پیدا کردن تقاطع ها (یا ریشه ها یا صفرها) در چندجمله ای ها، بسته به پیچیدگی آن تابع، می تواند نسبتاً ساده یا اندکی چالش انگیز باشد. چندجمله ایهای فاکتورگیری شده دارای ریشه هایی می باشند که صرفاً همانجا می ایستند و فریاد می زنند "من اینجام!"، چندجمله ایهایی که به سادگی فاکتورگیری می شوند، بسیار مطلوبند. با این حال، چندجمله ایهایی که به هیچ وجه قابل فاکتورگیری نمی باشند، به کامپیوترها یا ماشین حسابهای نموداری واگذار می شوند.





چندجمله ای هایی که باقی می مانند آنهایی هستند که با اندکی برنامه ریزی و کار، فاکتورگیری می شوند. فرآیند برنامه ریزی شامل شمارش تعداد ریشه های حقیقی مثبت و منفیِ ممکن و تهیه لیستی از ریشه های گویای بالقوه می باشد. و کار مورد اشاره، استفاده از تقسیم ترکیبی (synthetic division) برای سنجش لیست انتخابها برای یافتن ریشه ها می باشد.

فاکتورگیری برای ریشه های چندجمله ای

مادامیکه چندجمله ای شما در شکل زیبای فاکتورگیری شده باشد، پیداکردن تقاطع های چندجمله ای ها مشکل نیست. شما صرفاً \(y\) را برابر با صفر قرار می دهید و از ویژگی ضرب صفر برای یافتن تقاطع ها استفاده می کنید. اما اگر چندجمله ای در شکل فاکتورگیری شده نباشد، چطور؟ چه باید بکنید؟ خوب، البته که باید آن را فاکتورگیری کنید. این بخش با چندجمله ایهایی که به سادگی قابل فاکتورگیری هستند، سروکار دارد، و خوشبختانه بیش از \(70\) درصد چندجمله ای هایی که با آنها برخورد خواهید داشت از این نوع هستند. انواع چالش انگیزتر را در بخشهای بعدی همین فصل بررسی خواهیم کرد.

به کار بردن الگوهای فاکتورگیری و گروه بندی

در توابع چندجمله ایِ قابل فاکتورگیری، نیمی از مبارزه شناسایی الگوها می باشد. شما می خواهید از مزایای الگوها بهره مند شوید. اگر هیچ الگویی نمی بینید (یا هیچ الگویی وجود نداشته باشد)، نیاز خواهید داشت تا بررسی بیشتری کنید. ساده ترین الگوهای فاکتورگیری قابل شناسایی که در چندجمله ایها مورد استفاده قرار می گیرند، موارد زیر می باشند:

• تفاضل بین مربع ها (Difference of squares)
  $$ a^2-b^2 = (a+b)(a-b) $$
  
• بزرگترین عامل مشترک (Greatest common factor)
  $$ ab \pm ac = a(b \pm c) $$
  
• تفاضل بین مکعب ها (Difference of cubes)
  $$ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) $$
  
• مجموع بین مکعب ها (Sum of cubes)
  $$ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) $$
  
• مربع کامل سه جمله ای (Perfect square trinomial)
  $$ a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2 $$
  
• فاکتورگیری سه جمله ای ها (Trinomial factorization)
  استفاده از روش UnFOIL
  
  
• فاکتورهای مشترک در گروه ها (Common factors in groups)
  فاکتورگیری با روش گروه بندی (Grouping)
  

مثالهای زیر روش های مختلف فاکتورگیری را ترکیب کرده اند. آنها شامل مکعب کامل و مربع کامل و همۀ انواع دیگر ترکیبهای خوب از الگوهای فاکتورگیری می باشند.

