حل کردن یک معادله جبری نیازمند مقداری دانش فنی می باشد. شما به ابزارهای پایه ریاضی نیاز دارید، و باید بدانید مجاز به چه کارهایی هستید و چه کارهایی را نباید انجام بدهید. شما نمی خواهید که یک معادله کاملاً خوب را بگیرید و آن را به یک چیز بی معنا تبدیل کنید. برای حل کردن معادلات دارای کسرها، رادیکال ها، دارای توان منفی یا توان کسری، نیاز به یک استراتژی دارید، این استراتژی باید شامل برنامه دقیق و همینطور درست آزمایی پاسخهای نهایی باشد. در این فصل، شما چگونگی مقابله با معادلات با تبدیل آنها به معادلات جدیدتری که آشناتر یا آسانتر هستند، را خواهید دانست. همچنین یک الگوی تکراری از درست آزمایی پاسخهایتان را خواهید دید، چرا که تبدیل کردن معادلات به اشکال مختلف می تواند ترکیبات مبهم بیگانه تولید کند، و شما را به سمت پاسخهای اشتباه هدایت کند.

معادلات گویا (کسری)

یک جمله گویا (rational) در یک معادله، یک کسر (fraction) است، یک معادله که دارای یک یا چند جمله گویا باشد، با نام معادله گویا (rational equation) شناخته می شود. رسیدگی به یک معادله که شامل کسرها باشد، همیشه آسان نیست.


دو تا از رایجترین روشهای خلاص شدن از شر کسرها، تقسیم کل جملات بر کوچکترین مخرج مشترک و ضرب متقابل نسبت ها می باشند. در همین فصل در مورد هر دوی این تکنیکها بحث خواهم کرد.

حل کردن معادلات گویا با کوچکترین مخرج مشترک

شما می توانید معادلات گویا، همچون \({3x+2 \over 2}-{5 \over 2x-3}={x+3 \over 4}\) ، بدون هیچ زحمت زیادی حل کنید، کافیست به سادگی از شر همه مخرجها خلاص شوید. برای انجام این کار، با یک دوست قدیمی، یعنی کوچکترین مخرج مشترک، کار خواهید کرد. اگر کار با آن را فراموش کرده باشید، یک یادآوری مختصر انجام می دهم. کوچکترین مخرج مشترک (ک.م.م) که به نام کوچکترین مضرب مشترک نیز شناخته می شود، کوچکترین عددی است که دو یا چند عدد دیگر بر آن بخش پذیر باشند، به عنوان مثال عدد \(12\) بر اعداد \(2\) ، \(3\) ، و \(4\) بخش پذیر می باشد و کوچکترین عددی است که بر هر سه این اعداد بخش پذیر است، پس \(12\) کوچکترین مخرج مشترک این سه عدد می باشد. در فصل 18 ترفندها و تکنیکهایی را برای یافتن سریعتر کوچکترین مخرج مشترک با شما در میان خواهم گذاشت.

برای حل کردن معادله مثال قبلی با استفاده از ک.م.م ، ابتدا یک مخرج مشترک برای همه کسرها می یابید، هر کسر را با آن مخرج مشترک بازنویسی می کنید، سپس هر سمت از معادله را در آن مخرج مشترک ضرب می کنید تا به یک معادله درجه دوم زیبا برسید (برای یک بحث کامل بر روی معادلات درجه دوم فصل 3 را ببینید).

1. یک مخرج مشترک بیابید

اولین گام در حل کردن معادله گویا اینست که ک.م.م برای تمامی جملات موجود در معادله را بیابید.

برای مثال، ک.م.م هر سه کسر موجود در معادله \( {3x+2 \over 2 }-{5 \over 2x -3} = {x+3 \over 4}\) عبارت از تمامی فاکتورهای موجود در مخرج هر سه کسر می باشد. هر کدام از مخرج ها باید قادر باشند تا ک.م.م را به صورت برابر بخش کنند. به عبارت دیگر، ک.م.م مضربی از هر کدام از مخرج های اصلی می باشد. برای حل کردن این معادله \(4(2x-3)\) را به عنوان مخرج مشترک استفاده کنید، زیرا مضربی از \(2\) می باشد، شما می توانید \(2\) را در \(2(2x-3)\) ضرب کنید تا به مخرج مشترک برسید. همچنین مخرج مشترک بدست آمده، مضربی از \(2x-3\) نیز می باشد، با ضرب این عبارت در \(4\) به مخرج مشترک می رسید. همچنین مضربی از \(4\) نیز می باشد، زیرا \(4\) ضربدر \((2x-3)\) نتیجه اش مخرج مشترک مربوطه می شود. هر سه مخرج این حاصلضرب را به صورت مساوی بخش می کنند.

