قوانین کار با توانها (Exponential Rules)

چند صد سال پیش، ریاضیدانان توان های متغیرها و اعداد را معرفی کردند که به آنها توان (exponent) گفته می شود. با اینحال، استفاده از توان ها فوراً رایج نشد. دانشمندان سراسر جهان باید متقاعد می شدند. در نهایت نماد چابک و جذاب توان توانست همه را متقاعد کند، و امروزه ما از آن بهره مند باشیم. به جای نوشتن $xxxxxxxx$ ، شما می توانید با استفاده از توان $8$ آن را به شکل $x^8$ بنویسید. این شکل هم ساده تر خوانده می شود و هم خیلی سریعتر است.

یادتان باشد: عبارت $a^n$ یک عبارت توان دار (عبارت نمایی) می باشد که پایه (base) آن $a$ می باشد و توان آن $n$ است. $n$ به شما می گوید که $a$ چند مرتبه در خودش ضرب شده است.

شما از رادیکال ها (radicals) برای نمایش ریشه ها (roots) استفاده می کنید. هنگامی که $\sqrt{16}$ را می بینید، می دانید که باید به دنبال عددی باشید که اگر در خودش ضرب شود نتیجه $16$ می شود. پاسخ چهار است. اگر شما یک عدد کوچک به صورت بالانویس قبل از نماد رادیکال قرار بدهید، شما ریشه سوم (مکعب)، ریشه چهارم، و ... را نشان می دهید. برای مثال، $\sqrt[4]{81}=3$ ، زیرا عدد $3$ چهار بار در خودش ضرب می شود تا نتیجه $81$ گردد. شما همچنین می توانید رادیکال ها را با توان های کسری نمایش بدهید. توان های کسری ترکیب کردن رادیکال ها با سایر جملات را ساده تر می کنند. این سیستم از توان ها بسیار نظام مند و کارآمد است. با تشکر از ریاضیدانانی که قبل از ما بوده اند.

ضرب و تقسیم توان ها

قوانین جبری: اگر دو عدد یا متغیر دارای پایه یکسانی باشند، شما می توانید آن اعداد یا متغیرها را با جمع زدن یا تفریق کردن توان هایشان، ضرب یا تقسیم کنید:

$a^m \cdot a^n=a^{m+n}$ : هنگامی که اعداد دارای پایه یکسان را در یکدیگر ضرب می کنید، توان ها را با هم جمع می زنید.
$ {a^m \over a^n }= a^{m-n} $ : هنگامی که اعداد دارای پایه یکسان را در یکدیگر تقسیم می کنید، توان ها را از یکدیگر تفریق می کنید (توان صورت کسر منهای توان مخرج کسر می شود).

برای مثال، برای ضرب کردن $x^4 \cdot x^5$ ، شما توانها را با هم جمع می زنید: $x^{4+5}=x^9$ . وقتیکه $x^8$ را بر $x^5$ تقسیم می کنید، توانها را از هم تفریق می کنید: $ {x^8 \over x^5}=x^{8-5}=x^3 $ .

شما باید اطمینان حاصل کنید که پایه عبارتها یکسان باشند. شما می توانید $3^2$ و $3^4$ را با یکدیگر ترکیب کنید، اما نمی توانید قوانین توانها را بر روی $3^2$ و $4^3$ به کار برید.

رسیدن به ریشه توانها

قوانین جبر: عبارتهای رادیکال، همچون ریشه دوم (ریشه مربع)، ریشه سوم (ریشه مکعب)، ریشه چهارم، و .... ، با یک نماد رادیکال نشان داده می شوند. روش دیگر برای نوشتن این عبارتها استفاده از یک توان کسری (fractional exponent) می باشد. اگر به جای رادیکال از شکل توان کسری استفاده کنید، برای ترکیب کردن متغیرهای دارای پایه یکسان، کار ساده تری خواهید داشت:

$ \sqrt[n]{x}=x^{1 \over n}$ : ریشه در مخرج توان کسری قرار می گیرد.
$ \sqrt[n]{x^m}=x^{m \over n}$ : ریشه در مخرج توان کسری قرار می گیرد، و توان در صورت کسر قرار می گیرد.

