معادلات درجه دوم دارای توان بالا

یک چندجمله ای (polynomial) یک عبارت جبری است که دارای یک، دو، سه، یا جملات بسیاری باشد. درجه (توان) چندجمله ای با بالاترین توانی که در عبارت آشکار شده است تعیین می شود. چندجمله ای ها دارای توانهایی هستند که اعداد صحیح می باشند ـــ و نه اعداد کسری یا اعداد منفی. یک عبارت چندجمله ای را در کنار یک "$=0$" قرار دهید، حالا یک معادله چندجمله ای دارید.

حل کردن معادلات چندجمله ای مستلزم اینست که شما بدانید چگونه آنها را شمارش و برنامه ریزی کنید. اوکی، خوب البته به همین سادگی هم نیست. اما اگر شما بتوانید عددی را که نشان دهندۀ درجۀ معادله (بالاترین توان) می باشد شمارش کنید، می توانید پاسخهایی را که می خواهید بیابید توجیه کنید و تعیین کنید که آیا به همۀ آنها دست یافته اید یا خیر. و اگر شما بتوانید برنامه ای بچینید که از الگوهای موجود در دوجمله ای ها استفاده کنید یا از تکنیکهای درجه دوم استفاده کنید، شما به خوبی در مسیر رسیدن به یک راه حل هستید.

رسیدگی به مجموع یا تفاضل بین مکعب ها

همانطور که در فصل 1 توضیح دادم، شما عبارتی را که تفاضل بین دو مربع کامل باشد به شکل حاصلضرب بین تفاضل و حاصل جمع ریشه ها، فاکتورگیری می کنید: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ . اگر مشغول حل کردن معادله ای هستید که تفاضل بین دو مربع را ارائه می دهد، شما می توانید ویژگی ضرب صفر را بر روی آن اعمال کنید و معادله را حل کنید. با این حال، شما نمی توانید مجموع دو مربع کامل را به این شکل فاکتورگیری نمایید، بنابراین اگر بنا باشد پاسخهای حقیقی را بیابید، معمولاً بد شانسی خواهید آورد.

در مورد تفاضل یا حاصلجمع بین دو مکعب، شما می توانید دوجمله ای ها را فاکتورگیری کنید، و راه حلی را بیابید.

یادتان باشد: در اینجا فاکتورگیری تفاضل و حاصل جمع بین دو مکعب را می بینید:

$$
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \\
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
$$

حل کردن مکعب ها با فاکتورگیری

اگر بخواهید یک معادله مکعبی همچون $x^3-64=0$ را با استفاده از روش فاکتورگیری تفاضل بین دو مکعب حل کنید، به $(x-4)(x^2+4x+16)=0$ می رسید. با استفاده از ویژگی ضرب صفر خواهید داشت، اگر $x-4$ برابر با $0$ باشد، سپس $x$ برابر با $4$ خواهد بود. اما وقتیکه $x^2+4x+16=0$ ، شما نیاز دارید تا از فرمول حل کردن معادلات درجه دوم استفاده کنید، و البته پاسخهای مسأله شما را زیاد خوشحال نخواهند کرد.

با بکار بردن فرمول معادلات درجه دوم، خواهید داشت:
$$
x={-4 \pm \sqrt{4^2-4(1)(16)} \over 2(1)} = {-4 \pm \sqrt{16-64} \over 2}={-4 \pm \sqrt{-48} \over 2}
$$
در اینجا، شما در زیر رادیکال عددی منفی دارید، که معنایش اینست که هیچ ریشه حقیقی را پیدا نخواهید کرد. در فصل 14 در مورد اینکه با اعداد منفی زیر رادیکال چگونه برخورد کنید، بحث شده است. با در نظر گرفتن این واقعیت که دست کم فعلاً برای ما اعداد منفی زیر رادیکال تعریف نشده هستند، نتیجه گیری می کنیم که معادله $x^3-64=0$ فقط یک پاسخ دارد: $x=4$ .

یادتان باشد: کارکرد توان در یک معادله درجه دوم را سوء تفسیر نکنید. در مثال قبلی، توان سه، پیشنهاد می کند که شما ممکن است تا سه پاسخ را بیابید. اما در واقعیت، توانها فقط به شما می گویند که شما نمی توانید بیش از سه پاسخ را بیابید.

