خوش آموز اولین و تنها سایت آموزشی %100 رایگان ایران با 6140 آموزش متنی، تصویری و ویدئویی

نمودار خط

نمودار خط

کد مطلب : 4836 PDF

خطها همه جا در دور و بر شما یافت می شوند. خط بیش از یک شکل هندسی است. خطها نمایش دهندۀ خوبی از برخی فعالیتها هستند که دور و بر شما صورت می پذیرند و بر زندگی شما تاثیر می گذارند. فرمول تعیین اینکه چقدر مالیات بر درآمد می پردازید با چند خط نمایش داده می شود. استهلاک کالاها معمولاً با معادله ای از یک خط نمایش داده می شود - و نمودار آن به وضوح کاهش مقادیر را نشان می دهد.

دوره آموزش رایگان ریاضی پایه و جبر

در این فصل، من مبانی کار با خطها و معادلات آنها را به شما ارائه می دهم. شما خطهایی را خواهید یافت که با دو نقطه مشخص شده اند و سپس خطهای دیگری را خواهید یافت که با یک شیب و یک نقطه مشخص شده اند. شما خطهایی را خواهید یافت که همدیگر را ملاقات می کنند و خطهایی که برای همیشه از یکدیگر دوری می گزینند. معادلات خطها کاملاً سرراست هستند.

ترسیم نمودار یک خط


یک خط راست (straight line) تمامی نقاط موجود بر روی یک نمودار است که یک معادله خطی (linear equation) را برآورده می کند. هنگامی که هر دو نقطه دلخواه بر روی یک خط انتخاب گردند، شیب (slope) پاره خط (segment) بین آن دو نقطه همواره عددی یکسان می باشد.

خط ها در زمرۀ ساده ترین و سودمندترین چیزها برای ترسیم نمودار در جبر هستند. شما می توانید از آنها برای نمایش چگونگی رشد درآمدتان یا نمایش اینکه چگونه یک فاصله از یک نقطه تغییر می کند، استفاده کنید. آنها می توانند چگونگی استهلاک یک قطعه از ماشین آلات را نشان بدهند. بنابراین، خطها مفید هستند، و کارکردن با آنها نیز ساده می باشد. چه چیز بیشتری ممکن است بخواهید؟

نقطه هایی که بدون هیچ شکل آشکاری در هر قسمت پراکنده شده اند، معمولاً هیچ معنایی ندارند. در جبر، رایج تر اینست که نقطه ها را به شکل سازمان یافته شده در یک معادله ببینیم که به آنها چیز مشترکی را می دهد. ساده ترین الگو یک خط راست می باشد. آن نقطه ها را به خط کنید!

نقطه های زیر در شکل 1-20 با نمودار ترسیم شده اند:

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
(–2, 12) & (–1, 11)& (0, 10) &(1, 9) &(2, 8) &(3, 7)& (4, 6)& (5, 5) \\ \hline
(6, 4)& (7, 3)& (8, 2)& (9, 1)& (10, 0)& (11, –1) &(12, –2) &(13, –3) \\ \hline
\end{array}
$$
نمودار خط
به جای لیست کردن میلیون ها نقطه که به نظر می رسد همگی در امتداد خط یکسانی قرار بگیرند، شما می توانید یک معادله بنویسید که ارتباط بین نقاط را بیان کند. در مورد شکل 1-20، این ارتباط \(x+y=10\) می باشد. حاصل جمع مختصات هر نقطه \(10\) می شود. اما آنچه که نمودار نشان نمی دهد اینست که مختصات تمامی نقاط اعداد صحیح نمی باشند - نقاطی همچون \( \biggl( 1{1\over2},8{1\over2} \biggr) \) که در این الگو (معادله) می گنجند و بر روی خط قرار می گیرند. با متصل کردن تمامی نقاط برای تشکیل یک خط، شما در واقع تمامی مختصات کسری مابین مختصات اعداد صحیح را نیز در نمودار می گنجانید.

معادلۀ \(x+y=10\) به شما می گوید که هر دو عددی که حاصلجمع آنها \(10\) گردد، یک نقطه بر روی نمودار تولید می کند. این شامل کسرها، اعداد اعشاری، اعداد مثبت، و اعداد منفی می گردد. آنچه که در ابتدا تعداد زیادی نقطه یا مقدار بود که در معادله درست کار می کرد، اکنون بی نهایت نقطه می باشد.

شکل 2-20 به شما نشان می دهد وقتی نقطه ها به یکدیگر متصل می شوند تا یک خط را تشکیل بدهند، چگونه به نظر می رسند.

