مخروطی (Conic) نامی است که به یک گروه خاص از منحنی ها داده شده است. چیزهای مشترک بین آنها، اینست که چگونه ساخته شده اند ـــ نقاطی که به یک نقطۀ لنگرگاه مرتبط شده اند یا نقاطی که با یک خط مرتبط شده اند. شاید بهتر باشد به مقاطع مخروطی (conic sections) اینطور فکر کنید که چگونه می توانید منحنی ها را به شکل بصری بهتر توصیف کنید. کابل های منحنی آویزان شده بین پایه های یک پل معلق را تصور کنید. مسیر چرخش زمین به دور خورشید را تصور کنید. فرآیند حرکت یک ستارۀ دنباله دار را که به زمین نزدیک می شود و سپس تغییر جهت می دهد را ردیابی کنید. تمامی این تصورات که ذهن شما را می چرخاند، به منحنی هایی مربوط هستند که مخروطی ها نامیده می شوند.





اگر یک مخروط را بردارید ـــ یکی از آن نان های مخروطی شکل که داخلش بستنی می ریزند را تصور کنید ـــ و آن را از وسط به شیوۀ خاصی برش دهید، لبه های حاصله یکی از چهار مقاطع مخروطی را نشان می دهد: شلجمی (parabola)، دایره (circle)، بیضی (ellipse)، و یا هذلولی (hyperbola).

هر مقطع مخروطی دارای معادلۀ خاصی می باشد، و من هر کدام از آنها را به طور کامل در این فصل پوشش خواهم داد. شما می توانید اطلاعات ارزشمندی را از اینسو و آنسوی یک معادلۀ مقطع مخروطی جمع آوری کنید، اطلاعاتی همچون اینکه، مرکز آن در کجای نمودار است، عرض باز شدن آن چقدر است، و شکل کلی آن به چه شکلی است. همچنین در مورد تکنیکهایی بحث خواهم کرد که، وقتیکه از شما درخواست می شود تا نمودار مخروطی ها را ترسیم کنید، برایتان به بهترین شکل کار کنند.

بریدن یک مخروط

مقطع مخروطی یک منحنی است که از تقاطع یک مخروط (cone) و یک صفحه (plane) شکل گرفته است (مخروط یک شکل است که پایۀ آن یک دایره می باشد و لبه های آن رو به سمت یک نقطه بهم نزدیک می شوند). منحنی شکل گرفته، بسته به اینکه مخروط از کجایش بریده شود، متفاوت می باشد:

• اگر یک مخروط را صاف از وسطش ببرید، از لبه های آن یک دایره (circle) ایجاد می شود، درست مشابه بالای آن.
  
• اگر یک سمت مخروط را با زاویه برش دهید، در آن لبه یک منحنی U شکل با نام شلجمی (parabola) یا سهمی ایجاد می شود.
  
• اگر مخروط را به صورت مورب برش دهید، در لبه های آن شکل بیضی (ellipse) یا تخم مرغی ایجاد می گردد.
  
• اگر دو مخروط را که نوک آنها به هم چسبیده است تصور کنید، و مستقیماً از بالا به پایین، هر دویِ آنها را برش بزنید، یک هذلولی (hyperbola) ایجاد می شود. شما دو لبۀ عریض U شکل دارید که به نوعی بینی به بینی کنار هم قرار گرفته اند. شکل هذلولی نوع خاصی از ژیمناستیک را پیاده می کند!
  

شکل 1-11 هر کدام از این چهار مقطع مخروطی را که بریده شده اند نشان می دهد. هر مقطع مخروطی، دارای معادلۀ خاصی می باشد که شما از آن استفاده می کنید تا نمودار مخروطی را ترسیم کنید یا از آن در کاربردی استفاده نمایید (مانند وقتیکه معادلۀ مخروطی نشان دهندۀ انحنای یک تونل می باشد). در بخشهای مختلف این فصل به مخروطی های مختلف و جزئیات آنها پرداخته ایم.