نامساوی های خطی (Linear Inequalities)

معادلات ـــ گزاره هایی با علامت برابری ـــ یک نوع رابطه یا مقایسه بین چیزها می باشند. معادلات می گویند که آن جملات، عبارات، یا سایر موجودیت ها دقیقاً یکسان هستند. یک نامساوی (inequality) اندکی غیردقیق تر است. نامساوی های جبری (Algebraic inequalities) ـــ که به آنها نابرابری یا نامعادله نیز گفته می شود ـــ ارتباط بین یک عدد و یک عبارت یا ارتباط بین دو عبارت را نشان می دهند. به عبارت دیگر، شما از نامساوی ها برای مقایسه استفاده می کنید.

نامساوی ها در جبر عبارت از کوچکتر از $ (\lt) $ ، بزرگتر از $ (\gt) $ ، کوچکتر یا مساوی با $ (\le) $ ، و بزرگتر یا مساوی با $ (\ge) $ می باشند. یک معادله جبری تنها یک پاسخ دارد، اما یک نامساوی جبری بی نهایت پاسخ دارد. برای مثال در عبارت $x \le 7$ ، شما می توانید مقادیر $6,5,4,-3,-100$ و مقادیر بسیار زیاد دیگری شامل اعداد کسری و اعداد صحیح را جایگزین $x$ کنید، و همچنان این گزاره برقرار باشد.

قوانین جبر: در اینجا قوانین عملیات بر روی نامساوی ها را داریم (شما می توانید نماد $ \lt $ را با هر کدام از نمادهای دیگر نامساوی ها جایگزین کنید، و قوانین همچنان برقرار خواهند بود):

اگر $a \lt b$ سپس $a+c \lt b+c$ (در جمع زدن هر عددی)
اگر $a \lt b$ سپس $a-c \lt b-c$ (در تفریق کردن هر عددی)
اگر $a \lt b$ سپس $a \cdot c \lt b \cdot c$ (در ضرب کردن در هر عدد مثبت)
اگر $a \lt b$ سپس $a \cdot c \gt b \cdot c$ (در ضرب کردن در هر عدد منفی)
اگر $a \lt b$ سپس ${a \over c} \lt {b \over c}$ (در تقسیم کردن در هر عدد مثبت)
اگر $a \lt b$ سپس ${a \over c} \gt {b \over c}$ (در تقسیم کردن در هر عدد منفی)
اگر ${a \over c} \lt {b \over d} $ سپس ${c \over a} \gt {d \over b}$ (معکوس کردن کسرها)

هشدار: شما نباید هر سمتی از یک نامساوی را در صفر ضرب یا تقسیم کنید. اگر چنین کاری کنید، یک گزارۀ نادرست را ساخته اید. با ضرب کردن هر سمت از نابرابری $3 \lt 4$ در $0$ به $ 0 \lt 0$ می رسید که واضحاً یک گزارۀ نادرست می باشد. شما نمی توانید هر سمت را بر $0$ تقسیم کنید، زیرا شما هرگز نمی توانید چیزی را بر $0$ تقسیم نمایید ـــ هیچ عددی با $0$ در مخرج آن وجود ندارد.

حل کردن نامساوی های ساده

برای حل کردن یک نامساوی ساده، شما ابتدا تمامی مقادیر متغیردار را به یک سمت از نامساوی منتقل می کنید و اعداد را نیز به سمت دیگر منتقل می کنید. بعد از اینکه شما نامساوی را به یک متغیر و یک عدد، ساده سازی کردید، می توانید بدانید چه مقادیری از متغیر می تواند نامساوی را به یک گزارۀ صحیح تبدیل کند. برای مثال، برای حل کردن $3x+4 \gt 11-4x$ شما $4x$ را به هر سمت اضافه می کنید و $4$ را از هر سمت تفریق می کنید. علامت نامساوی بدون تغییر باقی می ماند زیرا هیچ ضرب یا تقسیمی بر روی اعداد منفی صورت نپذیرفته است. حالا شما دارید $7x \gt 7$ . هر سمت را بر $7$ تقسیم کنید که این عملیات هم جهت نامساوی را تغییر نمی دهد زیرا $7$ عددی مثبت می باشد. پاسخ نهایی شما $x>1$ می باشد. پاسخ می گوید که هر عددی بزرگتر از یک می تواند جایگزین $x$ ها در نامساوی اصلی شود و نامساوی را به یک گزارۀ صحیح تبدیل کند.

