خوش آموز اولین و تنها سایت آموزشی %100 رایگان ایران با 5177 آموزش متنی، تصویری و ویدئویی

خلاصه ویژگی های جبری (Algebra Properties)

خلاصه ویژگی های جبری (Algebra Properties)

کد مطلب : 4866 PDF

جبر (Algebra) شاخه ای از ریاضیات است که مردم قبل از اینکه به سایر رشته ها یا شاخه های ریاضی و علمی بروند، مطالعه اش می کنند. برای مثال، شما از فرآیندها و روش های جبر در حسابان (calculus) برای تکمیل مطالعه تغییرات استفاده می کنید. شما از جبر در احتمالات (probability) و آمار (statistics) برای مطالعه میانگین ها و انتظارات استفاده می کنید. و از جبر در علم شیمی (chemistry) برای کار کردن بر روی تعادل بین مواد شیمیایی استفاده می کنید. جبر به خودی خود زیبا و خوش آیند می باشد، اما بهار زندگی اش زمانی آغاز می شود که در سایر کاربردها مورد استفاده قرار گیرد.

دوره آموزش رایگان ریاضی پایه و جبر

هر مطالعه ای از علم یا ریاضیات با قوانین و الگوها درگیر می باشد. شما با قوانین و الگوهایی که تا کنون می دانید به موضوع نزدیک می شود، و با مطالعه بیشتر خودتان آن قوانین را می سازید. پاداش شما اینست که افق های جدیدی پیش روی شما باز می شوند.

هر مبحثی در جبر فرض می کند که شما از نمادهای صحیح و اصطلاحات فنی آن استفاده می کنید. جبر 1 با ترکیب کردن صحیح جملات، انجام عملیات بر روی اعداد منفی، و برخورد با توان ها در یک روش سازمان یافته، آغاز شد. شما همچنین انواع ساده ای از معادلات خطی و معادلات درجه دوم را حل نمودید. در جبر 2 به انواع دیگری از توابع (functions)، همچون توابع نمائی (exponential functions) و توابع لگاریتمی (logarithmic functions)، و موضوعات دیگری که به عنوان سکوی پرتابی برای سایر دوره های ریاضی عمل می کنند، پرداخته می شود.

یادتان باشد: شما می توانید هر مبحثی در جبر را (در هر سطحی) بدین شکل توصیف کنید: ساده سازی (simplify)، حل کردن (solve)، و برقراری ارتباط (communicate).

با اندکی بیشتر وارد جزئیات شدن، مبانی جبر شامل قوانینی برای کنار آمدن با معادلات، قوانینی برای استفاده و ترکیب جملات دارای توان، الگوهایی برای فاکتورگیری عبارات، و یک ترتیب عمومی برای ترکیب تمامی این موارد، می باشند. در این فصل، من این مبانی را ارائه می دهم تا شما بتوانید مطالعاتتان در جبر را بیشتر کنید و در تواناییهای جبری تان اعتماد به نفس پیدا کنید. هر زمان که لازم باشد می توانید مجدداً به این قوانین مراجعه کنید تا اطلاعات برای شما تازه سازی گردد.

خلاصه ای از ویژگی های جبری


ریاضیدانان قوانین و ویژگی هایی را برای استفاده در جبر توسعه داده اند تا هر دانش آمور، محقق، دانش پژوه کنجکاو، و ... که بر روی مسأله یکسانی کار می کنند، صرفنظر از زمان و مکان، به پاسخ یکسانی برسند. شما نمی خواهید که قوانین برای شما هر روز تغییر کنند (و البته من هم نمی خواهم که مجبور باشم هر سال کتاب جدیدی بنویسم!)، شما ثبات و امنیت می خواهید، که با قوانین و ویژگی های محکم جبری که در این بخش ارائه خواهم کرد، به آن دست پیدا می کنید.

ویژگی جابجایی پذیری (commutative property)


قوانین جبر: ویژگی جابجایی پذیری بر روی عملیات های جمع و ضرب بکار می رود. این ویژگی بیان می دارد که می توانید در این عملیات ها ترتیب مقادیر را بدون اینکه نتیجه نهایی تغییری داشته باشد، تغییر بدهید:
$$
a+b = b+a \\
a \cdot b = b \cdot a
$$
اگر شما \(2\) را با \(3\) جمع برنید، \(5\) را بدست می آورید. اگر شما \(3\) را با \(2\) جمع بزنید، هنوز هم پاسخ \(5\) است. اگر \(2\) را در \(3\) ضرب کنید، حاصل \(6\) می شود. اگر \(3\) را در \(2\) ضرب کنید، باز هم پاسخ \(6\) خواهد شد.

