در واژۀ linear (خطی) کلمه line (خط) وجود دارد، و واضح ترین ارتباط بین این دو در اینست که شما می توانید بسیاری از معادلات خطی را به شکل نمودارهایی از خطها ترسیم کنید. اما عبارتهای خطی (linear expressions) می توانند در بسته بندی های مختلفی و نه فقط به شکل معادلات یا خطها، ارائه شوند. یک یا دو عملیات دلخواه را اضافه کنید، چندین عبارت درجه اول را در کنار هم قرار بدهید، چند ارتباط سرگرم کننده را بیفزایید، و شما می توانید انواع چالش های خلاقانه ریاضی را بسازید. در این فصل، شما چگونگی برخورد کردن با معادلات خطی، اینکه با پاسخهای نامساوی های خطی چه کار باید بکنید، و چگونگی بازنویسی معادلات و نامعادلات (نامساوی ها) خطی قدر مطلق به نحوی که قابل حل باشند را خواهید دانست.

معادلات خطی: مدیریت درجه اول (First Degree)

معادلات خطی متغیرهایی را نشان می دهند که فقط به درجه اول رسیده باشند، به این معنی که بالاترین توان هر متغیری که شما معادله را برای پیدا کردن آن حل می کنید یک می باشد. شکل عمومی یک معادله خطی با یک متغیر به این صورت می باشد:
$$ax+b=c$$
تک متغیر ما در اینجا \(x\) می باشد. (در فصل 12 می توانید معادلات خطی با دو یا چند متغیر را ببینید.) اما مهم نیست شما چند متغیر را در معادله می بینید، قالب عمومی معادلات خطی اینست که هر متغیر تنها یک پاسخ یا مقدار دارد که در معادله درست کار می کند.

نمودار یک پاسخ واحد، اگر واقعاً قصد ترسیم نمودارش را داشته باشید، یک نقطه بر روی خط اعداد (محور اعداد) می باشد که پاسخ معادله است. هنگامی که شما ریسک وجود دو متغیر در یک معادله خطی را می پذیرید، نمودار تمامی پاسخها (که بی نهایت می باشند) یک خط مستقیم می شود. هر نقطه ای بر روی خط یک پاسخ می باشد. سه متغیر به این معنا می باشد که شما یک صفحه (plane) دارید (صفحه یک سطح تخت می باشد).

معادلات خطی ساده

برای مثال، شما معادله \(4x-7=21\) را با افزودن \(7\) به هر دو سمت معادله، جهت منزوی کردن متغیر و ضریب آن، حل می کنید. و سپس هر سمت را بر \(4\) تقسیم می کنید تا متغیر با خودش در یک سمت تنها بماند (منزوی شود):
$$ 4x-7+7=21+7 \to 4x=28 \\
4x \div 4 = 28 \div 4 \to x=7 $$
وقتیکه یک معادله خطی دارای نمادهای گروه بندی مثل پرانتز، کروشه، یا آکولاد باشد، شما ابتدا توزیع را در نمادهای گروه بندی انجام می دهید و سپس به منزوی کردن متغیر می پردازید. برای مثال، برای حل کردن معادله \( 5x – [3(x + 2) – 4(5 – 2x) + 6] = 20 \) ، شما ابتدا \(3\) و \(-4\) را در داخل کروشه ها توزیع کنید:
$$ 5x - [3(x + 2) - 4(5 - 2x) + 6] = 20 \\
5x - [3x + 6 - 20 + 8x + 6] = 20 $$
سپس جملاتی که با یکدیگر قابل ترکیب شدن هستند را ترکیب می کنید و علامت منفی \( (-) \) در مقابل کروشه را توزیع می کنید، توزیع علامت منفی مشابه ضرب کردن در \(-1\) می باشد:
$$ 5x-[11x-8]=20 \\
5x-11x+8=20 $$
دوباره ساده سازی کنید و می توانید معادله را برای \(x\) حل کنید:
$$ -6x+8 = 20 \\
-6x=12 \\
x=-2 $$

برای درست آزمایی پاسخ بدست آمده در مثال قبلی، در معادلۀ اصلی هر \(x\) را با \(-2\) جایگزین کنید. اگر چنین کنید، یک گزاره صحیح را بدست خواهید آورد. در این مورد، شما به گزارۀ \(20=20\) خواهید رسید. پاسخ \(-2\) تنها پاسخی است که در این معادله درست کار خواهد کرد، تمرکز کردن کار شما صرفاً بر روی یک پاسخ یکی از زیباییهای معادلات خطی می باشد.

پاک کردن کسرها

مشکل کسرها اینست که مثل گربه ها کنار آمدن با آنها آسان نمی باشد. آنها همواره بر روش خودشان اصرار می ورزند، و شما را مجبور می کنند تا قبل از جمع و تفریقشان مخرج مشترک بگیرید.


