شما سفر می کنید، من سفر می کنم، هر کسی به سفر می رود، و در یک زمان خاص کسی خواهد پرسید، "آیا بزودی به مقصد می رسیم؟"، جبر نمی تواند پاسخ این سوال را به شما بدهد، اما می تواند به شما کمک کند برآورد کنید چقدر طول می کشد تا به مقصد برسید.





فرمول مسافت (distance formula) که برابر با \(d=rt\) است، بیان می کند که مسافت برابر است با نرخ سرعت ضربدر زمانی که طول می کشد تا از نقطۀ آغاز به مقصد برسیم. شما می توانید این فرمول و تنوع های مختلف آن را برای تعیین چه مدت زمان، چقدر راه، و چقدر سریع به کار ببرید.

محاسبه مسافت بعلاوه مسافت

یکی از پایه ای ترین مسائل مسافت شامل یک شیء است که چندین مسافت را طی می کند، یک شیء دومی مسافت های دیگری را طی می کند، و این مسافت ها با یکدیگر جمع زده می شوند. به عنوان مثال این مسائل می تواند شامل دو پسر بچه باشند که با دو بی سیم اسباب بازی در مسیری برخلاف یکدیگر در حرکت هستند، آنها می خواهند میزان برد بی سیم هایشان را بدانند. مثال دیگری می تواند دو خودرو باشند که دو شهر مختلف را ترک کرده اند و به سمت یکدیگر در مسیری یکسان در حرکتند و شما باید محاسبه کنید آنها چه زمانی به یکدیگر می رسند.

مثال: دئیدره (Deirdre) و داناوان (Donovan) در یک رابطۀ عاشقانه هستند و می خواهند در شهر کنزاس (Kansas) با یکدیگر ازدواج کنند. دئیدره در وسط روز (ساعت \(12\) ظهر) سوار قطار شد و مستقیم به سمت شرق و به سمت شهر کنزاس در حال سفر می باشد. دو ساعت بعد، داناوان سوار یک قطار شد و مستقیم به سمت غرب و همچنین رو به سمت شهر کنزاس، و با سرعت 20 مایل بر ساعت (mph) سریعتر از سرعت دئیدره در حال سفر می باشد. در ساعت \(12\) ظهر آنها \(1,100\) مایل (miles) از هم دور بودند. در ساعت \(9\) بعدازظهر، هر دوی آنها به شهر کنزاس رسیده اند. سرعت آنها چقدر بوده است؟

$$ \text{distance of Deirdre from Kansas City} + \text{distance of Donovan from Kansas City} = 1,100 $$
$$ (\text{rate} × \text{time}) + (\text{rate} × \text{time}) = 1,100 $$

فرض کنید سرعت (rate) قطار دئیدره را با \(r\) نشان بدهیم. قطار داناوان با سرعت \(20\) مایل بر ساعت (mph) سریعتر از قطار دئیدره در حرکت می باشد، بنابراین سرعت قطار داناوان برابر با \(r+20\) خواهد بود.

فرض کنید زمان سفر قطار دئیدره را با \(t\) نشان بدهیم. قطار داناوان دو ساعت بعد از قطار دئیدره راه افتاده است، بنابراین زمان سفر قطار داناوان برابر با \(t-2\) می باشد. این عبارت ها را در معادله اولیه جایگذاری کنید:
$$ rt + (r+20)(t-2) = 1,100 $$
دئیدره در نیمروز (\(12\) ظهر) راه افتاد است و در ساعت \(9\) شب رسیده است، بنابراین خواهیم داشت \(t=9\) . با توجه به اینکه زمان سفر دئیدره \(9\) ساعت بوده است، زمان سفر داناوان \(t-2=7\) خواهد بود. این مقادیر را در معادله جایگذاری کنید:
$$ r(9)+(r+20)(7) = 1,100 $$
اکنون \(7\) را توزیع کنید:
$$ 9r +7r + 140 = 1,100 $$
دو جمله دارای \(r\) را با یکدیگر ترکیب کنید:
$$ 16r=960 $$
هر سمت معادله را بر \(16\) تقسیم کنید:
$$ r = 60 $$
قطار دئیدره با سرعت \(60\) مایل بر ساعت (mph) در حرکت بوده است و قطارداناوان با سرعت \(r+20=80\) مایل بر ساعت در حرکت بوده است.

محاسبه مسافت و سوخت

پسر من جیم (Jim)، وقتی که همراه با تفنگداران دریایی آمریکا در افغانستان مستقر بود، این مسأله را برای من ارسال کرد. او همیشه در مسائل داستانی فوق العاده باهوش بود - آنها را در ذهنش انجام می داد و تمایلی نداشت که کارش را نشان بدهد. او باید به من گوش می داد، زیرا، در انتهای این به اشتراک گذاری مسأله اش، اضافه کرده بود: "فراموش نکن که چگونگی کارت را به من نشان بدهی!"

مثال: یک هلی کوپتر نفربر مدل CH-47 در صورتی که مسافری نداشته باشد، می تواند \(300\) مایل را بپیماید. اگر ظرفیت مسافران آن تکمیل باشد می تواند قبل از اینکه سوختش تمام شود، \(200\) مایل را بپیماید. اگر اردوگاه تانگو (Tango) از اردوگاه سیرا (Sierra) به اندازه \(120\) مایل فاصله داشته باشد، آیا یک CH-47 می تواند به اندازه ظرفیت کامل هلی کوپتر نیروهای ویژه را از اردوگاه تانگو به اردوگاه سیرا برساند، سپس سربازها را پیاده کند، و بدون اینکه سوختش تمام شود به اردوگاه تانگو باز گردد؟ اگر اینطور باشد، چند درصد از سوختش باقی می ماند؟

من برای کار کردن با این مسأله اندکی دست پاچه هستم، زیرا ریسک اشتباه کردن بسیار زیاد است. بنابراین توصیه خودم را رعایت می کنم و یک تصویر می کشم، چند تا سناریو را با اعداد امتحان می کنم، و متغیری را به یک مقدار اختصاص می دهم.

فرض کنیم \(x\) نشان دهنده تعداد گالن های (gallons) سوخت موجود در باک هلی کوپتر باشد، و عباراتی به ازاء میزان مصرف سوخت در هر قسمت از عملیات بنویسیم.

اگر هلی کوپتر پر از مسافر باشد، میتواند با یک باک پر \(200\) مایل را بپیماید. فاصله بین اردوگاه ها \(120\) مایل می باشد، بنابراین هلی کوپتر \( {120 \over 200}x \) گالن سوخت را در مسیر رفت مصرف خواهد کرد.

اگر هلی کوپتر مسافری نداشته باشد، می تواند \(300\) مایل را با یک باک پر بپیماید. بنابراین در مسیر برگشت \( {120 \over 300}x \) گالن سوخت را مصرف خواهد کرد.

با جمع زدن این دو مقدار با یکدیگر، خواهیم داشت:
$$ {120 \over 200}x + {120 \over 300}x = {3 \over 5}x + {2 \over 5}x = {5 \over 5}x = x $$
به نظر می رسد هیچ جایی برای یک سفر کوتاه جانبی دیگر وجود ندارد. و من میزان سوخت مورد نیاز برای بلند شدن و همینطور فرود آمدن را نیز به حساب نیاورده ام. خوشبختانه، یک باک ذخیره در هلی کوپتر وجود دارد.