2. هر کسر را با مخرج مشترک بازنویسی کنید

در معادله اصلی هر کدام از جملات را در مقادیری ضرب کنید، به نحویکه بعد از ضرب کردن، جملات حاصل شده دارای مخرج یکسانی باشند:
$$
{3x+2 \over 2} \cdot {2(2x-3) \over 2(2x-3)} - {5 \over 2x-3} \cdot {4 \over 4} = {x+3 \over 4} \cdot {2x-3 \over 2x-3} \\
{2(3x+2)(2x-3) \over 4(2x-3)} - {20 \over 4(2x-3)} = {(x+3)(2x-3) \over 4(2x-3)}
$$
اعدادی که کسرها را در آنها ضرب کرده ایم، همگی برابر با یک می باشند، زیرا هر کسری که صورت و مخرجش یکسان باشد مساوی با یک می باشد. اما شما باید این کسرهای برابر با یک را با دقت انتخاب کنید، صورت و مخرج این کسرهای برابر با یک باید طوری انتخاب شوند که حاصلضرب مخرج کسر اصلی در این کسر، نتیجه اش ک.م.م گردد.

3. هر دو سمت معادله را در ک.م.م ضرب کنید

هر جملۀ موجود در هر دو سمت معادله را در ک.م.م ضرب کنید، تا در نتیجۀ این ضرب مخرج کسرها از بین برود و در واقع از شر کسرها خلاص گردید:
$$
\require{cancel}
\cancel{4(2x-3)} \cdot {2(3x+2)(2x-3) \over \cancel{4(2x-3)}} - \cancel{4(2x-3)} \cdot {20 \over \cancel{4(2x-3)}} = \cancel{4(2x-3)} \cdot {(x+3)(2x-3) \over \cancel{4(2x-3)}} \\
2(3x+2)(2x-3)-20=(x+3)(2x-3)
$$

4. معادله جدید را حل کنید

با تکمیل کردن مراحل قبلی در این مسأله، یک معادله درجه دوم را تولید می کنید. (اگر نمی دانید با معادله درجه دوم باید چه کار کنید، فصل 3 را ببینید.)

برای حل کردن معادله درجه دوم جدید، ضرب ها را انجام بدهید، ساده سازی کنید، و معادله را برابر با صفر قرار بدهید:
$$
2(3x+2)(2x-3)-20=(x+3)(2x-3) \\
12x^2-10x-12-20=2x^2+3x-9 \\
10x^2-13x-23=0
$$
حالا بررسی کنید که آیا این معادله درجه دوم قابل فاکتورگیری می باشد یا خیر. اگر قابل فاکتورگیری نباشد، به فرمول حل کردن معادلات درجه دوم، متوسل می شوید. خوشبختانه، در اینجا استفاده از فرمول ضرورت ندارد. بعد از فاکتورگیری، هر فاکتور را برابر با صفر قرار بدهید و آن را برای \(x\) حل کنید:
$$
10x^2-13x-23=0 \\
(10x-23)(x+1)=0 \\
10x-23=0, x={23 \over 10} \\
x+1=0, x=-1
$$
شما برای این معادله درجه دوم دو پاسخ یافته اید: \(x={23\over10}\) و \(x=-1\) .

5. پاسخهایتان را درست آزمایی کنید.

حالا باید پاسخهای بدست آمده را در معادله اصلی درست آزمایی کنید تا مطمئن شوید از پاسخهای اضافی بر حذر هستید. همانطور که در مقدمه این بخش مطرح کردم، ممکن است با یک یا دو پاسخ اضافی برخورد کنید.


معادله اصلی را درست آزمایی کنید تا ببینید دو پاسخ بدست آمده درست کار می کنند یا خیر، ابتدا \(x={23\over10}\) را بررسی کنید:
$$
{3({23\over10})+2 \over 2}-{5 \over 2({23\over10})-3}={({23\over10})+3 \over 4} \\
{ {69\over10}+{20\over10} \over 2 } - { 5 \over {46\over10}-{30\over10}}={ {23\over10}+{30\over10} \over 4 } \\
{ {89\over20} \over 2 }- {5 \over {16\over10}} = { {53\over10} \over 4 } \\
{89\over20}-{50\over16}={53\over40}
$$
درست آزمایی این معادله با یک پاسخ کسری به نظر کار خیلی ناخوشایندی می آید، اما این کار لازم است که انجام شود. متوسل شدن به ماشین حساب، در این مرحله را، به عنوان کم آوردن تلقی نکنید، با خیال راحت ماشین حساب را بدست بگیرید و هرجا که لازم باشد، از آن استفاده کنید. شما همیشه امیدوارید که با اعداد صحیح برخورد کنید، برای همین دوست ندارید این کسرهای پیچیده را ساده سازی کنید، یادتان باشد همیشه اوضاع آنطور که می خواهید پیش نمی رود.