برای مثال، جهت فاکتورگیری چندجمله ای زیر، ابتدا باید از بزرگترین عامل مشترک و سپس از تفاضل بین مربع ها استفاده کنید:
$$
y=x^3-9x \\
=x(x^2-9) \\
=x(x+3)(x-3)
$$
این چندجمله ای با استفاده از مجموع دو مکعب کامل، فاکتورگیری می شود:
$$
y=27x^3+8 \\
= (3x+2)(9x^2-6x+4)
$$
چندجمله ای بعدی را در ابتدا با گروه بندی فاکتورگیری می کنید. دو جملۀ آغازین دارای عامل مشترکی از \(x^3\) و دو جملۀ بعدی دارای فاکتور مشترکی از \(-125\) می باشند. معادلۀ جدید دارای فاکتور مشترک \(x^2-1\) می باشد. بعد از انجام فاکتورگیری، خواهید دید که فاکتور اول تفاضل بین مربع ها و فاکتور دوم تفاضل بین مکعب ها می باشد:
$$
y=x^5-x^3-125x^2+125 \\
=x^3(x^2-1)-125(x^2-1) \\
=(x^2-1)(x^3-125) \\
=(x+1)(x-1)(x-5)(x^2+5x+25)
$$
این چندجمله ای آخر، به شما نشان می دهد، چگونه ابتدا بزرگترین عامل مشترک را استفاده کرده و سپس با مربع کامل سه جمله ای، فاکتورگیری نمایید:
$$
y=x^6-12x^5+36x^4 \\
=x^4(x^2-12x+36) \\
=x^4(x-6)^2
$$

لحاظ کردن غیر قابل فاکتورگیری

اگر هر چیزی را که لازم می داشتیم دم دستمان می بود، و همینطور اگر همۀ چندجمله ایها به سادگی قابل فاکتورگیری می بودند، زندگی فوق العاده می شد. من نمی خواهم وارد جزئیات سختیهای زندگیتان بشوم، اما چندجمله ایهایی که قابل فاکتورگیری نمی باشند، باید مورد بحث قرار گیرند. شما نمی توانید صرفاً آنها را رها کنید و به مسیر خودتان ادامه بدهید. در برخی موارد، چندجمله ایها قابل فاکتورگیری نیستند، اما دارای تقاطع هایی می باشند که مقادیر اعشاری بدون انتها هستند. چندجمله ایهای دیگری نه فاکتورگیری می شوند و نه طول از مبدأ ای دارند.


ریشه های اصم (Irrational roots) بدین معنا می باشند که طول از مبدأها با رادیکالها یا اعداد اعشاری گرد شده نوشته شده اند. اعداد اصم (Irrational numbers)، اعدادی هستند که نمی توانید آنها را به شکل کسر بنویسید؛ این اعداد را معمولاً با گرفتن ریشۀ مربع (ریشه دوم یا جذر) اعدادی که مربع کامل نمی باشند و یا با گرفتن ریشۀ مکعب (ریشه سوم) اعدادی که مکعب کامل نمی باشند، بدست می آورید. گاهی اوقات در صورتیکه یکی از فاکتورهای چندجمله ای درجه دوم باشد، می توانید آن را برای بدست آوردن ریشه های اصم حل کنید. در اینگونه موارد با استفاده از فرمول حل کردن معادلۀ درجه دوم (quadratic formula) می توانید بدین هدف نائل شوید.


برای مثال، چندجمله ایهای دارای شکلهای زیر فاکتورگیری نمی شوند:

• \(x^{2n}+c\) . یک چندجمله ای در این شکل دارای ریشۀ حقیقی یا پاسخی نمی باشد. در این ارتباط می توانید به فصل 14 مراجعه کنید تا چگونگی برخورد با اعداد موهومی (imaginary numbers) را بدانید.
  
• \(x^2+ax+a^2\) . فرمول حل کردن معادلۀ درجه دوم به شما کمک می کند تا ریشه های موهومی (imaginary roots) را تعیین کنید.
  
• \(x^2-ax+a^2\) . این شکل نیز به فرمول حل کردن معادله درجه دوم نیاز دارد. شما به ریشه های موهومی خواهید رسید.
  

مثالهای دوم و سوم بخشی از فاکتورگیری تفاضل یا مجموع دو مکعب می باشند. در فصل 3، شما مشاهده کردید که چگونه تفاضل یا مجموع مکعبها فاکتورگیری می شوند، و در آنجا به شما گفته شد که سه جمله ای حاصل از این نوع فاکتورگیری، قابل فاکتورگیری نمی باشد.

