از همه انتخابهایی که برای حل کردن یک معادله درجه دوم در اختیار دارید (فاکتورگیری، فرمول حل معادله درجه دوم، و ... که پیشتر اشاره کردیم)، کامل کردن مربع (Completing the Square) باید آخرین چیزی باشد که به آن متوسل می شوید. کامل کردن مربع به این معنا می باشد که یک سه جمله ای مربع کامل را تشکیل بدهید، که به یک مربع دوجمله ای فاکتورگیری شود. شکل مربع دوجمله ای (binomial-squared) در هنگام کار با بخش مخروطها (دایره ها، بیضی ها، هذلولی ها، و شلجمی ها) و نوشتن شکل استاندارد آنها، بسیار زیبا خواهد بود. در این مورد در فصل 11 بیشتر خواهید دانست.





کامل کردن مربع به سرعت و سهولت فاکتورگیری نمی باشد، و همچنین از فرمول حل معادله درجه دوم نیز پیچیده تر می باشد. بنابراین، اگر انتخابهای بهتری هست، چه زمانی باید آن را لحاظ کنید؟

شما باید زمانی از روش کامل کردن مربع استفاده کنید که به شما گفته شده باشد "این روش برایتان بهتر است"، به نوعی چیزی مثل غلات سبوس دار می باشد. اما این دلیل واقعاً قانع کننده نمی باشد. دلیل بهتر بعدی اینست که یک معادله را به یک شکل استاندارد تبدیل کنید تا بتوانید برخی از اطلاعات را از آن بدست آورید. برای مثال، استفاده از روش کامل کردن مربع بر روی معادله یک سهمی (شلجمی) به شما یک پاسخ بصری در ارتباط با این سوالات که رأس در کجا قرار دارد و به چه شکل باز می شود، می دهد. سود بزرگ اینست که شما پاسخی برای تمام کارتان دارید. از این گذشته، با استفاده از این فرآیند به پاسخهای معادله درجه دوم می رسید.

روش کامل کردن مربع یک مهارت عالی برای داشتن است و در فصلهای بعدی این کتاب و در سایر دوره های ریاضی همچون هندسه تحلیلی و حسابان بسیار سودمند است. علاوه بر اینکه، برای شما خوب است.

کامل کردن مربع برای حل کردن معادلات درجه دوم

برای حل کردن یک معادله درجه دوم همچون \(3x^2+10x-8=0\) با روش کامل کردن مربع، این مراحل را دنبال کنید:

1. هر جمله در معادله را بر ضریب جمله مربع تقسیم کنید.
   برای این مثال، شما هر جمله را بر ضریب \(3\) تقسیم می کنید:
   $$
   3x^2+10x-8=0 \\
   x^2+{10\over3}x-{8\over3}=0
   $$
   
2. با جمع یا تفریق، جمله ثابت (جمله بدون متغیر) را به سمت دیگر معادله ببرید.
   به هر سمت \({8\over3}\) را بیفزایید.
   $$
   x^2+{10\over3}x-{8\over3}+{8\over3}=0+{8\over3} \\
   x^2+{10\over3}x={8\over3}
   $$
   
3. نیمی از ضریب جمله دارای متغیر درجه اول را پیدا کنید، این نیمه یافت شده را مربع سازید، و آن مقدار را به هر سمت از معادله بیفزایید.
   نصف \({10\over3}\) می شود \(\require{cancel} {^5 \cancel{10}\over3} \cdot {1\over \cancel{2}_1}={5\over3} \) . این کسر را مربع کنید، و مربع آن را به هر سمت از معادله بیفزایید:
   $$
   ({5\over3})^2={25\over9} \\
   \begin{align}
   x^2+{10\over3}x+{25\over9} & ={8\over3}+{25\over9} \\
   &={24\over9}+{25\over9} \\
   &={49\over9}
   \end{align}
   $$
   
4. سمتی از معادله را که یک سه جمله ای مربع کامل می باشد (که خود شما ایجادش کرده اید) به یک مربع دوجمله ای فاکتورگیری کنید.
   سمت چپ معادله را فاکتورگیری کنید:
   $$
   x^2+{10\over3}x+{25\over9}={49\over9} \\
   \biggl( x+{5\over3} \biggr)^2={49\over9}
   $$
   
5. ریشه مربع هر سمت از معادله را بیابید.
   $$
   \sqrt{\biggl( x+{5\over3} \biggr)^2}=\pm \sqrt{{49\over9}} \\
   x+{5\over3}=\pm {7\over3}
   $$
   
6. با جمع و تفریق، جمله متغیردار را به یک سمت و مقادیر ثابت را به سمت دیگر معادله منتقل کنید، به نحوی که متغیر تنها بماند.
   \({5\over3}\) را از هر سمت تفریق کنید و معادله را برای بدست آوردن \(x\) حل کنید:
   $$
   \begin{align}
   x+{5\over3}-{5\over3} &=-{5\over3}\pm{7\over3} \\
   x & =-{5\over3}\pm{7\over3} \\
   x & =-{5\over3}+{7\over3}={2\over3} \text{ or } x=-{5\over3}-{7\over3}=-4
   \end{align}
   $$
   

