خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


نامعادلات درجه دوم (Quadratic Inequalities)

نامعادلات درجه دوم (Quadratic Inequalities)
نویسنده : امیر انصاری
یک نامعادله درجه دوم (quadratic inequality) همان چیزی است که نامش بیان می کند: یک نامعادله (نامساوی) \( (\lt, \gt, \le, \ge) \) که شامل یک عبارت درجه دوم می باشد. شما می توانید از همان روشی که برای حل کردن یک نامعادله درجه دوم استفاده می کنید، برای حل کردن نامعادلات درجات بالاتر و نامعادلات گویا (نامعادلاتی که در متغیرهایشان کسرها وجود دارند) نیز استفاده کنید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



یادتان باشد: برای اینکه بتوانید نامعادلات درجه دوم را حل کنید، ابتدا باید قادر به حل کردن معادلات درجه دوم باشید. در معادلات درجه دوم، شما عبارات را برابر با صفر قرار می دهید. نامعادلات با آنچه که در دو سمت صفر قرار دارند سر و کار دارند (اعداد مثبت و اعداد منفی).

برای حل کردن یک نامعادله درجه دوم، این مراحل را دنبال کنید:

  1. تمامی جملات را به یک سمت نامعادله منتقل کنید.
  2. اگر ممکن باشد، فاکتورگیری کنید.
  3. تمامی صفرها (ریشه ها، یا پاسخ ها) را تعیین کنید.
    صفرها مقادیری از \(x\) هستند که هر عبارت فاکتورگیری شده را برابر با صفر قرار می دهند. (اندکی پایینتر تحت عنوان "بازی با اسامی" در این زمینه توضیحاتی ارائه شده است.)
  4. صفرها (zeros) را به ترتیب در یک خط اعداد (محور اعداد) قرار دهید.
  5. یک خط علامت دار (sign line) بسازید تا نشان دهد که در کجاها عبارت موجود در نامعادله، مثبت یا منفی می باشد.
    یک خط علامت دار، علامت فاکتورهای متفاوت در هر بازه (interval) را نشان می دهد. اگر عبارت فاکتورگیری شده باشد، علامتهای هر فاکتور مجزا را نشان بدهید.
  6. پاسخها را تعیین کنید، آنها را در نمادهای نامساوی یا نمادهای بازه بنویسید (در مورد نمادهای بازه در فصل 1 صحبت شد).

بازی با اسامی: پاسخ ها (Solutions)، ریشه ها (roots)، و صفرها (zeros)


جبر به شما امکان می دهد تا مقادیر \(x\) را که در هنگام قرار دادن یک معادله برابر با \(0\) بدست می آورید به چندین روش مختلف توصیف کنید. برای مثال، وقتی که \((x-3)(x+4)=0\) ، سپس توصیفات زیر وجود خواهند داشت:

  • پاسخها (Solutions): شما دو پاسخ دارید که عبارتند از: \(x=3\) و \(x=-4\) .
  • ریشه ها (Roots): شما دو ریشه برای این معادله دارید: \(3\) و \(-4\) ، زیرا این ریشه ها معادله را برقرار می سازند.
  • صفرها (Zeros): شما دو صفر برای این معادله دارید (مقادیری که که معادله را برابر با \(0\) قرا می دهند)، که وقتیکه \(x=3\) و \(x=-4\) باشد، رخ می دهند.
  • طول از مبدأ (x-intercepts): شما دو طول از مبدأ دارید که عبارتند از: \((3,0)\) و \((-4,0)\) .

این توصیفات معمولاً به جای یکدیگر استفاده می شوند، زیرا شما این مقادیر را دقیقاً به شیوه یکسانی تعیین می کنید.

نامعادلات درجه دوم (Quadratic Inequalities)


تکنیکهایی که در این بخش برای حل کردن نامعادلات استفاده می کنید، در مورد نامعادلات چندجمله ای درجه بالاتر و نامعادلات گویا نیز کاربرد پذیر هستند. اگر شما بتوانید یک چندجمله ای درجه سوم یا درجه چهارم را فاکتورگیری کنید، شما می توانید یک نامعادله را که در آن یک چندجمله ای را که کوچکتر یا بزرگتر از صفر قرار داده شده است، به راحتی حل کنید. شما همچنین می توانید از روش خط علامت دار برای پیدا کردن فاکتورهای عبارات گویا (کسری) استفاده کنید. اگرچه، فعلاً در نظر داشته باشید که به نامعادلات درجه دوم چسبیده ایم.