به عنوان مثال، برای حل کردن \( {x+2 \over 5}+{4x+2 \over 7}={9-x \over 2} \) شما هر جمله از معادله را در \(70\) که کوچکترین مخرج مشترک بین هر سه کسر یعنی سه عدد \(5,7,2\) می باشد، ضرب می کنید:
$$
\require{cancel}
^{14} \cancel{70} \biggl( {x+2 \over \cancel{5}_1} \biggr) + ^{10}\cancel{70} \biggl({4x+2 \over \cancel{7}_1} \biggr) = ^{35}\cancel{70}\biggl( {9-x \over \cancel{2}_1} \biggr)
$$
اکنون شما اعداد کاهش یافته را بر روی هر پرانتز توزیع می کنید، سپس جملات مشابه را با یکدیگر ترکیب کرده و مسأله را برای \(x\) حل می کنید:
$$
14(x+2)+10(4x+2)=35(9-x) \\
14x+28+40x+20=315-35x \\
54x+48=315-35x \\
89x=267 \\
x=3
$$

جداسازی مجهول های مختلف

هنگامی که در یک معادله فقط یک متغیر می بینید، یک ایده کاملاً روشن از چیزی که معادله را برای آن حل می کنید، دارید. هنگامی که معادله ای شبیه \(4x+2=11\) یا \(5(3z-11)+4z=15(8+z)\) دارید، تنها متغیر معادله را شناسایی کرده و شروع به حل معادله برای بدست آوردن مقدار آن متغیر می کنید.

با این وجود، زندگی همیشه به سادگی معادلات تک متغیری نمی باشد. قادر بودن به حل کردن معادلاتی که دارای بیش از یک مجهول می باشند می تواند در بسیاری از وضعیتها به شما کمک کند. اگر شما یک کار مانند امتحان کردن عرض های مختلف برای یک باغ، یا امتحان کردن قطرهای مختلف برای یک استخر مدور جهت پیدا کردن بهترین اندازه، را مدام تکرار می کنید، می توانید معادله را برای یکی از متغیرها را به لحاظ بقیه حل کنید.

برای مثال، معادلۀ \(A={1\over2}h(b_1+b_2)\) ، فرمول محاسبۀ مساحت یک ذوزنقه می باشد. حرف \(A\) نشان دهندۀ مساحت است، \(h\) نماینده ارتفاع (فاصله بین دو پایه موازی با یکدیگر)، و دو حرف \(b\) نشان دهنده دو ضلع موازی که اضلاع پایه ذوزنقه نامیده می شوند، می باشد.

اگر شما بخواهید یک ذوزنقه بسازید که یک مجموعه مساحت دارد، نیاز خواهید داشت تا ابعاد آن مساحت را بدانید. در حین این کار درخواهید یافت که به جای انجام محاسبات فراوان در هر مرتبه، ساده تر اینست که معادله را برای بدست آوردن هر کدام از اجزاء آن به طور جداگانه حل کنید، به عنوان مثال این معادله را برای بدست آوردن \(h\) ، \(b_1\) ، و یا \(b_2\) حل کنید.

برای حل کردن معادله برای \(h\) به لحاظ بقیۀ مجهول ها، هر سمت را بر دو تقسیم می کنید، که کسر را پاک می کند، و سپس هر دو سمت را بر کل عبارت داخل پرانتز تقسیم می کنید:
$$
\require{cancel}
A={1\over2}h(b_1+b_2) \\
2A = \cancel{2} \cdot {1 \over \cancel{2}}h(b_1+b_2) \\
{2A \over (b_1+b_2)} = {h \cancel{(b_1+b_2)} \over \cancel{(b_1+b_2)}} \\
{2A \over (b_1+b_2)} = h
$$
شما همچنین می توانید معادله را برای \(b_2\) ، که طول ضلع پایه بلندتر در ذوزنقه می باشد، حل کنید. برای انجام این کار هر سمت از معادله را بر دو ضرب می کنید، هر سمت را بر \(h\) تقسیم می کنید، و سپس \(b_1\) را از هر سمت تفریق می کنید:
$$ \require{cancel}
A={1\over2}h(b_1+b_2) \\
2A =\cancel{2} \cdot {1\over \cancel{2}}h(b_1+b_2) \\
{2A \over h}={ \cancel{h}(b_1+b_2) \over \cancel{h} } \\
{2A \over h}=b_1+b_2 \\
{2A \over h} - b_1 = b_2
$$
شما می توانید معادله را در این شکل با دو جمله رها کنید، یا می توانید یک مخرج مشترک بین آنها پیدا کنید و جملات سمت چپ را با یکدیگر ترکیب کنید:
$$ {2A - b_1h \over h} = b_2 $$