عبارتهای جبری معمولاً در یک ترتیب خاص ظاهر می شوند، که در هنگام کار با متغیرها و ضریب ها سودمند می باشند. قسمت عددی در ابتدا می آید، و در ادامه آن حروف الفبا به ترتیب الفبایی آنها می آیند. اما زیبایی ویژگی جایجایی پذیری اینست که \(2xyz\) با \(x2zy\) یکسان می باشد. شما هیچ دلیل خوبی برای اینکه دومین عبارت را به این شکل در هم و بر هم بنویسید ندارید، اما اینکه بدانید هر جا که لازم باشد می توانید ترتیب آنها را تغییر بدهید سودمند است.

ویژگی شرکت پذیری (associative property)


قوانین جبر: مشابه ویژگی جابجایی پذیری، ویژگی شرکت پذیری نیز فقط بر روی عملیات های جمع و ضرب بکار می رود. ویژگی شرکت پذیری بیان می دارد که شما می توانید گروه بندی عملیات را تغییر بدهید، بدون اینکه بر نتیجه عملیات تاثیری داشته باشد:
$$
a+ (b+c)=(a+b)+c \\
a(b \cdot c) = (a \cdot b)c
$$
شما می توانید در هنگام ساده سازی عبارات از ویژگی شرکت پذیری در جمع یا ضرب به نفع خودتان استفاده کنید. و اگر در هر جایی که لازم باشد ویژگی جابجایی پذیری را نیز به آن اضافه کنید، ترکیب قدرتمندی را در اختیار خواهید داشت. برای مثال، هنگام ساده سازی عبارت \( (x+14)+(3x+6) \) می توانید با حذف پرانتزها آغاز کنید (با تشکر از ویژگی شرکت پذیری). سپس با استفاده از ویژگی جابجایی پذیری جمع، جای دو جمله میانی را با هم تعویض می کنید. با دوباره مشارکت دادن جملات با پرانتزها و ترکیب جملات مشابه، کار را خاتمه می دهید:
$$
(x+14)+(3x+6) \\
= x+14+3x+6 \\
=x+3x+14+6 \\
=(x+3x)+(14+6) \\
=4x+20
$$
مراحل فرایند قبلی جزئیات خیلی بیشتری نسبت به آنچه که واقعاً نیاز دارید، دارد. شما احتمالاً همان اول که مسأله را ارائه دادم در ذهنتان حلش کردید. من تعمداً این فرآیندها را ذکر کردم تا شما چگونگی کار کرد ویژگی جابجایی پذیری و شرکت پذیری را با هم ببینید. حالا می توانید آنها را بر روی وضعیت های خیلی پیچیده تر اِعمال کنید.

ویژگی توزیع (distributive property)


قوانین جبر: ویژگی توزیع (distributive property) بیان می دارد شما می توانید در هر عبارت، ضریب بیرون پرانتز را در مقادیر داخل پرانتز ضرب کنید و مقدار عبارت تحت تاثیر قرار نگیرد. توزیع یک عملیات دارد و آن هم ضرب است، و طی این عملیات ضریب بیرون پرانتز در تک تک جملات داخل پرانتز ضرب می شود:
$$
a(b + c) = a \cdot b + a \cdot c \\
a(b - c) = a \cdot b - a \cdot c
$$
برای مثال، شما می توانید از ویژگی توزیع در مسأله \(12 \biggl( {1\over2}+{2\over3}-{3\over4} \biggr)\) استفاده کنید تا زندگیتان آسانتر گردد. شما \(12\) را بر روی کسرها با ضرب کردن هر کسر در \(12\)
توزیع می کنید و سپس نتایج را با هم ترکیب می نمایید:
$$
\require{cancel}
12 \biggl( {1\over2}+{2\over3}-{3\over4} \biggr) \\
=12 \cdot {1\over2}+12 \cdot {2\over3}-12 \cdot {3\over4} \\
=^6\cancel{12} \cdot {1\over \cancel{2}_1}+^4\cancel{12} \cdot {2\over \cancel{3}_1}-^3\cancel{12} \cdot {3\over \cancel{4}_1} \\
=6+8-9 \\
=5
$$
پیدا کردن پاسخ با ویژگی توزیع بسیار آسانتر از تبدیل تمامی کسرها به کسر معادلشان با مخرج مشترک \(12\) ، ترکیب آنها با یکدیگر، و سپس ضرب کردن آنها در \(12\) می باشد.