حل کردن مکعبها با گرفتن ریشه مکعب

شما ممکن است شک کنید آیا فاکتورگیری حاصل از تفاضل یا مجموع بین دو مکعب کامل همواره منجر به یک معادله درجه دوم بدون فاکتورهای حقیقی می شود (مانند مثالی که پیشتر دیدید). خوب، دیگر شک نکنید. پاسخ یک بله با صدای رسا می باشد. هنگامی که تفاضل بین دو مکعب را فاکتورگیری می کنید ـــ $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ ـــ معادله درجه دوم $a^2+ab+b^2=0$ هیچ ریشه حقیقی ندارد. هنگامی که مجموع بین دو مکعب را فاکتور گیری می کنید ـــ $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ ـــ معادله درجه دوم $a^2-ab+b^2=0$ نیز دارای ریشه حقیقی نمی باشد.

نکته: شما می توانید از این واقعیت که فقط قادر هستید یک ریشه حقیقی را برای معادلات مکعبی بیابید، نهایت استفاده را ببرید و تصمیم بگیرید چگونه معادلاتی به این شکل را حل کنید. من پیشنهاد می کنم که شکل ها را به ترتیب به این نحو تغییر بدهید: $x^3=b^3$ و $x^3=-b^3$ ، و ریشه مکعب هر سمت را بدست آورید.

به عنوان مثال، برای حل کردن $x^3-27=0$ ، آن را به شکل $x^3=27$ بازنویسی کنید و سپس ریشه مکعب را بیابید، $\sqrt[3]{x^3}=\sqrt[3]{27}$ ، $x=3$ . در معادله $8a^3+125=0$ ، ابتدا $125$ را از هر سمت تفریق کنید و سپس هر سمت را بر $8$ تقسیم کنید تا به $x^3=-{125\over8}$ برسید.

یادتان باشد: هنگامی که ریشه مکعب یک عدد منفی را محاسبه می کنید، به یک ریشه منفی خواهید رسید. یک ریشه مکعب عددی فرد می باشد، بنابراین شما می توانید ریشه مکعب اعداد منفی را بیابید. شما نمی توانید اعداد منفی دارای ریشه زوج را بدست آورید(ریشه دوم، ریشه چهارم، و ...). در مثال قبلی خواهید داشت: $\sqrt[3]{x^3}=\sqrt[3]{-{125\over8}}$ ، $x=-{5\over2}$ .

مقابله با سه جمله ای های شبه درجه دوم

یک سه جمله ای شبه درجه دوم (quadratic-like trinomial) یک سه جمله ای به شکل $ax^{2n}+bx^n+c=0$ می باشد. توان جمله متغیر اول دوبرابر توان جمله متغیر دیگر می باشد، و یک جمله ثابت، تصویر را کامل می سازد. چیز خوب در مورد سه جمله ای های شبه درجه دوم اینست که آنها نامزدهای خوبی برای فاکتورگیری و سپس به کار بردن ویژگی ضرب صفر، می باشند. یک سه جمله ای نمونه از این نوع $z^6-26z^3-27=0$ می باشد.

شما می توانید به این معادله همانند معادله درجه دوم $x^2-26x-27$ فکر کنید، که به $(x-27)(x+1)$ فاکتورگیری می شود. اگر در فاکتورگیری $x$ ها را با $z^3$ جایگزین کنید، شما شکل فاکتورگیری شده معادله با $z$ ها را خواهید داشت. سپس می توانید هر فاکتور را برابر با صفر قرار بدهید:
$$
z^6-26z^3-27 =(z^3-27)(z^3+1)= 0 \\
z^3-27=0, z^3=27,z=3 \\
z^3+1=0,z^3=-1,z=-1
$$
شما فقط می توانید ریشه مکعب هر سمت از معادله را بیرون بکشید، زیرا هنگامی که ریشه های فرد را می گیرید، می دانید که فقط می توانید یک پاسخ حقیقی را بیابید.

در اینجا مثال دیگری داریم. هنگامی که مشغول حل کردن معادله شبه درجه دوم $y^4-17y^2+16=0$ هستید، شما می توانید سمت چپ را فاکتورگیری کنید و سپس نتیجه فاکتورگیری را مجدداً فاکتورگیری کنید:
$$
\begin{align}
y^4-17y^2+16 & = (y^2-16)(y^2-1) \\
& = (y-4)(y+4)(y-1)(y+1)
\end{align}
$$
با قرار دادن هر فاکتور به صورت جداگانه برابر با صفر، خواهید داشت: $y=4$ ، $y=-4$ ، $y=1$ ، $y=-1$ .

آموزش قبلی صفحۀ اصلی دوره آموزش بعدی