شما می توانید دو پاسخ بدست آمده را با فاکتورگیری معادله اصلی، درست آزمایی کنید:
$$ 3x^2+10x-8=(3x-2)(x+4)=0 $$

دوبار کامل کردن مربع

با کامل کردن مربع در یک معادله هم با \(x\) ها و هم با \(y\) ها، شما فقط یک گام دیگر با آنچه که برای کار کردن با مخروطی ها (conics) نیاز دارید، فاصله خواهید داشت. مقاطع مخروطی ها (Conic sections) ـــ که عبارت از دایره ها، بیضی ها، هذلولی ها، و سهمی ها می باشند ـــ دارای معادلات استانداردی می باشند که اطلاعات بسیاری را در مورد منحنی های منحصر به فرد به شما می دهند (اطلاعات همچون اینکه مرکز آنها کجاست، به کدام سمت می روند و ...). در فصل 11 جزئیات بیشتری از این موضوع را خواهید دانست. در این میان، شما به دوبار کامل کردن مربع در این بخش می پردازید.

برای مثال، شما می توانید معادله \(x^2+6x+2y^2-8y+13=0\) به شکل حاصلجمع دو مربع دوجمله ای و یک ثابت بنویسد. به این معادله به این شکل فکر کنید که دو کامل کردن مربع جداگانه دارید که باید انجامشان بدهید. برای دوبار کامل کردن مربع، این مراحل را دنبال کنید:

1. برای اینکه دو تکمیل کننده را به صورت کارآمدتر مدیریت کنید، معادله را به شکلی بازنویسی کنید که بین جملات \(x\) و جملات \(y\) و ثابت در یک سمت معادله، فاصله باشد:
   $$
   \begin{array}{c c c}
   x^2+6x \text{ } & \text{ } +2y^2-8y \text{ } & \text{ } =-13
   \end{array}
   $$
   
   یادتان باشد: کل عبارت را بر \(2\) تقسیم نکنید، زیرا منجر می شود در جمله \(x^2\) به یک ضریب کسری برسید.
   
2. برای هر گروه بندی فاکتورهای عددی را بیابید، به نحویکه ضریب جملات مربع یک شوند. فاکتور یافت شده را در بیرون پرانتز بنویسید.
   در این مورد، فاکتور \(2\) را از دو جمله \(y\) بیرون می کشید، و آن را بیرون پرانتز رها می کنید:
   $$
   \begin{array}{c c c}
   x^2+6x \text{ } & \text{ } +2(y^2-4y) \text{ } & \text{ } =-13
   \end{array}
   $$
   
3. در \(x\) ها مربع را کامل کنید، و آنچیزی را که برای کامل کردن مربع مورد استفاده قرار داده اید در سمت دیگر معادله نیز مورد استفاده قرار دهید، تا تعادل معادله حفظ شود.
   در اینجا، شما نیمی از \(6\) را می گیرید، و \(3\) را مربع می کنید تا به \(9\) برسید، و سپس \(9\) را به هر سمت از معادله می افزایید:
   $$
   \begin{array}{c c c}
   x^2+6x+9 \text{ } & \text{ } +2(y^2-4y) \text{ } & \text{ } =-13+9
   \end{array}
   $$
   
4. به کامل کردن مربع در \(y\) ها بپردازید، و آنچیزی را که برای کامل کردن مربع مورد استفاده قرار می دهید به سمت دیگر معادله نیز بیفزایید.
   
   یادتان باشد: اگر سه جمله ای در داخل پرانتز باشد، مطمئن شوید که ابتدا آن را در فاکتور بیرون از پرانتز ضرب کرده باشید و سپس آن را به سمت دیگر معادله بیفزایید.
   
   کامل کردن مربع در \(y\) ها به این معنا می باشد که شما باید نیمی از مقدار \((-4)\) را بگیرید، سپس \(-2\) را مربع کنید تا به \(+4\) برسید، و سپس \(8\) را به هر سمت بیفزایید:
   $$
   \begin{array}{c c c}
   x^2+6x+9 \text{ } & \text{ } +2(y^2-4y+4) \text{ } & \text{ } =-13+9+8
   \end{array}
   $$
   چرا شما \(8\) را می افزایید؟ زیرا وقتیکه \(4\) را در داخل پرانتز همراه با \(y\) ها قرار می دهید، آن را در \(2\) ضرب می کنید. برای متعادل نگهداشتن معادله، شما \(4\) را در داخل پرانتز و \(8\) را در سمت دیگر معادله قرار می دهید.
   
5. هر سمت از معادله را ساده سازی کنید، بدین نحو که در سمت چپ سه جمله ای ها را به شکل مربع دوجمله ای ها بنویسید و در سمت راست نیز جملات را با یکدیگر ترکیب کنید.
   در این مثال، شما به نتیجه زیر می رسید:
   $$ (x+3)^2+2(y-2)^2=4 $$
   

کار شما خاتمه یافت، البته فعلاً، تا وقتیکه به فصل 11 برسید، که دوباره این موضوع در آنجا مطرح خواهد شد.