معادلات لگاریتمی، درست شبیه سایر انواع معادلات جبری، می توانند یک یا چند پاسخ داشته باشند. آنچه حل کردن معادلات لگاریتمی را اندکی متفاوت می سازد اینست که با بیشترین سرعت ممکن، از بخش لگاریتمی خلاص گردید، تا به جای آن یک معادله چندجمله ای یا یک معادله نمائی داشته باشید. معادلات چندجمله ای و معادلات نمائی آسانتر و آشناتر هستند، و با توجه به آموزشهایی که تاکنون دیده اید، شما هم اکنون می دانید که چگونه آنها را حل کنید.

برابر قرار دادن لگاریتم با لگاریتم

یک نوع از معادلات لگاریتمی نشان می دهد که هر جمله، لگاریتمی را درون خودش دارد (در اینجا همۀ لگاریتم ها باید دارای پایۀ یکسانی باشند). شما باید در هر سمت از معادله دقیقاً یک جملۀ لگاریتم داشته باشید، بنابراین اگر در معادله ای بیش از یک جمله لگاریتم داشته باشید، هر کدام از ویژگیهای لگاریتم را که منجر می شود تا معادله، این قانون را رعایت کند، بکار می بندید. بعد از انجام این کار می توانید قانون زیر را بکار بگیرید:


به عنوان مثال، در معادلۀ \(\log_4 x^2 = \log_4 (x+6)\) ، با اعمال این قانون، معادلۀ جدید \(x^2=x+6\) را خواهید داشت:
$$
x^2=x+6 \\[2ex]
x^2-x-6=0 \\[2ex]
(x-3)(x+2)=0 \\[2ex]
x=3 \text{ or } x=-2
$$
پاسخهای یافت شده برای این معادلۀ درجه دوم عبارت از \(x=3\) و \(x=-2\) می باشند، و هر دوی این پاسخها در معادلۀ لگاریتمی اصلی به درستی کار می کنند:
$$
\text{if } x=3: \\[2ex]
\log_4 3^2 = \log_4 (3+6) \\[2ex]
\log_4 9 = \log_4 9
$$
بنابراین \(3\) یک پاسخ صحیح می باشد.
$$
\text{if } x=-2: \\[2ex]
\log_4 (-2)^2 = \log_4 (-2+6) \\[2ex]
\log_4 4 = \log_4 4
$$
این پاسخ هم درست کار کرد.



معادلۀ زیر به شما نشان می دهد، چگونه ممکن است به یک پاسخ اضافی (extraneous solution) برسید.

هنگام حل کردن \(\log (x-8) + \log x = \log 9\) ، ابتدا ویژگی لگاریتم حاصلضرب را اعمال می کنید تا صرفاً یک عبارت لگاریتم در سمت چپ باقی بماند: \(\log (x-8)x = \log 9\) . سپس، از آن ویژگی که به شما امکان می دهد تا لگاریتم های با پایه یکسان را حذف کنید و معادله \((x-8)x=9\) را در نظر بگیرید، استفاده می کنید. این یک معادلۀ درجه دوم می باشد که با فاکتورگیری می توانید آن را حل کنید:
$$
(x-8)x=9 \\[2ex]
x^2-8x-9=0 \\[2ex]
(x-9)(x+1)=0 \\[2ex]
x=9 \text{ or } x=-1
$$
با درست آزمایی پاسخها، متوجه می شوید که پاسخ \(9\) بدرستی کار می کند:
$$
\log (9-8) + \log 9 = \log 9 \\[2ex]
\log 1 + \log 9 = \log 9 \\[2ex]
0 + \log 9 = \log 9
$$
با این حال، پاسخ \(-1\) درست کار نمی کند:
$$ \log(-1-8) + \log(-1) = \log 9 $$
شما می توانید همینجا کار را متوقف کنید. هر دو لگاریتم در سمت چپ دارای آرگومانهای منفی می باشند. آرگومانهای یک لگاریتم الزاماً باید مثبت باشند، بنابراین \(-1\) در معادلۀ لگاریتم بدرستی کار نخواهد کرد (هر چند در معادلۀ درجه دوم بخوبی کار کند). شما تشخیص دادید که \(-1\) یک پاسخ اضافی می باشد.

بازنویسی معادلات لگاریتم به شکل نمائی

هنگامی که یک معادلۀ لگاریتم دارای جملات لگاریتم باشد و در یک جمله، لگاریتم وجود نداشته باشد، شما نیاز خواهید داشت تا از تکنیک های جبری و ویژگیهای لگاریتم استفاده کنید تا معادله را به شکل \(y=\log_b x\) بنویسید. بعد از اینکه شکل صحیح را ایجاد کردید، می توانید ویژگی هم ارزی (equivalence) را اعمال کنید تا آن را به یک معادلۀ نمائی خالص تبدیل کنید.

به عنوان مثال، جهت حل کردن \(\log_3 (x+8) - 2 = \log_3 x\) ابتدا \(\log_3 x\) را از هر سمت تفریق می کنید و سپس \(2\) را به هر سمت معادله می افزایید تا به \(\log_3 (x+8) - \log_3 x =2\) برسید. اکنون ویژگی لگاریتم خارج قسمت را بکار می برید، معادله را با ویژگی هم ارزی بازنویسی می کنید، و آن برای یافتن \(x\) حل می کنید:
$$
\log_3 \frac{x+8}{x}=2 \\[2ex]
3^2 = \frac{x+8}{x} \\[2ex]
9x = x+8 \\[2ex]
8x = 8 \\[2ex]
x=1
$$
تنها پاسخ برابر با \(x=1\) می باشد، که در معادلۀ اصلی بدرستی کار می کند:
$$
\log_3 (x+8)-2 = \log_3 x \\[2ex]
\log_3 (1+8)-2 = \log_3 1 \\[2ex]
\log_3 9-2 = 0 \\[2ex]
\log_3 9 = 2 \\[2ex]
3^2=9
$$