($6,000\) باقیمانده نیز در سرمایه گذاری با نرخ \(8\) درصد سرمایه گذاری شده اند.

مثال: کتی (Kathy) می خواهد هر سال فقط بهره کسب شده بر روی سرمایه گذاری اش را از حسابش برداشت کند. او تصمیم دارد تا پولی را در حسابش بگذارد و پول را آنجا باقی نگهدارد، و فقط بهره بدست آمده را برداشت کند. او می خواهد هر سال \($10,000\) برداشت کرده و خرج کند. اگر او دو سوم از پولش را در جایی با نرخ بهره \(5\) درصد و بقیه پولش را در جایی با نرخ بهره \(7\) درصد سرمایه گذاری کند، او باید چقدر در هر نرخ بهره سرمایه گذاری کند تا بتواند سالی \($10,000\) سود برداشت کرده و خرج کند؟

فرض کنید \(x\) نماینده مجموع مبلغی باشد که کتی نیاز دارد تا سرمایه گذاری کند. در برچسب ظرف اول \(5\) درصد را در بالا و \({2\over3}x\) را در پایین بنویسید. در ظرف دوم \(7\) درصد را در بالا و \({1\over3}x\) را در پایین بنویسید. ظرف سوم، یا ترکیب ما، \($10,000\) در مرکز برچسب دارد، این عدد نتیجه ترکیب درصدها و مجموع مبالغ سرمایه گذاری شده می باشد.
$$ 5\% \biggl({2\over3}x \biggr)+7\% \biggl({1\over3}x \biggr)=10,000 $$
اعداد اعشاری را به کسرها تبدیل کنید و ضربها را انجام بدهید:
$$ 0.05 \biggl( {2\over3}x \biggr) + 0.07 \biggl( {1\over3}x \biggr) = 10,000 $$
$$ {1\over 30}x+{7\over 300}x=10,000 $$
یک مخرج مشترک بین کسرها بیابید و ضریب های \(x\) را با یکدیگر جمع بزنید:
$$ {17 \over 300}x = 10,000 $$
هر سمت را بر \({17\over300}\) تقسیم کنید:
$$ x \approx 176,470.59 $$
کتی به مبلغی بالغ بر \($176,000\) برای سرمایه گذاری نیاز دارد. دو سوم این پول، یعنی در حدود \($117,647\) را باید در حساب با نرخ \(5\) درصد و بقیه را که در حدود \($58,824\) می باشد در نرخ \(7\) درصد سرمایه گذاری کند.

پول (Money)


پول موضوع مورد علاقۀ همه است. پول چیزی است که همه با آن در ارتباط هستند. پول هم نعمت است و هم بلا! هنگامی که پول و جبر را با یکدیگر ترکیب می کنید، باید تعداد سکه ها یا اسکناسها، و ارزش آنها یا واحد پولی آنها را در نظر بگیرید. موقعیت های دیگر درگیر با پول می توانند شامل مبلغ ورودی، قیمت پیتزاهای مختلف در یک سفارش، یا هر کالای دیگر با قیمت متفاوت باشند.

برای اهداف این کتاب، در مثالها از سکه ها و اسکناس های ایالات متحده آمریکا استفاده می شود. من نمی خواهم با درگیر کردن واحد پول سایر کشورها فانتزی بازی در بیاورم.

یادداشت مترجم: برای حل مسأله زیر این اطلاعات را در مورد سکه های ایالات متحده آمریکا در نظر داشته باشید:
  • هر یک دلار یکصد سنت می باشد.
  • هر یک پنی (penny) برابر با یک سنت می باشد.
  • هر یک نیکل (nickel) برابر با پنج سنت می باشد.
  • هر یک دایم (dime) برابر با ده سنت می باشد.
  • هر یک کوارتر (quarter) برابر با بیست و پنج سنت می باشد.

مثال: چلسی (Chelsea) پنج برابر دایم هایش (dimes)، کوارتر (quarters) دارد، سه نیکل (nickels) بیشتر از دایم ها دارد، و دو تا بیشتر از نه برابر دایم هایش پنی (pennies) دارد. اگر او \($15.03\) سکه داشته باشد، چندتا از آنها کوارتر (quarters) هستند؟

ظرفها در اینجا نیز کار می کنند. در اینجا چهار ظرف با یکدیگر ترکیب شده اند: دایم ها، کوارترها، نیکل ها، و پنی ها. کیفیت در اینجا مقدار هر سکه است. در این مسأله تعداد هر کدام از انواع سکه ها به دایم ها ارجاع دارد، بنابراین تعداد دایم ها را با \(x\) نشان می دهیم و همه چیز را با آن مقایسه می کنیم.

اولین ظرف می تواند شامل دایم ها باشد، \(0.10\) را در بالا و \(x\) را در پایین بنویسید. ظرف دوم شامل کوارترها می باشد، \(0.25\) را در بالا و \(5x\) را در پایین بنویسید. ظرف سوم شامل نیکل ها می باشد، \(0.05\) را در بالا و \(x+3\) را در پایین بنویسید. ظرف چهارم شامل پنی ها می باشد، \(0.01\) را در بالا و \(9x-2\) را در پایین بنویسید. برچسب ظرف آخر که نمایانگر ترکیب است برابر با \($15.03\) در وسط آن می باشد.
$$ 0.10(x)+0.25(5x)+0.05(x+3)+0.01(9x-2)=15.03 $$
$$ 0.10x+1.25x+0.05x+0.15+0.09x-0.02=15.03 $$
با ساده سازی عبارت سمت چپ خواهید داشت:
$$ 1.49x + 0.13 = 15.03$$
\(0.13\) را از هر دو سمت تفریق کنید:
$$ 1.49x+14.90 $$
هر دو سمت را بر \(1.49\) تقسیم کنید:
$$ x = 10 $$
از آنجا که \(x\) تعداد دایم ها می باشد، \(10\) دایم داریم، \(5\) برابر آن یعنی \(50\) عدد کوارتر داریم، \(3\) تا بیشتر از دایم ها یعنی \(13\) نیکل داریم، و \(2\) تا کمتر از \(9\) برابر دایم ها، یعنی \(88\) پنی داریم. پرسشی که مسأله پرسیده است اینست که "تعداد کوارترها چقدر می باشد؟" پاسخ \(50\) کوارتر است. از سایر پاسخها صرفاً برای درست آزمایی استفاده کنید.



نویسنده : امیر انصاری

دیدگاه ها(0)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

دوره آموزشی رایگان جبر 1