شما از توان های کسری (fractional exponents)، مانند \(x^{1\over2}\) ، برای جایگزین کردن آنها با رادیکال ها و توان های زیر رادیکال استفاده می کنید. نوشتن جملات با توان کسری به شما امکان می دهد تا در مواقعی که دارای پایه یا متغیر یکسان باشند، عملیات را بسیار ساده تر بر روی آنها انجام بدهید.

ترکیب جملات دارای توان کسری

توانهای کسری شاید از نظر ظاهری خیلی بهتر از رادیکال های معادلشان نباشند، اما آیا می توانید ساده کردن عبارت زیر را تصور کنید؟
$$ 5\sqrt[4]{x^3} \cdot 9\sqrt[3]{x^2} $$
شما همیشه می توانید به آیتم دوم در لیست بالا مراجعه کنید تا ببینید چگونه توانهای کسری این ضرب را ممکن می سازند.

فاکتورگیری از توانهای کسری

اگر قانون تقسیم اعداد دارای پایه یکسان را بدانید، به سادگی می توانید عبارتهای دارای متغیرهای با توان کسری را فاکتورگیری کنید: توانهایشان را از یکدیگر تفریق کنید. البته، در هنگام تفریق کسرها، چالش پیدا کردن مخرج مشترک را دارید. به جز آن، بقیه کارها ساده و بدون مشکل است.

به عنوان مثال، برای فاکتورگیری عبارت \(2x^{1\over2}-3x^{1\over3}\) ، توجه داشته باشید که کوچکترین توان بین این دو توان \({1\over3}\) می باشد. \(x\) را که به این توان کوچکتر رسیده باشد فاکتور بگیرید، هر جا که لازم باشد کسرها را به کسرهای معادلشان با مخرجی مشترک تبدیل کنید:
$$
2x^{1\over2}-3x^{1\over3}=x^{1\over3}(2x^{{1\over2}-{1\over3}} - 3x^{{1\over3}-{1\over3}} ) \\
=x^{1\over3}(2x^{{3\over6}-{2\over6}} - 3x^0) \\
=x^{1\over3}(2x^{1\over6}-3)
$$

حل کردن معادلات دارای توان کسری

توانهای کسری نشان دهندۀ رادیکال ها و توان ها می باشند، بنابراین وقتی که بتوانید یک جمله دارای توان کسری را منزوی کنید، می توانید هر سمت را به توان مناسب برسانید تا از شر توان ها خلاص شوید و درنهایت معادله را حل کنید. وقتیکه نمی توانید عبارت دارای توان کسری را منزوی کنید، باید به سایر روش های حل کردن معادله ، همچون فاکتورگیری، متوسل گردید.

به توان رساندن هر دو سمت معادله

اگر بتوانید جمله ای را که دارای توان کسری می باشد منزوی کنید، این کار را انجام بدهید. هدف اینست که توان را برابر با یک قرار بدهید تا بتوانید معادله را برای بدست آوردن \(x\) حل کنید. شما این هدف را با به توان رساندن هر سمت از معادله به توانی که برابر با معکوس توان کسری باشد، به انجام می رسانید.

برای مثال، معادله \(x^{4\over3}=16\) را با رساندن هر سمت معادله به توان \({4\over3}\) حل می کنید، زیرا حاصلضرب یک عدد در معکوس خودش، همواره برابر با یک می شود:
$$
(x^{4\over3})^{3\over4}=(16)^{3\over4} \\
x^1=\sqrt[4]{16^3}
$$
با ارزیابی مقدار رادیکال، مسأله را تمام می کنید:
$$
x=\sqrt[4]{16^3}=(\sqrt[4]{16})^3=(2)^3=8
$$

فاکتورگیری متغیرهای دارای توان کسری

شما همیشه این شانس را ندارید که به همین راحتی قادر باشید هر سمت معادله را به توانی برسانید تا از شر توانهای کسری خلاص شوید. بهترین برنامه بعدی شما برای رفتن به مقابله این مسأله، شامل فاکتورگیری متغیرهای دارای توان کوچکتر و قرار دادن فاکتورها برابر با صفر می باشد.