مرحله بعدی کار شما اینست که یک مخرج مشترک بیابید تا بتوانید دو سمت معادله را با یکدیگر مقایسه کنید:
$$
{89\over20} \cdot {4\over4}-{50\over16} \cdot {5\over5}={53\over40} \cdot {2\over2} \\
{356\over80}-{250\over80}={106\over80} \\
{106\over80}={106\over80}
$$
زیبا بود! اولین پاسخ درست کار کرد. درست آزمایی بعدی، اینست که ببینیم آیا \(x=-1\) پاسخ درستی می باشد یا خیر:
$$
{3(-1)+2 \over 2}-{5 \over 2(-1)-3} = {(-1)+3 \over 4} \\
{-3+2 \over 2}-{5 \over -5}={2\over4} \\
-{1\over2}+1={1\over2} \\
{1\over2}={1\over2}
$$
بسیار زیبا! پاسخهای معادله \({3x+2 \over 2}-{5 \over 2x-3} = {x+3 \over 4}\) عبارت از \(x={23\over10}\) و \(x=-1\) می باشند.

با این حال، معادلات گویا همیشه به این خوبی حل نمی شوند. برای مثال، معادله \({x \over x+2}+{3x+2 \over x(x+2)} = {3 \over x}\) ، را در نظر بگیرید. اگر مراحل 1 تا 4 را بر روی این معادله انجام بدهید، به یک معادله جدید می رسید:
$$
\require{cancel}
{x \over x+2}+{3x+2 \over x(x+2)} = {3 \over x} \\
{x^2 \over x(x+2)} + {3x+2 \over x(x+2)} = {3(x+2) \over x(x+2)} \\
\cancel{x(x+2)} \cdot {x^2 \over \cancel{x(x+2)}} + \cancel{x(x+2)} \cdot {3x+2 \over \cancel{x(x+2)}} = \cancel{x(x+2)} \cdot {3(x+2) \over \cancel{x(x+2)}} \\
x^2+3x+2=3(x+2) \\
x^2-4=0 \\
(x+2)(x-2)=0
$$
پاسخهای این معادله عبارتند از \(x=-2\) و \(x=2\) .

هنگامی که پاسخ \(x=2\) را در معادله اصلی امتحان می کنید، به درستی کار می کند:
$$
{2\over2+2}+{3(2)+2\over2(2+2)}={3\over2} \\
{2\over4}+{8\over8}={3\over2} \\
{1\over2}+1={3\over2}
$$
با این حال، وقتیکه پاسخ \(x=-2\) را در معادله اصلی جایگزین می کنید، به نتایج زیر می رسید:
$$
{-2\over -2+2}+{3(-2)+2 \over -2(-2+2)} ={3\over -2} \\
{-2 \over 0} + {-4 \over 0} = {3 \over -2}
$$
همینجا صبر کنید! شما نمی توانید در مخرج کسر صفر داشته باشید. پاسخ \(x=-2\) در معادله درجه دوم به خوبی کار می کند، اما پاسخ معادله گویا نمی باشد، \(-2\) یک پاسخ اضافی می باشد.

حل کردن معادلات گویا با تناسب (proportions)

تناسب (proportion) یک معادله است که در آن یک کسر برابر با کسر دیگری قرار داده شده است. برای مثال معادلۀ \({a \over b}={c \over d}\) ، یک تناسب می باشد. تناسب ها چندین ویژگی بسیار زیبا دارند که منجر می شود، در هنگام حل کردن معادلات گویا، کار با آنها مطلوب باشد، زیرا شما می توانید کسرها را حذف کنید، یا آنها را تغییر بدهید تا مخرج های بهتری را نشان بدهند. همچنین، تناسب ها را می توان به چهار روش مختلف فاکتورگیری کرد.

استفاده از ضرب متقابل برای حل کردن معادلات گویا

برای حل کردن یک معادله همچون \({x+5 \over 2}-{3 \over x}={9 \over x}\) ، می توانید یک مخرج مشترک بیابید و سپس هر سمت معادله را در آن مخرج مشترک ضرب کنید، اما در اینجا یک روش ساده تر و سریعتر داریم:

1. \({3\over x}\) را به هر سمت از معادله بیفزایید و سپس جملات دارای مخرج مشترک را با هم ترکیب کنید تا به یک تناسب برسید.
   $$
   {x+5 \over 2}-{3\over x}+{3\over x}={9\over x}+{3\over x} \\
   {x+5 \over 2}={12\over x}
   $$
   
2. ضرب متقابل (Cross multiply) را انجام بدهید، یا بعبارت دیگر طرفین وسطین کنید.
   $$
   (x+5)x=24
   $$
   

این یک معادله درجه دوم می باشد. در اینجا چگونگی حل کردن این معادله را می بینید:

1. معادله درجه دوم را ساده سازی کنید.
   $$
   (x+5)x=24\\
   x^2+5x=24
   $$
   
2. معادله را برابر با صفر قرار دهید.
   $$ x^2+5x-24=0 $$
   
3. معادله را با فاکتورگیری حل کنید.
   $$
   (x+8)(x-3)=0 \\
   x+8=0, x=-8 \\
   x-3=0, x=3
   $$
   

شما دو پاسخ دارید، \(x=-8\) و \(x=3\) . باید هر دو پاسخ را درست آزمایی کنید تا مطمئن شوید هیچکدام از آنها یک پاسخ اضافی نباشد. وقتی که \(x=-8\) ، داریم:
$$
{-8+5 \over 2}-{3 \over -8}={9 \over -8} \\
-{3\over2}+{3\over8}=-{9\over8} \\
-{12\over8}+{3\over8}=-{9\over8} \\
-{9\over8}=-{9\over8}
$$
همانطور که می بینید، پاسخ \(x=-8\) به درستی کار می کند. بنابراین به سراغ درست آزمایی پاسح \(x=3\) می رویم:
$$
{3+5\over2}-{3\over3}={9\over3} \\
{8\over2}-{3\over3}=3 \\
4-1=3
$$

کاهش کسرها در تناسب، در چهار جهت مختلف

در اینجا چند مثال از کاهش تناسب ها در صورت کسرها (Numerators)، مخرج کسرها (Denominators)، سمت چپ (Left)، و سمت راست (Right)، را می بینید:
$$
\require{cancel}
\begin{array}{c c c c}
\text{ Numerators } & \text{ Denominators } & \text{ Left } & \text{ Right } \\
{15x \over 28}={5\over49} & {3x \over 28} = {1 \over 49} & {100y \over 300(y+1)}={121 \over 77y} & {y \over 3(y+1)}={121 \over 77y} \\
{^3\cancel{15}x \over 28} = {\cancel{5}^1 \over 49} & {3x \over _4\cancel{28}}={1 \over \cancel{49}_7} & {^1\cancel{100}y \over _3\cancel{300}(y+1)} = {121 \over 77y} & {y \over 3(y+1)}={\cancel{121}^{11} \over _7\cancel{77}y} \\
{3x \over 28}={1\over 49} & {3x \over 4}={1 \over7} & {y \over 3(y+1)}={121 \over 77y} & {y \over 3(y+1)}={11 \over 7y}
\end{array}
$$
شکل کاهش یافته کسرها، ضرب متقابل (طرفین وسطین کردن) را بسیار آسانتر و قابل مدیریت تر می کند. برای مثال، تناسب زیر را ببینید. ابتدا صورت کسرها را کاهش می دهید، و سپس کسر سمت چپ را کاهش می دهید. سرانجام، طرفین وسطین کرده و معادله درجه دوم را حل می کنید:
$$
\require{cancel}
{80x \over 16}={30 \over x-5} \\
{^8\cancel{80}x \over 16} = {\cancel{30}^3 \over x-5} \\
{8x \over 16}={3 \over x-5} \\
{^1\cancel{8}x \over _2\cancel{16}} = {3 \over x-5} \\
{x \over 2}={3 \over x-5} \\
x(x-5)=6 \\
x^2-5x=6 \\
x^2-5x-6=0 \\
(x-6)(x+1)=0 \\
x-6=0, x=6 \\
x+1=0, x=-1 \\
$$
پاسخها عبارت از \(x=6\) و \(x=-1\) می باشند. طبق معمول، شما باید پاسخها را درست آزمایی کنید تا مطمئن شوید هیچ ریشه اضافی وجود ندارد:
$$
{80x \over 16}={30 \over x-5} \\
x=6, {80(6) \over 16}={30 \over (6)-5}, {480 \over 16}={30 \over 1}, 480 = 30(16) \\
x=-1, {80(-1) \over 16}={30 \over (-1)-5}, {-80 \over 16}={30 \over -6}, (-80)(-6) = 30(16) \\
$$
هر دو پاسخ با موفقیت درست آزمایی شدند.

معکوس کردن معادلات گویا

آن ویژگی از تناسب که بیان می دارد تناسب \( {a \over b} = {c \over d} \) معادل با معکوس آن یعنی \( {b \over a} = {d \over c} \) می باشد، در معادله ای همچون \({1 \over x-3}={2 \over 5}\) ، سودمند واقع می شود. بعد از معکوس کردن کسرها، در سمت چپ با مخرج \(1\) مواجه می شوید. در این مرحله، تنها کاری که برای حل کردن معادله باید انجام بدهید، اینست که به هر سمت معادله عدد \(3\) را بیفزایید.
$$
{x-3 \over 1}={5 \over 2} \\
x-3 = 2.5 \\
x=5.5
$$