نمودار خط
برای ترسیم نمودار یک خط، شما فقط به دو نقطه نیاز دارید. یک قانون در هندسه می گوید فقط یک خط می تواند از دو نقطۀ مشخص عبور کند. با وجود اینکه برای ترسیم نمودار یک خط فقط دو نقطه مورد نیاز است، معمولاً یک ایده خوب اینست که حداقل سه نقطه را مشخص سازید تا مطمئن شوید نمودار خط را به درستی کشیده اید.

نکته: در ترسیم نمودار، سه خیلی بهتر از دو است. اگر شما یکی از دو نقطه را در محل اشتباهی روی نمودار قرار داده باشید، احتمالاً متوجه نخواهید شد که خط اشتباهی را ترسیم کرده اید. اما اگر یکی از سه نقطه را در محل اشتباهی قرار بدهید، احتمال اینکه متوجه بشوید خطی که ترسیم کرده اید راست نیست، خیلی بیشتر است. ترسیم سه نقطه یک درست آزمایی خوب است.

ترسیم نمودار معادله یک خط


به یک معادله که نمودارش یک خط راست باشد، خطی (linear) گفته می شود. یک معادله خطی شکل استاندارد \(ax+by=c\) را دارد، که در آن \(x\) و \(y\) متغیر هستند و \(a,b,c\) اعداد حقیقی می باشند. معادله یک خط معمولاً یکی از دو مقدار \(x\) یا \(y\) (معمولاً هر دو)، را دارد که به تمامی نقاط \( (x,y) \) که معادله برقرار می سازند، اشاره دارد. \(x\) و \(y\) هر دو توانی از \(1\) دارند. (اگر توان متغیرها بیش از یا کمتر از \(1\) باشد، نمودار حاصله یک منحنی خواهد شد.)

در هنگام ترسیم نمودار یک خط، شما می توانید چند جفت از اعداد را پیدا کنید که معادله را برقرار می سازند و سپس آنها را به یکدیگر متصل کنید. نقطه ها را به هم وصل کنید.

معادله یک خط شبیه چیست؟ شبیه هر کدام از مثالهای زیر می باشد. توجه داشته باشید که سه معادله اول در شکل استاندارد نوشته شده اند، و معادله چهارم برای \(y\) حل شده است. دو معادله آخر فقط دارای یک متغیر می باشند، این وضعیت در مورد خطوط عمودی و افقی رخ می دهد.
$$
\begin{array}{|c|c|c|} \hline
x+y=10 & 2x+3y=4 & -5x+y=7 \\ \hline
y={1\over2}x+3 & x=3 & y=-2 \\ \hline
\end{array}
$$
نکات فنی: هرگاه که معادله ای داشته باشید که در آن \(y\) برابر با یک مقدار ثابت باشد، شما یک خط افقی خواهید داشت که از بین تمامی آن مقادیر \(y\) عبور می کند. در مقابل، اگر معادله ای داشته باشید که در آن \(x\) برابر با یک عدد ثابت باشد، تمامی مقادیر \(x\) یکسان خواهند بود و شما یک خط عمودی خواهید داشت. خطوط افقی همگی با محور \(x\) موازی هستند. معادلات آنها شبیه \(y=3\) یا \(y=-2\) می باشد. خطوط عمودی همگی با محور \(y\) موازی هستند. معادلات آنها شبیه \(x=5\) یا \(x=-11\) می باشد. شکل 3-20 نموداری از معادله \(y=4\) را با استفاده از چهار نقطۀ \( (-4,4),(0,4),(1,4),(3,4) \) نشان می دهد.

نمودار خط
ترسیم نمودار خطها از روی معادلۀ آنها فقط به اندازۀ پیدا کردن نقاط کافی بر روی خط تا شما را متقاعد کند که شما نمودار را به درستی ترسیم کرده اید، طول می کشد.

مثال: یک نقطه بر روی خط \(x-y=3\) پیدا کنید.

  1. یک مقدار تصادفی برای یکی از متغیرها انتخاب کنید، خواه \(x\) باشد خواه \(y\) تفاوتی نمی کند.
    برای اینکه عملیات حسابی برای شما ساده شود، یک عدد به اندازه کافی بزرگ انتخاب کنید به طوری که هنگامیکه \(y\) رااز آن عدد تفریق کنید، به یک عدد \(3\) مثبت برسید. در معادله \(x-y=3\) ، شما می توانید اینطور فرض کنید که \(x=8\) ،بنابراین \(8-y=3\) .

  2. معادله را برای بدست آوردن مقدار متغیر دیگر حل کنید.
    \(8\) را از هر دو سمت معادله تفریق کنید تا به \(-y=-5\) برسید.
    هر سمت را بر \(-1\) ضرب کنید تا به \(y=5\) برسید.
    یادتان باشد: شما می توانید ظاهر معادله را بدون اینکه نمودار خط آن تغییر کند با ضرب کردن یا تقسیم کردن هر دو سمت بر \(-1\) تغییر بدهید. (برای مرور در مورد چگونگی حل کردن معادلات خطی می توانید به فصل 12 مراجعه کنید.)