به عنوان مثال، برای حل کردن معادلۀ \(x^{5\over6}-3x^{1\over2}=0\) ، شما ابتدا \(x\) را با توانی از \({1 \over2}\) فاکتورگیری می کنید:
$$
x^{5\over6}-3x^{1\over2}=0 \\
x^{1\over2}(x^{{5\over6}-{1\over2}} -3)=0 \\
x^{1\over2}(x^{{5\over6}-{3\over6}} -3)=0 \\
x^{1\over2}(x^{2\over6} -3)=x^{1\over2}(x^{1\over3}-3)=0
$$
اکنون می توانید هر دو فاکتور را برابر با صفر قرار بدهید و آنها را برای \(x\) حل کنید:
$$
x^{1\over2}=0,x=0 \\
x^{1\over3}-3=0,x^{1\over3}=3,(x^{1\over3})^3=(3)^3,x=27
$$
شما به دو پاسخ کاملاً متمدن می رسید: \(x=3\) و \(x=27\) .

فاکتورگیری به حاصلضرب دو دوجمله ای

اغلب، می توانید سه جمله ای های دارای توان کسری را به حاصلضرب دو دوجمله ای فاکتورگیری کنید. بعد از فاکتورگیری، دو دوجمله ای را برابر با صفر قرار می دهید تا مشخص کنید آیا می توانید پاسخی بیابید.

به عنوان مثال، برای حل کردن معادله \(x^{1\over2}-6x^{1\over4}+5=0 \) ، ابتدا آن را به دو دوجمله ای فاکتورگیری می کنید. توان متغیر اول، دوبرابر توان متغیر دوم می باشد، که برای شما مشخص می سازد، این سه جمله ای پتانسیل فاکتورگیری را دارد. بعد از فاکتورگیری، عبارت را برابر با صفر قرار می دهید و آن را برای رسیدن به \(x\) حل می کنید:
$$
(x^{1\over4}-1)(x^{1\over4}-5)=0 \\
x^{1\over4}-1=0,x^{1\over4}=1,(x^{1\over4})^4=(1)^4,x=1 \\
x^{1\over4}-5=0, x^{1\over4}=5,(x^{1\over4})^4=(5)^4, x=625
$$
پاسخهایتان را در معادله اصلی درست آزمایی کنید. درخواهید یافت که هر دو پاسخ \(x=1\) و \(x=625\) بدرستی کار خواهند کرد.

قرار دادن توان کسری و توان منفی در کنار یکدیگر

بدون توضیح اینکه چگونه می توانید در یک معادلۀ بزرگ، توان کسری و توان منفی را با یکدیگر ترکیب کنید، این فصل کامل نخواهد بود. ساختن این مسأله بسیار بزرگ، کاری نیست که شما صرفاً به این دلیل انجام بدهید که ببینید یک معادله چقدر می تواند هیجان انگیز باشد. مثال بعدی یک وضعیت است که در مسأله های حسابان پیش می آید. مشتق (derivative) ـــ مشتق یک فرآیند در حسابان می باشد که در آینده با آن آشنا خواهید شد ــــ در حال حاضر انجام شده است، و اکنون شما باید این معادله را حل کنید. معمولاً سختترین بخش در حسابان ، جبر می باشد، بنابراین، من احساس می کنم قبل از اینکه با حسابان درگیر شوید، می توانم به این موضوع اشاره کنم.

دو جمله در معادلۀ \( x(x^3+8)^{1\over3} (x^2-4)^{-{1\over2}} + x^2(x^3+8)^{-{2\over3}} (x^2-4)^{1\over2} = 0 \) دارای فاکتور مشترک \(x(x^3+7)^{-{2\over3}} (x^2-4)^{-{1\over2}} \) می باشند. توجه داشته باشید که هر دو جمله دارای فاکتوری از \(x\) می باشند، همچنین یک فاکتور از \((x^3+8)\) ، و یک فاکتور از \((x^2-4)\) در آنها وجود دارد. (شما باید کمترین توان یک فاکتور را انتخاب کرده و به عنوان بزرگترین عامل مشترک استفاده کنید.)

هر جمله را بر بزرگترین عامل مشترک، تقسیم کنید، معادله به شکل زیر در خواهد آمد:
$$
x(x^3+8)^{1\over3} (x^2-4)^{-{1\over2}} + x^2(x^3+8)^{-{2\over3}} (x^2-4)^{1\over2} = 0 \\
x(x^3+8)^{-{2\over3}} (x^2-4)^{-{1\over2}} \biggl[ (x^3+8)^{{1\over3}-(-{2\over3})} (x^2-4)^{-{1\over2}-(-{1\over2})} + x(x^3+8)^{-{2\over3}-(-{2\over3})} (x^2-4)^{{1\over2}-(-{1\over2})} \biggr] = 0 \\
x(x^3+8)^{-{2\over3}} (x^2-4)^{-{1\over2}} \biggl[ (x^3+8)^{{1\over3}+{2\over3}} (x^2-4)^{-{1\over2}+{1\over2}} + x(x^3+8)^{-{2\over3}+{2\over3}} (x^2-4)^{{1\over2}+{1\over2}} \biggr] = 0 \\
x(x^3+8)^{-{2\over3}} (x^2-4)^{-{1\over2}} \biggl[ (x^3+8)^1 (x^2-4)^0 + x(x^3+8)^0 (x^2-4)^1 \biggr] = 0 \\
x(x^3+8)^{-{2\over3}} (x^2-4)^{-{1\over2}} \biggl[ (x^3+8)^1 + x(x^2-4)^1 \biggr] = 0 \\
$$
اکنون جملات داخل براکت را ساده سازی می کنید:
$$
x(x^3+8)^{-{2\over3}} (x^2-4)^{-{1\over2}} \biggl[ (x^3+8)^1 + x(x^2-4)^1 \biggr] = 0 \\
x(x^3+8)^{-{2\over3}} (x^2-4)^{-{1\over2}} \biggl[ x^3+8 + x^3-4x \biggr] = 0 \\
x(x^3+8)^{-{2\over3}} (x^2-4)^{-{1\over2}} \biggl[ 2x^3-4x+8 \biggr] = 0 \\
2x(x^3+8)^{-{2\over3}} (x^2-4)^{-{1\over2}} \biggl[ x^3-2x+4 \biggr] = 0 \\
$$
شما می توانید هر کدام از چهار فاکتور را (سه فاکتور در بزرگترین عامل مشترک قرار دارند و چهارمین فاکتور در داخل براکت قرار دارد) برابر با صفر قرار دهید تا تمامی پاسخهای معادله را بیابید:
$$
2x(x^3+8)^{-{2\over3}} (x^2-4)^{-{1\over2}} \biggl[ x^3-2x+4 \biggr] = 0 \\
2x=0, x=0 \\
(x^3+8)^{-{2\over3}} = 0, x^3+8=0,x^3=-8,x=-2 \\
(x^2-4)^{-{1\over2}} = 0, x^2-4=0, x=\pm 2 \\
x^3-2x+4 = (x+2)(x^2-2x+2)=0,x=-2
$$
پاسخهایی که یافته اید عبارتند از \(x=0\) ، \(x=2\) ، و \(x=-2\) . در اینجا ریشه های تکراری می بینید، اما من در پاسخها فقط یک بار به هر مورد اشاره کرده ام. معادله درجه دومی که در نتیجۀ فاکتورگیری سه جمله ای \(x^3-2x+4\) بدست می آید، هیچ پاسخ حقیقی ندارد.