قوانین حل کردن معادلات خطی در مورد نامساوی ها نیز تا حدودی کار می کند. همه چیز بدون اشکال پیش می رود تا زمانیکه شما سعی می کنید هر سمت از نامساوی را بر عددی منفی ضرب یا تقسیم کنید.

یادتان باشد: هنگامیکه هر سمت از نامساوی را در عددی منفی ضرب یا تقسیم می کنید، باید جهت نامساوی را تغییر بدهید تا نامساوی صحیح باقی بماند. علامت $ \lt $ را به $ \gt $ تغییر بدهید، یا برعکس آن.

برای مثال، نامساوی $4(x-3)-2 \ge 3(2x+1)+7$ ، دارای نمادهای گروه بندی می باشد که شما باید به آنها رسیدگی کنید. $4$ و $3$ را بر روی ضریب های مرتبط با آنها در داخل پرانتزها توزیع کنید تا نامساوی تبدیل به $4x-12-2 \ge 6x+3+7 $ گردد. جملات هر سمت را ساده سازی کنید تا به $ 4x-14 \ge 6x + 10$ برسید. حالا باید مهارتهای مرتبط با نامساوی ها را که فرا گرفته اید، بکار ببندید. $6x$ را از هر سمت تفریق کنید، و $14$ را به هر سمت بیفزایید. نامساوی تبدیل به $-2x \ge 24$ می شود. وقتی که هر سمت را بر $-2$ تقسیم می کنید، باید جهت نامساوی را معکوس کنید، شما به پاسخ $ x \le -12$ خواهید رسید. تنها اعداد کوچکتر از $-12$ یا دقیقاً خود عدد $-12$ در نامساوی اصلی درست کار خواهند کرد.

نکات فنی: در هنگام حل کردن مثال قبلی، وقتیکه به مرحلۀ $4x-14 \ge 6x+10$ می رسید، مبتنی بر این واقعیت که نامساوی $a \lt b$ با نامساوی $b \gt a$ برابر می باشد. اگر شما $6x$ را از هر دو سمت تفریق کنید، به موقعیت تقسیم بر یک عدد منفی می رسید. اگر شما متغیرها را به سمت راست و اعداد را به سمت چپ منتقل کنید، مجبور نخواهید بود که بر عددی منفی تقسیم را انجام بدهید، اما پاسخ اندکی متفاوت به نظر خواهد آمد. اگر $4x$ را از هر سمت تفریق کنید، و $10$ را از هر سمت تفریق کنید، به $-24 \ge 2x$ خواهید رسید. حالا هر سمت را بر $2$ تقسیم می کنید و نیازی به تغییر جهت هم ندارید، و به $-12 \ge x$ می رسید. شما این پاسخ را به صورت $-12$ کوچکتر یا مساوی با $x$ می باشد، می خوانید. این نامساوی با نامساوی $x \le -12$ یکسان می باشد، اما اظهار کردن نامساوی به شکلی که عدد در ابتدا آمده باشد اندکی نامناسب است.

معرفی نمادهای بازه (interval notation)

شما می توانید ناخوشایندی نوشتن پاسخها با نمادهای نابرابری را با قالب دیگری که نمادهای بازه (فاصله) نامیده می شود، کاهش بدهید. شما در حسابان به طور گسترده از نمادهای بازه استفاده خواهید کرد. بیشتر ریاضیات عالی از نمادهای بازه استفاده می کند. نمادهای بازه از پرانتزها، کروشه ها، ویرگول ها، و نماد بی نهایت استفاده می کنند تا برای آبهای تیرۀ نامساوی ها، شفافیت را به ارمغان آورند.