بنابراین، شما می توانید بگویید $ \sqrt{x}=x^{1 \over 2}$ ، $ \sqrt[3]{x}=x^{1 \over 3}$ ، $ \sqrt[4]{x}=x^{1 \over 4}$ ، و به همین ترتیب، همراه با $ \sqrt[5]{x^3}=x^{3 \over 5}$ .
برای ساده سازی یک عبارت رادیکال همچون $ {\sqrt[4]{x}\sqrt[6]{x^{11}} \over \sqrt[2]{x^3}} $ ، رادیکال ها را به توانها تبدیل می کنید و قوانین ضرب و تقسیم مقادیر دارای پایه یکسان را بر روی آنها اعمال می نمایید:
$$
{\sqrt[4]{x}\sqrt[6]{x^{11}} \over \sqrt[2]{x^3}} = {x^{1\over4} \cdot x^{11\over6} \over x^{3\over2}} \\
= {x^{{1\over4}+{11\over6}} \over x^{3\over2}} = {x^{{3\over12}+{22\over12}} \over x^{18\over12}} \\
= {x^{25\over12} \over x^{18\over12}} = x^{{25\over12}-{18\over12}} \\
=x^{7\over12}
$$

افزایش یا کاهش ریشه با توان ها

قوانین جبر: شما اعداد یا متغیرها را با توان ها به توان بالاتر می رسانید یا با ریشه ها به توان پایینتری می رسانید. هنگامی که یک عدد توان دار را به توان دیگری می رسانید، توان ها را در یکدیگر ضرب می کنید. هنگام گرفتن ریشه یک توان، توان ها را تقسیم می کنید:

$ (a^m)^n = a^{m \cdot n}$ : با ضرب کردن توان ها در یکدیگر، یک توان را به توان دیگری برسانید.
$ \sqrt[m]{a^n} = (a^n)^{1\over m}=a^{n\over m} $ : در هنگام ریشه گیری، با تقسیم کردن توان ها، توان را کاهش بدهید.

قانون دوم ممکن است آشنا به نظر برسد، این یکی از قوانینی است که بر تبدیل رادیکال ها به توان های کسری حکومت می کند (در فصل 4 در ارتباط با رادیکال ها و توان های کسری جزئیات بیشتری را مطرح خواهیم کرد).

در اینجا مثالی از چگونگی به کار بردن هر دوی این قوانین در هنگام ساده سازی یک عبارت می بینید:
$$ \sqrt[3]{ (x^4)^6 \cdot x^9 } = \sqrt[3]{ x^{24} \cdot x^9 } = \sqrt[3]{ x^{33} } = x^{33\over3}=x^{11} $$

توان های منفی (negative exponents)

قوانین جبر: شما از یک توان منفی استفاده می کنید تا نشان دهید که یک عدد یا متغیر به مخرج کسر در یک جمله تعلق دارد:
$$
a^{-1}={1\over a} \\
a^{-n} = {1\over a^n}
$$

نوشتن متغیرها با توان منفی به شما امکان می دهد تا آن متغیرها را با سایر فاکتورهایی که دارای پایه مشترکی هستند، ترکیب کنند. برای مثال، اگر عبارت $ {1\over x^4} \cdot x^7 \cdot {3\over x} $ را داشته باشید، می توانید با قوانین توان های منفی این عبارت را بازنویسی کنید و سپس با استفاده از قوانین ضرب فاکتورهای دارای پایه یکسان عبارت را ساده سازی کنید:
$$ {1 \over x^4} \cdot x^7 \cdot {3\over x} = x^{-4} \cdot x^7 \cdot 3x^{-1} = 3x^{-4+7-1}=3x^2 $$

آموزش قبلی صفحۀ اصلی دوره آموزش بعدی