به عنوان مثال، برای حل کردن نامعادله \(x^2-x \gt 12\) ، شما نیاز دارید تا تعیین کنید چه مقادیری از \(x\) را می توانید مربع کنید که وقتی آنها را از عدد اصلی تفریق کنید، پاسخ شما بزرگتر از \(12\) باشد. برای مثال، وقتیکه \(x=5\) ، شما خواهید داشت \(25-5=20\) . این پاسخ یقیناً از \(12\) بزرگتر است، بنابراین عدد \(5\) درست کار می کند و \(x=5\) یک پاسخ برای این نامعادله می باشد. در مورد عدد \(2\) چطور؟ هنگامیکه \(x=2\) ، شما خواهید داشت \(4-2=2\) ، که از \(12\) بزرگتر نمی باشد. شما نمی توانید \(x=2\) را به عنوان پاسخ استفاده کنید. آیا می توانید نتیجه گیری کنید که اعداد کوچکتر درست کار نخواهند کرد؟ نه اینطور نیست. هنگامی که \(x=-10\) را امتحان می کنید، خواهید داشت \(100+10=110\) ، که قطعاً بزرگتر از \(12\) می باشد. در واقع، شما می توانید بی نهایت عدد بیابید که این نامعادله را به یک گزاره صحیح تبدیل می کنند.

بنابراین، شما نیاز به حل کردن این نامعادله با استفاده از مراحلی که خلاصه اش را در ابتدای این بخش آوردم، دارید:

  1. \(12\) را از هر سمت نامعادلۀ \(x^2-x \gt 12\) تفریق کنید، تا تمامی جملات را به یک سمت انتقال دهید.
    در نهایت به \(x^2-x-12 \gt 0\) می رسید.
  2. سمت چپ نامعادله را فاکتورگیری کنید، به \((x-4)(x+3) \gt 0 \) خواهید رسید.
  3. تمامی صفرها برای نامعادله را تعیین کنید، که عبارتند از \(x=4\) و \(x=-3\) .
  4. صفرها را به ترتیب در یک خط اعداد قرار بدهید، در شکل زیر می توانید نتیجه را ببینید.

    نامعادلات درجه دوم (Quadratic Inequalities)
  5. یک خط علامت دار بسازید تا علامت فاکتورهای مختلف در هر بازه را نشان بدهد.
    بین \(-3\) و \(4\) ، \(x=0\) را امتحان کنید (شما می توانید هر عدد دیگری بین \(-3\) و \(4\) را نیز استفاده کنید). وقتیکه \(x=0\) ، فاکتور \(x-4\) منفی می باشد، و فاکتور \(x+3\) مثبت می باشد. آن علامتها را در خط علامت دار قرار بدهید تا با فاکتورهایشان متناظر گردند. مشابه این کار را برای بازه اعداد سمت چپ \(-3\) و سمت راست \(4\) انجام دهید (تصویر زیر را ببینید).

    نامعادلات درجه دوم (Quadratic Inequalities)
    یادتان باشد: مقادیر \(x\) در هر بازه انتخابهای کاملاً تصادفی هستند، در انتخابهای من هم می توانید ببینید که \(x=-5\) و \(x=10\) کاملاً تصادفی انتخاب شده اند. هر عددی در هر کدام از بازه ها، علامت مثبت یا منفی یکسانی را به شما نتیجه می دهد.
  6. برای تعیین پاسخ، به علامت فاکتورها نگاه کنید، شما عباراتی را می خواهید که مثبت باشند، و با نامعادله بزرگتر از صفر مطابقت کنند.

    بازه سمت چپ \(-3\) دارای یک علامت منفی ضربدر یک علامت منفی می باشد، که نتیجه اش علامت مثبت می شود. بنابراین هر عددی در سمت چپ \(-3\) درست کار خواهد کرد. شما می توانید این قسمت از پاسخ را به شکل \(x \lt -3\) یا در نماد بازه به شکل \( (-\infty,-3) \) بنویسید. بازه سمت راست \(4\) حاصلضرب مثبت در مثبت می باشد که نتیجه اش مثبت می شود. بنابراین \(x \gt 4\) یک پاسخ می باشد. شما می توانید آن را به شکل \( (4,\infty) \) بنویسید. بازه بین \(-3\) و \(4\) همواره منفی می باشد، زیرا شما یک علامت منفی دارید که در علامتی مثبت ضرب شده است. پاسخ کامل هر دو بازه را که دارای مقادیری هستند که در نامعادله به درستی کار می کنند، لیست می کند.

    بنابراین، پاسخهای نامعادلۀ \(x^2-x \gt 12\) ، عبارت از \(x \lt -3\) یا \(x \gt 4\) می باشند.

