دایره (circle)، همانطور که شکل 6-18 به شما نشان می دهد، یک شکل بسیار زیبا و کارآمد می باشد، اگر چه استفاده از شکل های دایره ای در ساختمانها همیشه عملی نیست. دایره ها نمی توانند به خوبی به یکدیگر متصل شوند. همیشه بین آنها شکاف هایی وجود خواهد داشت، بنابراین آنها شکل مناسبی برای مزرعه ها، حیاط ها، و یا فضاهایی که با سایر دایره ها مشترک باشند، نیستند. اما با وجود اینکه دایره ها به خوبی به یکدیگر وصل نمی شوند، بسیار مفیدند، اجازه بدهید وضعیتهایی را در نظر بگیریم که شامل مساحت دایره ها باشند: فرشهای گرد، مسیرهای مسابقه گرد، مزارع و استخرهای گرد.






اگر شما شعاع (radius) یا قطر (diameter) یک دایره را بدانید می توانید مساحت آن را تعیین کنید.

مثال: گریس (Grace) تصمیم گرفته است تا به جای استخر معمولی اش که \(12\) فوت قطر دارد، یک استخر پیش ساخته روی زمین با قطر \(18\) فوت را جایگزین کند. این استخر بزرگتر چقدر مساحت بیشتری را نسبت به استخر قبلی در حیاط گریس اشغال می کند؟

مساحت یک دایره با فرمول \(A=\pi r^2\) بدست می آید.

قطر دایره دو برابر شعاع آن می باشد، بنابراین یک استخر با قطر \(18\) فوت دارای شعاع \(9\) فوت می باشد، و استخر دارای قطر \(12\) فوت نیز دارای شعاع \(6\) فوت می باشد.
$$ \text{difference in area} = \text{area of bigger pool } – \text{ area of smaller pool} $$
$$ \text{difference} = \pi(9)^2 – \pi(6)^2 = 81\pi – 36\pi = 45\pi \approx 141.4 \text{ square feet} $$

مثال: اگر مقداری حصار داشته باشید، با شکل دایره می توانید مساحت بیشتری را نسبت به سایر شکل ها محصور کنید. برای اثبات این نظر، اجازه بدهید به شما نشان بدهم که یک حیاط مدور که با \(314\) فوت حصار محصور شده است بزرگتر از یک حیاط مربع شکل که با همان اندازه حصار، محصور گشته است، می باشد.

مساحت یک دایره با فرمول \(A=\pi r^2\) بدست می آید، و مساحت یک مربع با فرمول \(A=s^2\) محاسبه می شود. به نظر می رسد نسبتاً ساده باشد. شما کافیست اختلاف بین این دو مقدار را بدست آورید.
$$ \text{difference} = \text{area of circle } – \text{ area of square} $$

چالش زمانی است که شما به مقدار شعاع دایره یعنی \(r\) و همینطور مقدار یک ضلع مربع یعنی \(s\) نیاز پیدا می کنید. شما مقادیر \(r\) و \(s\) را ندارید. شما فقط مسافت پیرامون این شکلها (یعنی محیط آنها) را در اختیار دارید. و البته برای هر کدام از این شکل ها فرمولی وجود دارد.

محیط یک دایره از فرمول \(C=2\pi r\) محاسبه می شود، و محیط یک مربع با فرمول \(P=4s\) بدست می آید.

اگر محیط دایره \(314\) باشد، سپس \(314=2\pi r\) یا \(r={314 \over 2\pi} \approx 50\) .

بنابراین مساحت دایره برابر است با \(A=\pi 50^2 = 2,500\pi \approx 7,854\) فوت مربع.

محیط یک مربع، صرفاً چهار برابر اندازه یک ضلع آن می باشد. از آنجا که محیط مربع \(314\) است، سپس \(314=4s\) یا \(s=78.5\) . این به این معنا می باشد که مساحت مربع می شود : \(78.5^2=6,162.25\) .
$$ \text{difference} = 7,854 – 6,162.25 = 1,691.75 \text{ square feet} $$
همانطور که می بینید مساحت دایره به میزان قابل توجهی از مساحت مربع بیشتر شد.