  3. یک جفت مرتب برای مختصات نقطه بنویسید.
    شما \(8\) را برای \(x\) انتخاب کردید و معادله را به نحوی حل کردید که به \(y=5\) برسید، بنابراین اولین جفت مرتب شما \( (8,5) \) می باشد.

شما می توانید جفت های مرتب بیشتری را با انتخاب اعداد دیگری برای جایگزینی در \(x\) یا \(y\) بیابید.

برای چالش بیشتر، نقاطی را بیابید که روی یک خط می افتند و در آنها ضریب های \(x\) و \(y\) غیر از \(1\) می باشند. ضریب های (\(2\) و \(3\) در مثال بعدی) این مسأله را کمی پیچیده تر می کنند. شما ممکن است یک یا دو نقطه را نسبتاً آسان پیدا کنید، اما بقیه نقاط به دلیل کسرها، سخت تر خواهند شد. یک نقشه خوب در مواردی شبیه این، اینست که معادله را برای \(x\) یا \(y\) حل کنید و سپس اعداد را در آن جایگذاری کنید.

مثال: نقاطی را پیدا کنید که بر روی خط \(2x+3y=12\) قرار می گیرند.

  1. معادله را برای یکی از متغیرها حل کنید.
    حل کردن مسأله \(2x+3y=12\) برای \(y\) به شما نتیجۀ \(3y=12-2x\) را می دهد.
    $$ y = {12-2x \over 3} $$
    با درگیر کردن ضریب ها معمولاً به یک کسر می رسید.

  2. مقداری را برای متغیر دیگر انتخاب کنید و معادله را حل کنید.
    سعی کنید مقادیری را انتخاب کنید که نتیجه صورت کسر بر روی مخرج آن یعنی \(3\) بخش پذیر باشد - به شما عدد صحیحی را به عنوان نتیجه نهایی بدهد.
    برای مثال، فرض کنید \(x=3\) . معادله را حل کنید:
    $$ y= {12-2 \cdot 3 \over 3}={6 \over 3}=2 $$
    بنابراین، نقطه \( (3,2) \) بر روی خط می افتد.

پیدا کردن نقاطی که بر روی خط \(x=4\) قرار می گیرند ممکن است یک مسأله واقعاً سخت به نظر برسد، چرا که فقط \(x\) در معادله نشان داده شده است. اما حقیقت اینست که این مسأله را به شدت ساده می کند. زیرا شما می توانید هر مقداری را به جای \(y\) بنویسید، زیرا \(x\) در هر صورت همواره برابر با \(4\) می باشد و تغییری نمی کند. برخی از این نقاط را در ادامه می بینید:
$$ (4, 9), (4, –2), (4, 0), (4, 3.16), (4, –11), (4, 4) $$
یادتان باشد: توجه داشته باشید که \(4\) همیشه اولین عدد می باشد. نقطه \( (4,9) \) با نقطه \( (9,4) \) یکسان نمی باشد. در جفت های مرتب (ordered pairs)، ترتیب قرار گیری اعداد حائز اهمیت می باشد.

ترسیم نمودار این نقاط، همانطور که در شکل 4-20 می بینید، به شما یک خط زیبای عمودی را می دهد. از سوی دیگر، اگر تمامی نقاط \(y\) دارای مختصات یکسان باشند، خط افقی خواهد بود.

نمودار خط




نویسنده : امیر انصاری

دیدگاه ها(0)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

لطفا پیش از ارسال دیدگاه ، به نکات زیر توجه فرمایید :

- از نوشتن دیدگاه های غیر مرتبط با پست جدا خودداری کنید.
- لطفاً دیدگاه های خود را با حروف فارسی تایپ کنید، دیدگاه های فینگیلیش تایید نمی شوند.
- قبل از ارسال دیدگاه حتما متن پست و نظرات سایر دوستان را بخوانید . نظرات اسپم و تکراری تایید نخواهند شد.
- نظر شما ممکن است بدون پاسخ تایید شوند که در این صورت باید منتظر پاسخ از سوی دیگر کاربران باشید .
- لطفا انتقادات و پیشنهادات و همچنین درخواست های خود را از طریق ایمیل khoshamoz[at].hotmail.com ارسال نمایید
- چرا آموزش های سایت خوش آموز در قالب فایل pdf به صورت یکجا ارائه نمی شوند؟
- چرا برخی پرسش های کاربران پاسخ داده نمی شوند؟

دوره آموزشی رایگان جبر 1