نکته: شما می توانید از ویژگی توزیع برای ساده سازی معادلات استفاده کنید، به عبارت دیگر می توانید آنها را برای حل کردن آماده کنید. همچنین هنگامی که عبارتها را فاکتورگیری می کنید، معکوس ویژگی توزیع را انجام می دهید.

بررسی یک اتحاد جبری


قوانین جبر: اعداد صفر و یک، به عنوان اتحادها، در جبر وظیفۀ خاصی دارند. شما از اتحادها (identities) در جبر به هنگام حل کردن معادلات و ساده سازی عبارات استفاده می کنید. شما نیاز دارید تا یک عبارت را با مقدار یکسانی برابر نگهدارید، اما قالب آن را تغییر بدهید، بنابراین از یک اتحاد به نحوی استفاده می کنید:
عضو خنثی در جمع (additive identity) صفر می باشد. افزودن \(0\) به یک عدد مقدار آن عدد را تغییر نمی دهد. آن عدد به همان شکل باقی می ماند.
$$ a + 0 = 0 + a = a $$
عضو خنثی ضربی (multiplicative identity) یک می باشد. ضرب کردن یک عدد در \(1\) مقدار آن را تغییر نمی دهد. آن عدد به همان شکل باقی می ماند.
$$a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$$

به کار بردن عضو خنثی در جمع (additive identity)


یک وضعیت که نیازمند استفاده از عضو خنثی در جمع (additive identity) می باشد، زمانی است که می خواهید قالب یک عبارت را تغییر بدهید تا بتوانید آن را فاکتور گیری نمایید. برای مثال، عبارت \(x^2+6x\) را در نظر بگیرید و \(0\) را به آن اضافه کنید. عبارت \(x^2+6x+0\) را بدست می آورید، که کار زیادی را برای شما انجام نمی دهد (یا برای من، در همین ارتباط). اما اگر آن \(0\) را با \(9\) و همینطور \(-9\) جایگزین کنیم، چطور؟ حالا دارید \(x^2+6x+9-9\) ، که می توانید آن را به شکل \( (x^2+6x+9)-9 \) بنویسید و به \( (x+3)^2-9 \) فاکتور گیری کنید. آخه چرا باید این کار را بکنید؟ در فصل 11 دلیلش را خواهید دانست. با افزودن و همینطور تفریق \(9\) ، نتیجه \(0\) می شود، این یعنی به کار بردن عضو خنثی در جمع.

به کار گیری عضو خنثی ضربی (multiplicative identity)


شما از عضو خنثی ضربی در هنگام کار با کسرها به طور گسترده استفاده می کنید. هر زمانی که کسرها را با مخرج مشترک بازنویسی می کنید، در واقع آنها را در یک ضرب می کنید. برای مثال، اگر بخواهید کسر \(7 \over 2x\) دارای مخرج \(6x\) شود، صورت و مخرج کسر، هر دو را در \(3\) ضرب می کنید:
$$ {7\over2x} \cdot {3\over3}={21 \over 6x} $$

معکوس ها (inverses)


شما با دو نوع معکوس (inverses) در جبر مواجه می شوید: قرینه ها (additive inverses) و وارون های ضربی (multiplicative inverses). قرینه (عضو معکوس در جمع) با عضو خنثی در جمع مطابقت می کند، و وارون ضربی (معکوس ضربی) با عضو خنثی ضربی مطابقت می کند. قرینه با صفر مرتبط است و وارون ضربی به یک مرتبط است.

قوانین جبر: حاصل جمع هر عدد با قرینه آن صفر می شود. حاصل ضرب هر عدد در وارون ضربی آن یک می شود. برای مثال، \(-3\) و \(3\) قرینه یکدیگر می باشند. وارون ضربی \(-3\) برابر با \(-{1\over3}\) می باشد. معکوس ها زمانی که شما مشغول حل کردن معادلات هستید و می خواهید متغیرها را منزوی کنید، وارد بازی بزرگ می شوند. شما از معکوس ها استفاده می کنید تا حاصل جمع ها را به صفر برسانید، یا آنها را در معکوس ها ضرب کنید و یه یک برسید.



نویسنده : امیر انصاری

دیدگاه ها(0)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

دوره آموزشی رایگان جبر 2