قوانین جبر: و یک سورپرایز، سیستم نمادهای بازه چند قانون دارد:

در نمادهای بازه اعداد کوچکتر را در سمت چپ اعداد بزرگتر قرار می دهید.
برای نشان دادن "یا مساوی با" از یک کروشه استفاده می کنید.
اگر پاسخ شامل خود عدد نشود از یک پرانتز استفاده می کنید.
اگر بازه خاتمه نیابد (یعنی تا بی نهایت مثبت یا بی نهایت منفی پیش رود) ، از نمادهای $+\infty$ و $-\infty$ و یک پرانتز استفاده می شود.

در اینجا چند مثال از نمادهای نامساوی و نمادهای معادل بازه آنها داریم:
$$
x \lt 3 \to (-\infty,3) \\
x \ge -2 \to [-2,\infty) \\
4 \le x \lt 9 \to [4,9) \\
-3 \lt x \lt 7 \to (-3,7)
$$
توجه داشته باشید که مثال دوم دارای یک کروشه همراه با $-2$ می باشد، زیرا "بزرگتر یا مساوی با" نشان می دهد که شما خود عدد $-2$ را نیز شامل کرده اید. این مسأله در مثال سوم نیز در مورد $4$ وجود دارد. مثال آخر به شما نشان می دهد چرا گاهی نمادهای بازه می توانند مشکل ساز باشند. اگر محتوا را در نظر نگیرید، چگونه می توانید بفهمید $ (-3,7) $ نشان دهندۀ یک بازه شامل تمامی اعداد بین $-3$ و $7$ می باشد یا اینکه نشان دهنده نقطه $ (-3,7) $ در صفحه مختصات است؟ شما نمی توانید بگویید. مشکل این نوع نمادها اینست که باید به نوعی یک اشاره به شما بدهد.

نامساوی های مرکب

یک نامساوی مرکب (compound inequality) یک نامساوی است که بیش از یک نماد مقایسه یا نماد نامساوی دارد، برای مثال $-2 \lt x \le 5$ . برای حل کردن نامساوی های مرکب برای مقدار متغیرها، از همان قوانین نامساوی های معمولی استفاده می کنید، و آن قوانین را گسترش داده و بر روی هر قسمت نامساوی اعمال می نمایید.

برای مثال، برای حل کردن نامساوی $-8 \le 3x -5 \lt 10$ ، شما $5$ را به هر سه بخش اضافه می کنید و سپس هر سه بخش را بر $3$ تقسیم می کنید:
$$
\begin{array}{c c c}
-8 & \le 3x-5 \lt & 10 \\
+5 & +5 & +5 \\
\hline
-3 & \le 3x \lt & 15 \\
{-3 \over 3} & \le {3x \over 3} \lt & {15 \over 3} \\
\hline
-1 & \le x \lt & 5
\end{array}
$$
این پاسخ یعنی $-1 \le x \lt 5$ را در نماد بازه به شکل $ [-1,5) $ نوشته می شود.

در اینحا یک مثال پیچیده تر داریم. شما مسأله $ -1 \lt 5-2x \le 7$ را با تفریق $5$ از هر بخش و سپس تقسیم هر بخش بر $-2$ حل می کنید. البته، تقسیم بر یک عدد منفی به معنای تغییر دادن جهت نمادهای نامساوی می باشد:
$$
\begin{array}{c c c}
-1 & \lt 5-2x \le & 7 \\
-5 & -5 & -5 \\
\hline
-6 & \lt -2x \le & 2 \\
{-6 \over -2} & \gt {-2x \over -2} \ge & {2 \over -2} \\
\hline
3 & \gt x \ge & -1 \\
\end{array}
$$
شما پاسخ یعنی $3 \gt x \ge -1$ را می توانید برعکس کنید و به ترتیب خط اعداد بنویسید، عدد $ -1 $ کوچکتر از $ 3 $ می باشد. برای معکوس کردن پاسخ نیاز است تا علامت های نامساوی را نیز برعکس کنید: $ -1 \le x \lt 3$ . این پاسخ را در نماد بازه به شکل $ [-1,3) $ می نویسید.

آموزش قبلی صفحۀ اصلی دوره آموزش بعدی