خط های مجانب (Asymptotes)

نمودارهای توابع گویا به دلیل خط های مجانب (Asymptotes) برخی اشکال متمایز را به خود می گیرند. یک خط مجانب به نوعی یک خط سایه و خیالی است. خط های مجانب در نمودارهای توابع گویا ترسیم می شوند تا شکل و جهت نمودار تابع را نشان دهند. با این وجود، خط های مجانب واقعاً بخشی از نمودار نمی باشند، زیرا از مقادیر توابع ساخته نشده اند. بلکه، آنها نشان می دهند که تابع در کجاها نمی باشد. شما در هنگام ترسیم نمودار توابع، به آرامی خط های مجانب را ترسیم می کنید تا در تولید محصول نهایی به شما کمک کنند. انواع خط های مجانب که معمولاً در توابع گویا می توانید بیابید، شامل موارد زیر می باشند:

خط های مجانب عمودی (Vertical asymptotes)
خط های مجانب افقی (Horizontal asymptotes)
خط های مجانب مورب (Oblique asymptotes)

در این بخش، من برای شما شرح خواهم داد که چگونه محاسبات پیچیده ای را بر روی معادلات گویا انجام بدهید تا خط های مجانب را شناسایی کرده و آنها را ترسیم نمایید.

تعیین معادلات خط های مجانب عمودی

معادلات خط های مجانب عمودی در شکل $x=h$ ظاهر می شوند. این معادله یک خط فقط دارای مقدار متغیر $x$ و عدد $h$ می باشد ـــ مقدار $y$ ندارد. یک خط مجانب عمودی در تابع گویایِ $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ در صورتی رخ می دهد که $f(x)$ و $g(x)$ دارای عامل مشترکی نباشند، و در آن مقادیری ظاهر می شود که در آنها مخرج برابر با صفر باشد ـــ $g(x)=0$ . (به عبارت دیگر، خط های مجانب عمودی در مقادیری رخ می دهند که در دامنۀ آن تابع گویا قرار نمی گیرند.)

یادتان باشد: یک ناپیوستگی (discontinuity) جایی است که یک تابع گویا در آن وجود نداشته باشد ـــ شما یک وقفه در جریان اعدادی که در معادلۀ تابع مورد استفاده قرار می گیرند، بیابید. یک ناپیوستگی با یک مقدار عددی مشخص می شود که به شما می گوید تابع در چه جایی تعریف نشده است؛ این عدد در دامنۀ آن تابع نمی باشد. شما می دانید که یک تابع جایی ناپیوسته است که یک خط مجانب عمودی در نمودار ظاهر شود زیرا خط های مجانب عمودی وقفه ها یا شکاف ها در آن دامنه را مشخص می کنند.

به عنوان مثال، برای یافتن خط های مجانب عمودی در تابع $y=\frac{x}{x^2-4x+3}$ ، ابتدا توجه کنید که هیچ عامل مشترکی در صورت و مخرج کسر وجود ندارد. سپس مخرج کسر را برابر با صفر قرار می دهید. با فاکتورگیری $x^2-4x+3$ ، به نتیجۀ $(x-1)(x-3)=0$ می رسید. پاسخها عبارت از $x=1$ و $x=3$ می باشند، که معادلات خط های مجانب عمودی می باشند.

تعیین معادلات خط های مجانب افقی

خط های مجانب افقی در یک تابع گویا دارای یک معادله می باشند که در شکل $y=k$ ظاهر می شود. این معادله خطی فقط دارای متغیر $y$ می باشد و $k$ یک عدد می باشد ـــ مقدار $x$ ندارد. یک تابع گویا $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ فقط یک خط مجانب افقی دارد ـــ البته اگر کلاً خط مجانبی داشته باشد. برخی از توابع گویا خط مجانب افقی ندارند، برخی دیگر فقط یکی دارند، و هیچکدام بیش از یکی را ندارند. یک تابع گویا در صورتی دارای یک خط مجانب افقی می باشد که درجۀ (بالاترین توان) $f(x)$ ، یعنی چندجمله ای موجود در صورت کسر، کوچکتر یا برابر با درجۀ $g(x)$، یعنی چندجمله ای موجود در مخرج کسر باشد.

قوانین جبر: قانون تعیین معادلۀ یک خط مجانب افقی اینست: خط مجانب افقی برای تابع $y=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + ... + a_0 }{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + b_{m-2}x^{m-2} + ... + b_0}$ برابر با $y=\frac{a_n}{b_m}$ می باشد، وقتیکه $n=m$ باشد، بدین معناست که بالاترین درجۀ این چندجمله ایها یکسان می باشند. این کسر از ضریب آغازین این دو دوجمله ای تشکیل شده است. وقتیکه $n \lt m$ باشد، بدین معنا است که درجۀ صورت کسر کوچکتر از درجۀ مخرج کسر می باشد، $y=0$ است.

به عنوان مثال، اگر بخواهید خط مجانب افقی برای تابع $y=\frac{3x^4-2x^3+7}{x^5-3x^2-5}$ را بیابید، از قانون بیان شدۀ اخیر استفاده می کنید. از آنجا که $4 \lt 5$ است، خط مجانب افقی برابر با $y=0$ است. اکنون ببینید اگر درجۀ مخرج کسر برابر با درجۀ صورت کسر باشد، چه اتفاقی می افتد. خط مجانب افقیِ $y=\frac{3x^4-2x^3+7}{x^4-3x^2-5}$ برابر با $y=3$ می باشد ($a_n$ بر روی $b_m$). کسری که با ضریب های آغازین شکل می گیرد برابر با $y=\frac{3}{1}=3$ است.

ترسیم نمودار خط های مجانب عمودی و افقی

هنگامیکه یک تابع گویا دارای یک خط مجانب عمودی و یک خط مجانب افقی باشد، نمودار آن معمولاً شبیه دو منحنی مسطح، $C$ شکل می باشد که از تقاطع خط های مجانب، به صورت مورب معکوس یکدیگر می باشند. گاهی اوقات، منحنی ها در کنار یکدیگر ظاهر می شوند، اما این بیشتر از اینکه یک قانون باشد، یک استثناء است و به ندرت رخ می دهد. شکل 1-9 به شما دو مثال از نمودارهایی که، در طبقه بندی یک خط مجانب افقی و یک خط مجانب عمودی، بیشتر یافت می شوند، نشان می دهد.

در هر دو نمودار بالا، خطهای مجانب عمودی در $x=1$ می باشند، و خطهای مجانب افقی در $y=-1$ می باشند. در بخش a از شکل 1-9 ، تقاطع ها در $(0,-2)$ و $(2,0)$ می باشند. در بخش b از تصویر مربوطه تقاطع ها در $(-1,0)$ و $(0,1)$ می باشند.

در یک تابع گویا، شما فقط می توانید یک خط مجانب افقی داشته باشید، اما می توانید بیش از یک خط مجانب عمودی را داشته باشید. عموماً، منحنی موجود در سمت راستِ، خط مجانبی که در راست ترین نقطۀ ممکن است، و یا در سمت چپِ، خط مجانبی که در چپ ترین نقطه ممکن است، شبیه یک C مسطح یا یک C که به آرامی چرخیده باشد، می باشد. آنها در گوشه ها آشیانه کرده اند و امتداد خط های مجانب را دنبال می کنند. بین خط های مجانب عمودی جایی است که برخی از نمودارها جالبتر می شوند. برخی از نمودارهای مابین خط های مجانب عمودی می توانند در شکل U رو به سمت پایین یا بالا باشند (بخش a از شکل 2-9 را ببینید)، یا آنها می توانند از مرکز عبور کنند، و به یکی از خط های مجانب عمودی در یک سمت یا سمت دیگرشان بچسبند (بخش b از شکل 2-9 را ببینید). با محاسبۀ چندین نقطه ـــ تقاطع ها و چندتا بیشتر ـــ می توانید بفهمید مورد شما از کدام نوع است و سرنخ هایی را از شکل آن بدست آورید. نمودارهای شکل 2-9 برخی از احتمالات را به شما نشان می دهند.

در شکل 2-9، خط های مجانب عمودی در نقاط $x=2$ و $x=-2$ می باشند. خط های مجانب افقی در $y=1$ می باشند. بخش a از شکل 2-9 دارای دو طول از مبدأ می باشد که بین دو خط مجانب عمودی قرار گرفته اند؛ عرض از مبدأ نیز همانجاست. در بخش b از شکل 2-9 ، عرض از مبدأ و یک طول از مبدأ بین دو خط مجانب عمودی واقع شده اند؛ طول از مبدأ دیگر در سمت راستِ، راست ترین خط مجانب عمودی قرار دارد.

یادتان باشد: نمودار یک تابع گویا می تواند از یک خط مجانب افقی عبور کند، اما هرگز از یک خط مجانب عمودی عبور نخواهد کرد. خط های مجانب افقی آنچیزی را که برای مقادیر بسیار بزرگ یا مقادیر بسیار کوچک $x$ اتفاق می افتد، نشان می دهند.

انجام محاسبات و ترسیم نمودار خط های مجانب مورب

یک خط مجانب مورب (oblique asymptotes) که به آن slant asymptote نیز گفته می شود در شکل $y=ax+b$ می باشد. شما ممکن است این شکل را از فصل 5 با نام شکل شیب-تقاطع (slope-intercept) در معادلۀ خط، بیاد داشته باشید. یک تابع گویا در صورتی دارای یک خط مجانب مورب می باشد که درجۀ چندجمله ای در صورت کسر دقیقاً یک واحد از درجۀ چندجمله ای در مخرج کسر بزرگتر باشد (برای مثال $x^4$ بر روی $x^3$).

یادتان باشد: شما می توانید معادلۀ خط مجانب مورب را با استفاده از تقسیم طولانی، بیابید. مخرج کسر تابع گویا را بر صورت آن تقسیم می کنید و از دو جملۀ اول در پاسخ استفاده می کنید. آن دو جمله عبارت از $ax+b$ می باشند، و بخشی از معادلۀ خط مجانب مورب هستند.

به عنوان مثال، برای یافتن خط مجانب مورب در تابع $y=\frac{x^4-3x^3+2x-7}{x^3+3x-1}$ ، تقسیم طولانی را به شکل زیر انجام بدهید:
$$
\require{enclose}
\displaystyle
\begin{array}{r}
x-3 \\
x^3+3x-1 \enclose{longdiv}{x^4-3x^3+2x-7} \\
-\underline{\left(x^4+3x^2-x\right)}\hspace{1.5em} \\
-3x^3-3x^2+3x-7 \hspace{.33em} \\
-\underline{(-3x^3-9x+3)} \\
-3x^2+12x-10 \hspace{.33em} \\
\end{array}
$$
شما می توانید باقیمانده در پایین را نادیده بگیرید. خط مجانب مورب برای این مثال برابر با $y=x-3$ می باشد.

یک خط مجانب مورب برای نمودار یک تابع گویا دو احتمال جدید ایجاد می کند. اگر تابعی دارای خط مجانب مورب باشد، منحنی آن تمایل خواهد داشت تا یک C خیلی مسطح در دو سمت متضادِ تقاطع بین خط مجانب مورب و یک خط مجانب عمودی باشد (بخش a از شکل 3-9 را ببینید)، یا منحنی U شکل و مابین خطهای مجانب خواهد بود (بخش b از شکل 3-9 را ببینید).

بخش a از شکل 3-9 دارای یک خط مجانب عمودی در $x=1$ و یک خط مجانب مورب در $y=x-1$ می باشد؛ تقاطع های آن در نقاط $(0,0)$ و $(2,0)$ هستند. بخش b از شکل 3-9 دارای یک خط مجانب عمودی در $x=1$ و یک خط مجانب مورب در $y=x+1$ می باشد؛ تنها تقاطع آن $(0,0)$ می باشد.

آموزش قبلی صفحۀ اصلی دوره آموزش بعدی