دایره (circle)، احتمالاً شناخته شده ترین مقطع مخروطی می باشد، و به این شکل تعریف می شود که تمامی نقاط آن نسبت به یک نقطۀ ثابت (مرکز دایره \(C\) ) دارای فاصلۀ یکسانی می باشند. این فاصلۀ ثابت شعاع دایره (radius) نام دارد که آن را با \(r\) نشان می دهند.






شکل 7-11 طرح یک دایره را به شما نشان می دهد.

استاندارد سازی دایره

هنگامیکه معادلۀ یک دایره در شکل استاندارد ظاهر می شود، تمام چیزهایی را که لازم است در مورد آن دایره بدانید برایتان فراهم می آورد: مرکز و شعاع آن. با این دو تکه اطلاعات، شما می توانید نمودار آن دایره را ترسیم کنید. به عنوان مثال، معادلۀ \(x^2+y^2+6x-4y-3=0\) ، معادلۀ یک دایره می باشد. شما می توانید این معادله را با کامل کردن مربع برای هر کدام از متغیرها، به شکل استاندارد تغییر بدهید (در مورد روش کامل کردن مربع در فصل 3 اطلاعات کاملی وجود دارد). فقط کافیست این مراحل را دنبال کنید:

1. ترتیب جملات را تغییر بدهید به نحویکه \(x\) ها و \(y\) ها در کنار یکدیگر گروه بندی شوند و مقادیر ثابت در سمت دیگر علامت برابری قرار بگیرند.
   $$
   x^2+y^2+6x-4y-3=0 \\[2ex]
   x^2+6x+y^2-4y=3
   $$
   
2. برای هر متغیر مربع را کامل کنید، اعدادی را بیفزایید که سه جمله ایهای مربع کامل را ایجاد نمایند.
   $$
   x^2+6x+9+y^2-4y+4=3+9+4 \\[2ex]
   x^2+6x+9+y^2-4y+4=16
   $$
   
3. هر سه جمله ای مربع کامل را فاکتورگیری کنید.
   شکل استاندارد معادلۀ این دایره برابر است با:
   $$ (x+3)^2+(y-2)^2=16 $$
   

مرکز دایرۀ این مثال در نقطۀ \((-3,2)\) می باشد و دارای شعاع \(4\) می باشد (شعاع از محاسبۀ جذر \(16\) بدست می آید). برای ترسیم این دایره، نقطۀ \((-3,2)\) را می یابید و \(4\) واحد رو به سمت بالا، پایین، چپ، و راست شمارش می کنید؛ دایره ای را ترسیم می کنید که شامل آن نقاط باشد. شکل 8-11 این روش را به شما نشان می دهد.

متخصص شدن در دایره ها

دو دایره که شما باید به صورت خاص آنها را در نظر بگیرید، دایره هایی هستند که مرکز یکی در مبدأ مختصات می باشد و دیگری دایره ای با نام "دایرۀ واحد" (unit circle) می باشد. یک دایره که مرکز آن در مبدأ مختصات می باشد، دارای مرکز \((0,0)\) است، بنابراین معادلۀ استاندارد آن می شود: \(x^2+y^2=r^2\) .


مرکز دایرۀ واحد (unit circle) نیز در مبدأ می باشد، اما شعاع آن همواره یک می باشد. معادلۀ دایرۀ واحد برابر با \(x^2+y^2+1\) می باشد. کار کردن با این دایره نیز راحت و زیبا می باشد. شما از آن برای تعریف توابع مثلثاتی استفاده می کنید، و آن را در هندسۀ تحلیلی و کاربردهای حسابان خواهید یافت.

به عنوان مثال، یک دایره که مرکز آن در مبدأ مختصات و شعاعش \(5\) واحد باشد از معادلۀ \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\) ایجاد می شود، که در آن \((h,k)\) برابر با \((0,0)\) می باشد و \(r^2=5^2=25\) می باشد؛ بنابراین، معادلۀ آن \(x^2+y^2=25\) می شود. هر دایره ای دارای بی نهایت نقطه بر روی آن می باشد، اما این انتخاب هوشمندانه برای شعاع، به شما نقاط فراوانی با اعداد صحیح می دهد. برخی از نقاطی که بر روی این دایره قرار می گیرند عبارتند از:
\((3, 4), (–3, 4), (3, –4), (–3, –4), (4, 3), (–4, 3), (4, –3), (–4, –3), (5, 0), (–5, 0), (0, 5), (0, –5)\)
هر دایره ای این مقدار مختصات عدد صحیح را به شما نمی دهد، به همین دلیل این دایره، یکی از محبوبترین ها می باشد. (بقیۀ بی نهایت عدد موجود بر روی این دایره دارای مختصاتی درگیر با کسرها و رادیکال ها می باشند.)