رُشد و فروپاشی پدیده هایی طبیعی هستند. آنها همه جا رخ می دهند. ریاضیدانان به روش هایی برای توصیف، به فرمول در آوردن، و نمایش با نمودار، در مورد این پدیده ها، دست یافته اند. هنگامی که رشد و فروپاشی نمایی به صورت ریاضی، در توابع نمایی و لگاریتمی رخ می دهند، شما الگوهای مشاهده شده را بیان می کنید.





به چه دلیلی این توابع حائز اهمیت هستند؟ برخی از توابع جبری، همچون توابع چندجمله ای و گویا، ویژگی هایی را به اشتراک می گذارند که توابع نمایی فاقد آن هستند. به عنوان مثال، تمامی توابع جبری متغیرهایشان را به شکلی نشان می دهند که پایه های آنها به برخی توانها رسیده باشد، مثل \(x^2\) یا \(x^8\) . از سوی دیگر، توابع نمایی (Exponential functions)، متغیرهایشان را در توانها و اعدادی را در پایه ها نشان می دهند، مانند \(2^x\) یا \(e^x\) . در این فصل، در مورد ویژگیها، کاربردها، و نمودارهای توابع نمایی و توابع لگاریتمی بحث خواهم کرد.

ارزیابی عبارات نمایی

پایۀ یک تابع نمایی نمی تواند صفر یا منفی باشد؛ دامنۀ آن تمامی اعداد حقیقی می باشد؛ و بُرد (range) آن در صورتیکه \(a\) مثبت باشد، تمامی اعداد مثبت می باشد.

هنگامی که عددی را در یک تابع نمایی وارد می سازید، با استفاده از ترتیب عملیات جبری، آن را ارزیابی می کنید. ترتیب انجام عملیات به شما دیکته می کند که تابع مربوطه را به ترتیب زیر انجام بدهید:

1. توانها و ریشه ها
   
2. ضرب و تقسیم
   
3. جمع و تفریق
   

به عنوان مثال، جهت ارزیابی عبارت \(f(x)=3^x+1\) ، برای \(x=2\) ، شما \(x\) را با عدد \(2\) جایگزین می کنید. بنابراین، خواهید داشت \(f(2)=3^2+1=9+1=10\). برای ارزیابی تابع نمایی \(g(x)=4({1\over2})^x-3\) برای \(x=-2\)، این مراحل را به شکل زیر می نویسید:
$$
g(-2)=4({1\over2})^{-2}-3 \\[2ex]
=4({2\over1})^2 - 3 \\[2ex]
=4(4)-3 \\[2ex]
=16-3 \\[2ex]
=13 \\[2ex]
$$
ابتدا عدد را به توان می رسانید، آن را در \(4\) ضرب می کنید، و سپس از \(3\) تفریق می کنید.