خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
شناسایی مخروطی ها از روی معادلۀ آنها
وقتیکه معادلۀ چهار مقطع مخروطی را در شکل استاندارد آنها بنویسید، بیشتر اوقات می توانید به سادگی بگویید که کدام نوع از مخروطی ها را دارید.
با این وجود، گاهی اوقات، معادله ای که به شما داده شده است در شکل استاندارد نمی باشد. باید با استفاده از روش کامل کردن مربع و یا هر روش دیگری که لازم باشد، تغییر کند. بنابراین در این وضعیت، چگونه می توانید صرفاً با نگاه کردن به معادلۀ مربوطه، بگویید که مربوط به کدام نوع مخروطی می باشد؟
تمامی معادلات بالا را در شکل \(Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0\) در نظر بگیرید. در اینجا شما جملاتی مربع و جملاتی درجۀ اول، از هر دو متغیر \(x\) و \(y\) دارید. با دقت در اینکه \(A\) ، \(B\) ، \(C\) ، و \(D\) چه هستند، می توانید تعیین کنید که نوع مخروطی چه می باشد.
از این قوانین استفاده کنید تا تعیین نمایید در هر کدام از معادلات زیر، چه نوع مخروطی دارید:
-
یک سهمی (parabola) فقط یک متغیر مربع دارد.
$$ y^2=4ax \text{ or } x^2=4ay $$
-
یک دایره (circle) کسری ندارد:
$$ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 $$
-
یک بیضی (ellipse) مجموع دو جملۀ متغیر را دارد:
$$ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2}=1 $$
-
یک هذلولی (hyperbola) تفاضل بین دو جملۀ متغیر را دارد:
$$ \frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1 \text{ or } \frac{(y-k)^2}{b^2}-\frac{(x-h)^2}{a^2}=1 $$
با این وجود، گاهی اوقات، معادله ای که به شما داده شده است در شکل استاندارد نمی باشد. باید با استفاده از روش کامل کردن مربع و یا هر روش دیگری که لازم باشد، تغییر کند. بنابراین در این وضعیت، چگونه می توانید صرفاً با نگاه کردن به معادلۀ مربوطه، بگویید که مربوط به کدام نوع مخروطی می باشد؟
تمامی معادلات بالا را در شکل \(Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0\) در نظر بگیرید. در اینجا شما جملاتی مربع و جملاتی درجۀ اول، از هر دو متغیر \(x\) و \(y\) دارید. با دقت در اینکه \(A\) ، \(B\) ، \(C\) ، و \(D\) چه هستند، می توانید تعیین کنید که نوع مخروطی چه می باشد.
قوانین جبر: هنگامی که معادله ای در شکل \(Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0\) دارید، قوانین زیر را دنبال کنید:
-
اگر \(A=B\) ، شما یک دایره دارید (البته مادامیکه \(A\) و \(B\) برابر با صفر نباشند).
-
اگر \(A\ne B\) ، و \(A\) و \(B\) دارای علامتهای یکسان باشند، شما یک بیضی دارید.
-
اگر علامتهای \(A\) و \(B\) متفاوت باشند، شما یک هذلولی دارید.
-
اگر \(A\) یا \(B\) صفر باشند، شما یک سهمی دارید (هر دوی آنها نمی توانند صفر باشند).
از این قوانین استفاده کنید تا تعیین نمایید در هر کدام از معادلات زیر، چه نوع مخروطی دارید:
-
\(9x^2+4y^2-72x-24y+144=0\) یک بیضی می باشد، زیرا \(A \ne B\) ، و \(A\) و \(B\) هر دو مثبت می باشند. در واقع، شکل استاندارد این معادله (که با روش کامل کردن مربع به آن می رسید) برابر با \(\frac{(x-4)^2}{4}+\frac{(y-3)^2}{9}=1\) می باشد.
-
\(2x^2+2y^2+12x-20+24=0\) یک دایره می باشد، زیرا \(A=B\). شکل استاندارد این معادله برابر با \((x+3)^2+(y-5)^2=22\) می باشد.
-
\(9y^2-8x^2-18y-16x-71=0\) یک هذلولی می باشد، زیرا \(A\) و \(B\) دارای علامتهای متضاد می باشند. شکل استاندارد معادلۀ این هذلولی برابر با \(\frac{(y-1)^2}{8}-\frac{(x+1)^2}{9}=1\) می باشد.
-
\(x^2+8x-6y+10=0\) یک سهمی (شلجمی) می باشد. در این معادله شما فقط یک جملۀ \(x^2\) می بینید ـــ تنها متغیری که به توان دوم رسیده است. شکل استاندارد این سهمی برابر با \((x+4)^2=6(y+1)\) می باشد.
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: