خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


بررسی تقاطع ها در درجه دوم ها (Intercepts)

بررسی تقاطع ها در درجه دوم ها (Intercepts)
نویسنده : امیر انصاری
تقاطع ها (intercepts) در یک تابع درجه دوم (یا هر تابع دیگری) نقاطی هستند که نمودار آن تابع از محور \(X\) یا محور \(Y\) عبور می کند. نمودار یک تابع می تواند از محور \(X\) هر تعداد مرتبه عبور کند، اما فقط یک مرتبه می تواند از محور \(Y\) بگذرد.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



چرا باید به تقاطع ها در یک سهمی اهمیتی بدهیم؟ در موقعیت های واقعی زندگی، تقاطع ها در نقاط مورد علاقه ما رخ می دهند ـــ برای مثال، در مقدار دهی اولیه به یک سرمایه گذاری یا در نقطۀ سر به سر (بی سود و بی زیان) یک کسب و کار رخ می دهند.

همچنین تقاطع ها در هنگام ترسیم نمودار یک سهمی بسیار مفیدند. پیدا کردن این نقاط آسان می باشد زیرا یکی از مختصات ها همواره صفر می باشد. اگر تقاطع ها و رأس را داشته باشید، و چیزهایی را در مورد تقارن در سهمی ها بدانید، ایده خوبی از شکل نهایی نمودار خواهید داشت. در مورد رأس ها و همینطور در مورد محور تقارن در ادامه همین فصل صحبت خواهم کرد.

پیدا کردن یک و تنها عرض از مبدأ (y-intercept)


یادتان باشد: عرض از مبدأ (y-intercept) یک تابع درجه دوم برابر با \((0,c)\) می باشد. یک سهمی با معادلۀ استاندارد \(y=ax^2+bx+c\) یک تابع می باشد، بنابراین بنا به تعریف تابع، تنها یک مقدار \(y\) به ازاء هر مقدار \(x\) می تواند وجود داشته باشد. هنگامی که \(x=0\) باشد، همچنان که در عرض از مبدأ اینطور است، معادله به \(y=a(0)^2+b(0)+c=0+0+c=c\) یا \(y=c\) تبدیل می شود. برابری های \(x=0\) و \(y=c\) با یکدیگر ترکیب می شوند تا به عرض از مبدأ یعنی \((0,c)\) تبدیل شوند.

برای پیدا کردن عرض از مبدأ در توابعی که در ادامه آمده اند، اجازه دهید \(x=0\) باشد:

  • \(y=4x^2-3x+2\) : هنگامی که \(x=0\) ، سپس \(y=2\) (یا \(c=2\)) . عرض از مبدأ برابر با \((0,2)\) خواهد بود.
  • \(y=-x^2-5\) : اگر \(x=0\) ، سپس \(y=2\) (یا \(c=2\)). اجازه ندهید جا افتادن جملۀ \(x\) شما را به اشتباه بیندازد. عرض از مبدأ برابر با \((0,-5)\) می باشد.
  • \(y={1\over2}x^2+{3\over2}x\) : اگر \(x=0\)، سپس \(y=0\) . این معادله جمله ثابت ندارد. شما همچنین می توانید بگویید جملۀ ثابت ناپیدا برابر با صفر می باشد. عرض از مبدأ برابر با \((0,0)\) خواهد بود.

مردم با توابع درجه دوم می توانند موقعیتهای فراوانی را مدل سازی کنند، و مکانهایی که در آنها متغیرهای ورودی یا متغیرهای خروجی برابر با صفر می شوند، حائز اهمیت هستند. برای مثال، یک شرکت شمع سازی متوجه شده است که سودش مبتنی بر تعداد شمعهایی که می سازد و به فروش می رساند، می باشد. این شرکت از تابع \(P(x)=-0.05x^2+8x-140\) استفاده می کند، در این تابع \(x\) نماینده تعداد شمع ها و \(P\) مخفف profit (سود) می باشد. همانطور که از روی معادله می توانید متوجه شوید، نمودار این سهمی رو به سمت پایین باز می شود، زیرا \(a\) عددی منفی می باشد. شکل 3-7 یک طرح از نمودار سود می باشد، که در آن محور \(Y\) نشان دهندۀ سود و محور \(X\) نشان دهندۀ تعداد شمع ها می باشند.

بررسی تقاطع ها در درجه دوم ها (Intercepts)
نکات فنی: آیا استفاده از یک تابع درجه دوم برای مدل سازی سود معنادار است؟ چرا بعد از یک تعداد نقطه، سود کاهش می یابد؟ آیا این در کسب و کار دارای معنایی می باشد؟ اگر این را لحاظ کنید ممکن است معنادار باشد، هنگامی که تعداد زیادی شمع می سازید، هزینۀ اضافه کاری و نیاز به ماشین آلات بیشتر نقشی را ایفا می کنند.

در مورد عرض از مبدأ چطور؟ چه نقشی را بازی می کند، و در مورد این شرکت شمع سازی، چه معنایی دارد؟ شما می توانید بگویید که \(x=0\) برابر با عدم تولید و فروش هیچ شمعی می باشد. طبق معادله و نمودار، در اینجا مختصات \(y\) از عرض از مبدأ برابر با \(-140\) می باشد. این برای پیدا کردن سود منفی (زیان) در صورتیکه شرکت هزینه هایی برای پرداخت داشته باشد (حتی اگر هیچ شمعی نفروشد): بیمه، حقوق و دستمزد، پرداخت وام مسکن، و به همین ترتیب. با اندکی تفسیر، می توانید یک توضیح منطقی برای منفی بودن عرض از مبدأ در این مورد پیدا کنید.

پیدا کردن طول از مبدأ ها (x-intercepts)


طول از مبدأ های درجه دوم ها را زمانی پیدا می کنید که آن معادلات را برای صفرها یا پاسخ ها حل کنید. روشی که برای حل کردن معادله برای صفرها استفاده می کنید همان روشی است که برای حل کردن تقاطع ها مورد استفاده قرار می دهید، زیرا آنها در واقع چیزهای یکسانی هستند. اسامی بسته به کاربرد ممکن است تغییر کنند (تقاطع، صفر، یا پاسخ)، اما شما این تقاطع ها را به شیوه یکسانی می یابید.

سهمی های دارای معادله ای در شکل استاندارد \(y=ax^2+bx+c\) رو به سمت بالا یا پایین باز می شوند و ممکن است طول از مبدأ هایی داشته باشند یا فاقدش باشند. برای مثال، به شکل 4-7 بنگرید. شما یک سهمی با دو طول از مبدأ می بینید (بخش a)، یک سهمی با یک طول از مبدأ (بخش b)، و یک سهمی بدون طول از مبدأ (بخش c). با این حال توجه داشته باشید که همۀ آنها دارای عرض از مبدأ می باشند.

بررسی تقاطع ها در درجه دوم ها (Intercepts)
مختصات تمامی طول از مبدأها دارای صفر می باشد. مقدار \(y\) در مختصات برابر با صفر می باشد، و شما آن را در شکل \((h,0)\) می نویسید. چگونه مقدار \(h\) را بیابید؟ در معادله عمومی، اجازه دهید \(y=0\) باشد و سپس آن را برای بدست آوردن \(x\) حل کنید. برای حل کردن معادلۀ \(0=ax^2+bx+c\) دو گزینه دارید:

  • از فرمول حل کردن معادلات درجه دوم استفاده کنید (برای یادآوری دانسته هایتان در این زمینه فصل 3 را ببینید).
  • سعی کنید تا عبارت را فاکتورگیری کنید و از ویژگی ضرب صفر (MPZ) استفاده نمایید (جهت یادآوری فصل 1 را ببینید).

صرفنظر از اینکه کدام روش را انتخاب می کنید، یکسری دستورالعمل ها در اختیار دارید که به شما کمک می کنند تا تعداد طول از مبدأهایی را که باید بیابید، برای شما مشخص گردند.

قوانین جبر: هنگامی که با حل کردن \(0=ax^2+bx+c\) ، طول از مبدأها را می یابید:

  • دو طول از مبدأ خواهید یافت، اگر:
    • عبارت شما به دو دوجمله ای مختلف فاکتورگیری شود.
    • فرمول حل کردن معادله درجه دوم، مقداری بزرگتر از صفر را در زیر رادیکال به شما بدهد.

  • یک طول از مبدأ (ریشۀ مضاعف) را خواهید یافت، اگر:
    • عبارت شما به مربع یک دوجمله ای فاکتورگیری شود.
    • فرمول حل کردن معادله درجه دوم، مقدار صفر را در زیر رادیکال به شما بدهد.

  • هیچ طول از مبدأ ای نخواهید یافت، اگر:
    • عبارت فاکتورگیری نشود و
    • فرمول درجه دوم مقداری کوچکتر از صفر را در زیر رادیکال به شما بدهد (که نشان دهندۀ یک ریشۀ موهومی می باشد. در فصل 14 در مورد اعداد موهومی و اعداد پیچیده بحث خواهیم داشت).

برای مثال، جهت پیدا کردن طول از مبدأ های \(y=3x^2+7x-40\) ، می توانید \(y\) را برابر با صفر قرار بدهید و معادله درجه دوم را با فاکتورگیری حل کنید:
$$
0=3x^2+7x-40 \\[2ex]
=(3x-8)(x+5) \\[2ex]
3x-8=0, x={8\over3} \\[2ex]
x+5=0,x=-5
$$
دو طول از مبدأ عبارت از \( ({8\over3},0) \) و \( (-5,0) \) می باشند. می توانید ببینید که این معادله به دو فاکتور مختلف، فاکتورگیری می شود. در مواردیکه نمی توانید با استفاده از فاکتورگیری پاسخها را بیابید، می توانید از فرمول حل کردن معادلۀ درجه دوم، استفاده کنید. توجه داشته باشید که در محاسبات زیر، عدد زیر رادیکال بزرگتر از صفر می باشد، به این معنا که شما دو پاسخ خواهید داشت:
$$
x={-7 \pm \sqrt{7^2-4(3)(-40)} \over 2(3)} \\[2ex]
={-7 \pm \sqrt{49-(-480)} \over 6} \\[2ex]
={-7 \pm \sqrt{529} \over 6}={-7 \pm 23 \over 6} \\[2ex]
x={-7 + 23 \over 6}={16 \over 6}={8 \over 3} \\[2ex]
x={-7 - 23 \over 6}={-30 \over 6}=-5
$$
در اینجا مثال دیگری با نتایجی متفاوت داریم. برای پیدا کردن طول از مبدأ \(y=-x^2+8x-16\) ، می توانید \(y\) را برابر با صفر قرار دهید و معادله درجه دوم را با فاکتورگیری حل کنید:
$$
0=-x^2+8x-16 \\[2ex]
0=-(x^2-8x+16) \\[2ex]
0=-(x-4)^2 \\[2ex]
4=x
$$
تنها طول از مبدأ برابر با \((4,0)\) می باشد. معادله به مربع یک دوجمله ای فاکتورگیری می شود ـــ یک ریشۀ مضاعف (double root). شما می توانید با استفاده از فرمول حل کردن معادلۀ درجه دوم به پاسخ یکسانی برسید ـــ توجه داشته باشید که مقدار زیر رادیکال برابر با صفر خواهد بود:
$$
x = {-8 \pm \sqrt{8^2-4(-1)(-16)} \over 2(-1)} \\[2ex]
x = {-8 \pm \sqrt{64-(64)} \over -2} \\[2ex]
x = {-8 \pm \sqrt{0} \over -2}={-8 \over -2}=4
$$
این مثال آخر، به شما نشان می دهد چگونه تعیین کنید معادله ای طول از مبدأ ندارد. برای پیدا کردن طول از مبدأهای \(y=-2x^2+4x-7\) ، می توانید \(y\) را برابر با صفر قرار بدهید و سعی کنید تا معادله درجه دوم را فاکتورگیری کنید، اما ممکن است زمانی را در تمرین آزمون و خطا سپری کنید، زیرا نمی توانید این کار را انجام بدهید. این معادله دارای هیچ فاکتورهایی نمی باشد که این معادله را به شما نتیجه بدهد.

هنگامی که فرمول معادله درجه دوم را امتحان می کنید، خواهید دید که مقدار زیر رادیکال کوچکتر از صفر می شود. یک عدد منفی در زیر رادیکال، عددی موهومی (imaginary number) می باشد:
$$
x={-4 \pm \sqrt{4^2-4(-2)(-7)} \over 2(-2)} \\[2ex]
x={-4 \pm \sqrt{16-(56)} \over -4} \\[2ex]
x={-4 \pm \sqrt{-40} \over -4}
$$
افسوس، این سهمی هیچ طول از مبدأ ای ندارد.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.