دستگاه معادلات عبارت از یک تعداد معادله با تعداد برابر (یا گاهی نابرابر) از متغیرها می باشد ـــ متغیرهایی که به روشی خاص به یکدیگر مرتبط شده اند. پاسخ یک دستگاه معادلات این ارتباطات را به یکی از این دو روش آشکار می سازد: با لیستی از اعداد که هر معادله در آن دستگاه را به یک گزارۀ صحیح تبدیل می کنند یا یک لیست از ارتباطات بین اعداد که هر معادله در آن دستگاه را به یک گزارۀ صحیح تبدیل می کنند.





در این فصل، دستگاه معادلات خطی (systems of linear equations) را پوشش می دهم. همانطور که در فصل 2 شرح دادم، معادلات خطی (linear equations) متغیرهایی را نشان می دهند که تنها به درجۀ اول رسیده باشند، به این معنا که، بالاترین توان متغیری که معادله را برای بدست آوردن آن حل می کنید، برابر با یک باشد. برای حل کردن دستگاه معادلات خطی، تعدادی تکنیک در اختیار دارید، این تکنیکها شامل ترسیم نمودار خطها، افزودن ضریب های یک معادله به معادله ای دیگر، جایگزینی یک معادله در معادله ای دیگر، و بهره بردن از یک قانون شُسته و رُفته که توسط گابریل گارمر (Gabriel Cramer) ـــ ریاضیدان سوئیسی در قرن هجدهم ـــ ایجاد شده است، می باشند. هر کدام از روش های مختلف حل کردن یک دستگاه معادلات خطی را در این فصل پوشش خواهم داد.

شکل استاندارد دستگاه خطی و پاسخهای ممکن آن

شکل استاندارد برای یک دستگاه معادلات خطی به شرح زیر می باشد:
$$
\begin{cases}
a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 + ... = k_1 \\[2ex]
b_1 x_1 + b_2 x_2 + b_3 x_3 + ... = k_2 \\[2ex]
c_1 x_1 + c_2 x_2 + c_3 x_3 + ... = k_3 \\
. \\
. \\
.
\end{cases}
$$
اگر یک دستگاه فقط دو معادله داشته باشد، آن معادلات در شکل \(Ax+By=C\) ، که در فصل 2 معرفی کردم، ظاهر می شوند، و یک آکولاد آنها را با یکدیگر گروه بندی می کند. اما اجازه ندهید شما را فریب بدهم ـــ یک دستگاه معادلات می تواند شامل هر تعداد معادله باشد (در همین فصل چگونگی کار کردن با دستگاه های بزرگتر را به شما نشان خواهم داد).

معادلات خطیِ دارای دو متغیر، مانند \(Ax+By=C\) ، دارای خطهایی به عنوان نمودارها می باشند. به منظور حل کردن یک دستگاه معادلات خطی، شما نیاز دارید تا تعیین کنید چه مقادیری از \(x\) و \(y\) همزمان برقرار هستند. کار شما اینست که سه پاسخ ممکن را که می توانند منجر به این اتفاق شوند را تشکیل بدهید:

• یک پاسخ: این پاسخ در محل تقاطع خطها ظاهر می شود ـــ \(x\) و \(y\) یکسانی همزمان در تمامی معادلات کار می کنند.
  
  
• بی نهایت پاسخ: این معادلات همگی خط یکسانی را توصیف می کنند.
  
  
• بدون پاسخ: زمانی رُخ می دهد که خطها موازی باشند ـــ هیچ مقداری برای \((x,y)\) در همۀ این معادلات کار نمی کند.