قضیۀ ریشۀ گویا (Rational Root Theorem)

اگر فاکتورگیری یک چندجمله ای برای شما آشکار نباشد، چه کار خواهید کرد؟ شما احساس خواهید کرد که آن چندجمله ای قابل فاکتورگیری می باشد، اما اعداد لازم برای فاکتورگیری از شما فرار می کنند. اصلاً نترسید! راوی وفادار شما راهش را به شما خواهد گفت. کمک من به شما در قالب قضیه ریشۀ گویا (Rational Root Theorem) می باشد. این قضیه واقعاً شسته و رفته است، زیرا بسیار منظم و قابل پیش بینی می باشد، و یک پایان بدیهی برای آن وجود دارد؛ وقتیکه کار تمام شد، شما خواهید دانست و جستجو برای پاسخها را متوقف می کنید. اما قبل از اینکه بتوانید این قضیه را به کار بگیرید، باید قادر باشید یک ریشۀ گویا را شناسایی کنید.


آنچیزی که اعداد گویا (rational numbers) را از متضاد آنها یعنی اعداد اصم (irrational numbers)، متمایز می کند، کاری است که با معادل اعشاری آنها انجام می شود. عدد اعشاری مرتبط با یک کسر (عدد گویا) یا جایی خاتمه می یابد و یا اینکه با یک الگوی تکراری، ادامه می یابد. معادل اعشاری یک عدد اصم هرگز خاتمه نمی یابد و هیچ الگوی تکراری نیز در آن یافت نمی شود؛ صرفاً سرگردان و بی هدف ادامه می یابد.

استفادۀ مفید از قضیه ریشۀ گویا

با این حال، قبل از اینکه شروع به جایگذاری و آغاز عملیات کنید، آگاه باشید که در ادامۀ همین فصل ترفندهایی برای ساده تر کردن این فرآیند مطرح شده است. همچنین در همین فصل شما را با تقسیم ترکیبی که روشی سریعتر از جایگذاری می باشد آشنا خواهیم کرد.

چندجمله ایهای دارای جملۀ ثابت

به عنوان مثال، برای یافتن ریشه های چندجمله ایِ \(y=x^4-3x^3+2x^2+12\) ، شما این احتمالات را تست خواهید کرد: \(\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12 \) . این اعداد تمامی فاکتورهای \(12\) می باشند. از نقطه نظر فنی، شما هر کدام از فاکتورهای \(12\) را بر فاکتورهای ضریب آغازینِ چندجمله ای تقسیم خواهید کرد، اما از آنجا که در این مثال ضریب آغازین یک می باشد \( (1x^4) \) ، تقسیم کردن بر آن عدد، چیزی را تغییر نمی دهد. توجه: علامتها را نادیده می گیرید، زیرا فاکتورهای \(12\) و \(1\) می توانند مثبت یا منفی باشند، و شما چندین ترکیب را می یابید که به شما ریشه های مثبت یا منفی را بدهند. هنگام تست ریشه ها در معادلۀ تابع، علامتها را پیدا خواهید کرد.

برای یافتن ریشه های یک چندجمله ای دیگر، \(y=6x^7 - 4x^4 -4x^3 + 2x - 20\) ، ابتدا تمامی فاکتورهای \(20\) را لیست می کنید: \( \pm1, \pm2, \pm4, \pm5, \pm10, \pm20\) . اکنون تمامی این فاکتورها را بر فاکتورهای \(6\) تقسیم می کنید. لازم نیست برای تقسیم کردن بر \(1\) خودتان را اذیت کنید، اما نیاز دارید که آنها را بر \(2\) ، \(3\) ، و \(6\) تقسیم کنید:
$$
\pm {1\over2}, \pm {2\over2}, \pm {4\over2}, \pm {5\over2},\pm {10\over2}, \pm {20\over2}, \\[3ex]
\pm {1\over3}, \pm {2\over3}, \pm {4\over3}, \pm {5\over3},\pm {10\over3}, \pm {20\over3}, \\[3ex]
\pm {1\over6}, \pm {2\over6}, \pm {4\over6}, \pm {5\over6},\pm {10\over6}, \pm {20\over6}
$$
ممکن است متوجه شده باشید که در لیست قبلی بعد از ساده سازی کسرها با مواردی تکراری مواجه خواهید شد. برای نمونه، \(\pm{2\over2}\) برابر با \(\pm1\) می باشد، و \(\pm{10\over6}\) برابر با \(\pm{5\over3}\) می باشد. با وجودیکه این ممکن است یک لیست طولانی بین اعداد صحیح و اعداد کسری به نظر آید، همچنان تعداد قابل توجهی نامزد منطقی را برای امتحان کردن در اختیار شما می گذارد. شما می توانید آنها را با روشی سیستماتیک درست آزمایی کنید.

چندجمله ایهای بدون جملۀ ثابت

هنگامیکه یک چندجمله ای، جملۀ ثابت نداشته باشد، شما ابتدا باید بالاترین توان متغیری را که می توانید، فاکتورگیری کنید. برای مثال، اگر بدنبال ریشه های گویای ممکن برای \(y=5x^8 -3x^4-4x^3+2x\) می باشید، و قصد استفاده از قضیۀ ریشۀ گویا را دارید، چیزی به غیر از صفر بدست نخواهید آورد. شما جملۀ ثابتی ندارید ـــ یا می توانید بگویید که ثابت برابر با صفر می باشد، بنابراین تمامی صورتهای کسرها برابر با صفر خواهند بود.

شما می توانید با بیرون کشیدن فاکتوری از \(x\) بر این مشکل چیره شوید: \(y=x(5x^7 -3x^3-4x^2+2)\) . این به شما ریشۀ صفر را می دهد. اکنون قضیۀ ریشۀ گویا را بر روی چندجمله ای جدید موجود در داخل پرانتز بکار می گیرید تا ریشه های ممکن را بدست آورید:
$$ \pm1, \pm2, \pm{1\over5},\pm{2\over5} $$

تغییر دادن ریشه ها به فاکتورها

وقتیکه شکل فاکتورگیری شدۀ یک چندجمله ای را داشته باشید و آن را برابر با \(0\) قرار دهید، می توانید آن را برای یافتن پاسخها (یا طول از مبدأها) حل کنید. همچنین اگر پاسخها را داشته باشید، می توانید به عقب بازگردید و شکل فاکتورگیری شدۀ آن را بنویسید. وقتیکه چندجمله ایهایی دارید که در صورت و مخرج کسرها هستند و می خواهید کسرها را ساده کنید، شکلهای فاکتورگیری شده مورد نیاز می باشند. مقایسه شکلهای فاکتورگیری شده با یکدیگر آسانتر است.

چگونه می توانید قضیۀ ریشۀ گویا را برای فاکتورگیری یک تابع چندجمله ای مورد استفاده قرار دهید؟ چرا باید بخواهید این کار را انجام بدهید؟ پاسخ سوال دوم اینست که تا بتوانید در کسرها، شکل فاکتورگیری شده را کاهش دهید (ساده سازی کنید). همچنین، ترسیم نمودار شکل فاکتورگیری شده ساده تر می باشد. حالا پاسخ سوال اول: شما از قضیۀ ریشۀ گویا استفاده می کنید تا ریشه های یک چندجمله ای را بیابید و سپس آن ریشه ها را به فاکتورهای دوجمله ای ترجمه می کنید که حاصلضرب آنها چندجمله ای مربوطه را تشکیل بدهند. (روشهای اینکه چگونه از لیست ریشه های ممکن که قضیۀ ریشۀ گویا به شما می دهد، بتوانید ریشه ها را بیابید، در ادامۀ همین فصل مورد بحث قرار می گیرند.)


به عنوان مثال، برای یافتن فاکتورهای یک چندجمله ای که دارای پنج ریشۀ زیر می باشد:
$$ x=1,x=-2,x=3,x={3\over2},x=-{1\over2} $$
شما قانون اخیر را به این شکل بکار می گیرید:
$$ f (x) = (x – 1)(x + 2)(x – 3)(2x – 3)(2x + 1) $$
توجه داشته باشید که ریشه های مثبت، فاکتورهایی به شکل \(x-c\) ، و ریشه های منفی، فاکتورهایی به شکل \(x+c\) ، که از \(x-(-c)\) می آید، به شما می دهند.

برای نشان دادن ریشه های مکرر (multiple roots) ، یا ریشه هایی که بیش از یک مرتبه رخ می دهند، از توانها بر روی فاکتورها استفاده نمایید. به عنوان مثال، اگر ریشه های یک چند جمله ای موارد زیر باشند:
$$ x = 0, x = 2, x = 2, x = –3, x = –3, x = –3, x = –3, x = 4 $$
چندجمله ای متناظر این ریشه ها می شود:
$$ f (x) = x(x – 2)^2 (x + 3)^4 (x – 4) $$

قانون علامتهای دکارت (Descartes’ Rule of Signs)

رنه دکارت (Rene Descartes) یک ریاضیدان و فیلسوف فرانسوی بود. یکی از کمک های او به جبر قانون علامتهای دکارت (Descartes’ Rule of Signs) می باشد. این قانون راحت و مفید سلاحی در انبار مهمات شما، برای جنگ پیدا کردن ریشه ها در توابع چندجمله ای می باشد. اگر این قانون را با قضیۀ ریشۀ گویا جفت کنید، برای موفقیت بخوبی تجهیز شده اید.

قانون علامتها به شما می گوید در یک چندجمله ای، چند ریشۀ حقیقی مثبت و منفی ممکن است بیابید. یک عدد حقیقی (real number)، تقریباً هر عددی است که شما بتوانید به آن فکر کنید. عدد حقیقی می تواند مثبت یا منفی باشد، گویا (rational) یا اصم (irrational) باشد. تنها چیزی که نمی تواند باشد اینست که عددی موهومی (imaginary) باشد. (اگر می خواهید در مورد اعداد موهومی بیشتر بدانید، فصل 14 را ببینید.)

شمارش ریشه های مثبت (positive roots)

اولین بخش قانون علامتها، به شما کمک می کند تا تعداد ریشه های مثبت یک چندجمله ای را تشخیص بدهید.


به عنوان مثال، برای استفاده از بخش اول قانون علامتهای دکارت بر روی چندجمله ایِ
$$ f (x) = 2x^7 – 19x^6 + 66x^5 – 95x^4 + 22x^3 + 87x^2 – 90x + 27 $$
تعداد تغییر علامتها را شمارش می کنید. علامت جملۀ اول با مثبت آغاز شده است، به منفی تغییر می کند، و دوباره مثبت می شود، منفی، مثبت، همچنان مثبت باقی می ماند، منفی، و سپس مثبت. اوه! در مجموع، شما شش تغییر علامت را شمارش می کنید. بنابراین، نتیجه گیری می کنید که این چندجمله ای دارای شش ریشۀ مثبت، یا دارای چهار ریشۀ مثبت، یا دارای دو ریشۀ مثبت، و یا هیچ ریشه مثبت می باشد. از میان هفت ریشۀ ممکن، به نظر می رسد، حداقل یکی منفی باشد. (راستی، این چندجمله ای دارای شش ریشۀ مثبت می باشد؛ چون من آن را اینطوری ساخته ام! تنها راهی که می توانید این مطلب را بدون اینکه به شما گفته شود بدانید، اینست که ادامه بدهید و ریشه ها را با کمک قانون علامتها بیابید.)

تغییر دادن تابع برای شمارش ریشه های منفی

علاوه بر ریشه های مثبت، قانون علامتهای دکارت با تعداد ریشه های منفی چندجمله ایها نیز درگیر می شود. بعد از اینکه تعداد ریشه های مثبت ممکن را شمارش کردید، آن مقدار را با تعداد ریشه های منفی ممکن ترکیب می کنید تا حدسهای خودتان را بزنید و معادله را حل کنید.


به عنوان مثال برای تعیین تعداد ریشه های منفی در چندجمله ایِ
$$ f (x) = 2x^7 – 19x^6 + 66x^5 – 95x^4 + 22x^3 + 87x^2 – 90x + 27 $$
ابتدا \(f(-x)\) را با جایگزین کردن \(-x\) به جای \(x\) و سپس ساده سازی عبارت، می یابید:
$$ f(-x)= 2(-x)^7-19(-x)^6+66(-x)^5 -95(-x)^4 +22(-x)^3+87(-x)^2-90(-x)^1+27 \\[3ex]
=-2x^7-19x^6-66x^5-95x^4-22x^3+87x^2+90x+27
$$
همانطور که می بینید، این تابع تنها یک تغییر علامت، از منفی به مثبت، دارد. بنابراین، این تابع تنها یک ریشۀ منفی دارد ـــ نه بیشتر، و نه کمتر.