حل کردن نامعادلات گویا (rational inequalities)


فرآیند خط علامت دار برای حل کردن نامعادلات گویا (rational inequalities)، مانند \({x-2 \over x+6} \le 0\) عالی می باشد. علامتهای نتایج ضرب و تقسیم از قوانین یکسانی تبعیت می کنند، بنابراین برای تعیین پاسختان، می توانید با صورت و مخرج کسر به همان روشی که با دو فاکتور مختلف در ضرب برخورد می کنید، رفتار نمایید.

با استفاده کردن از مراحلی که در ابتدای این بخش معرفی کردم، پاسخهای یک نامعادله گویا را تعیین کنید:

  1. همه جملات در \({ x-2 \over x+6 } \le 0 \) در سمت چپ علامت نامساوی قرار دارند.
  2. نه صورت و نه مخرج کسر بیشتر از این قابل فاکتورگیری نیستند.
  3. دو صفر نامعادله عبارت از \(x=2\) و \(x=-6\) می باشند.
  4. شما می توانید این دو عدد را بر روی یک خط اعداد در تصویر زیر ببینید.

    نامعادلات درجه دوم (Quadratic Inequalities)
  5. یک خط علامت دار برای دو صفر بسازید. شما در تصویر زیر می توانید بینید وقتیکه \(x\) بزرگتر از \(2\) باشد صورت کسر مثبت می باشد، و وقتیکه \(x\) بزرگتر از \(-6\) باشد مخرج کسر مثبت می باشد.

    نامعادلات درجه دوم (Quadratic Inequalities)
  6. هنگامیکه پاسخها را تعیین می کنید، یادتان باشد که نامعادله نیاز به چیزی دارد که کوچکتر یا مساوی با صفر باشد.
    هنگامیکه یک \(x\) بین \(-6\) و \(2\) انتخاب کنید، کسر یک عدد منفی می باشد. شما به یک صورت منفی و یک مخرج مثبت می رسید، که نتیجه اش عددی منفی می شود. پاسخ دیگر برای نامعادله اصلی عدد \(2\) می باشد. اگر \(x=2\) ، سپس صورت کسر \(0\) خواهد شد، که درست است، زیر نامعادله کوچکتر یا برابر با صفر می باشد. با این حال، شما نمی توانید مخرج را برابر با صفر قرار بدهید. داشتن صفر در مخرج کسر مجاز نیست زیرا چنین عددی وجود ندارد. بنابراین، پاسخ نامعادلۀ \({x-2 \over x+6} \le 0\) برابر با \(-6 \lt x \le 2\) می باشد. در نماد بازه، این پاسخ به شکل \((-6,2]\) نوشته می شود.

افزایش تعداد فاکتورها


روشی که شما برای حل کردن یک نامعادله درجه دوم استفاده می کنید، با عبارات کسری و عبارات درجه بالاتر به خوبی کار می کند. برای مثال، شما می توانید نامعادلۀ \((x+2)(x-4)(x+7)(x-5)^2 \ge 0\) را با ایجاد یک خط علامت دار و بررسی حاصل ضرب ها حل کنید.

نامعادله در حال حاضر در شکل فاکتورگیری شده است، بنابراین شما به مرحله 3 ، یعنی جایی که باید صفرها را تعیین کنید، می پرید. صفرها عبارتند از \(-2\)، \(4\) ، \(-7\) ، و \(5\) (در اینجا \(5\) یک ریشۀ مضاعف است و این فاکتور همواره برابر با عددی مثبت یا \(0\) خواهد بود). تصویر زیر این اعداد را در خط اعداد نشان می دهد.

نامعادلات درجه دوم (Quadratic Inequalities)
اکنون در هر بازه عددی را انتخاب کنید، آن عدد را در عبارت سمت چپ نامعادله جایگزین کنید، و علامت هر چهار فاکتور را بر روی آن بازه تعیین کنید. از روی تصویر زیر می توانید ببییند که آخرین فاکتور، یعنی \((x-5)^2\) ، همواره عددی مثبت یا صفر می باشد، بنابراین، فاکتور آسانی برای دقیقاً مشخص کردن می باشد.

نامعادلات درجه دوم (Quadratic Inequalities)
بنابر نامعادله اصلی، عبارت سمت چپ باید عددی مثبت یا برابر با صفر باشد. در بازه بین \(-7\) و \(-2\) و همچنین بازه اعداد بزرگتر از \(4\) ، می توانید تعداد زوجی از فاکتورهای مثبت بیابید. شما صفرها را نیز در پاسخها می گنجانید، بنابراین پاسخ این نامعادله \(-7 \le x \le -2\) یا \(x \ge 4\) می باشد. در نماد بازه، پاسخ را به شکل \([-7,-2]\) یا \([4,\infty)\) می نویسید.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.