خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
اعداد مختلط و عملیات آنها
یک عدد موهومی \((i)\) ، بخشی از اعدادی می باشد که اعداد مختلط (complex numbers) نامیده می شوند، که بعد از ایجاد اعداد موهومی (imaginary numbers) توسط ریاضیدانان، بوجود آمدند. شکل استاندارد یک عدد مختلط \(a+bi\) می باشد، که در آن \(a\) و \(b\) اعدادی حقیقی هستند، و \(i^2\) برابر با \(-1\) می باشد. این واقعیت که \(i^2\) برابر با \(-1\) و \(i\) برابر با \(\sqrt{-1}\) می باشد، بنیان اعداد مختلط است. اگر اعداد موهومی با \(i\) ها را نمی داشتید، نیازی به اعداد مختلط با اعداد موهومی در داخلشان نبود.
چند مثال از اعداد مختلط شامل \(3+2i\) ، \(-6+4.45i\)، و \(7i\) می باشند. در آخرین عدد یعنی \(7i\)، مقدار \(a\) برابر با صفر است. اگر مقدار \(b\) هم به همین شکل برابر با صفر باشد، دیگر عددی مختلط ندارید ـــ در آن صورت یک عدد حقیقی بدون بخش موهومی آن را دارید.
اعداد مختلط کاربردهای بسیاری دارند، و ریاضیدانان آنها را به طور گسترده مورد مطالعه قرار می دهند. در واقع، دوره ها و رشته های ریاضی کاملی به اعداد مختلط اختصاص داده شده اند. و این را بدانید که در این بخش، شما یک نگاه اجمالی بر دنیای وسیع اعداد مختلط خواهید انداخت.
شما می توانید اعداد مختلط را جمع، تفریق، ضرب، و تقسیم کنید ـــ به شیوه ای بسیار دقیق. قوانینی که برای انجام عملیات بر روی اعداد مختلط مورد استفاده قرار می گیرند، بسیار شبیه قوانینی هستند که برای هر عبارت جبری دیگری استفاده می شوند، البته با دو استثناء بزرگ که در ادامه ذکر شده اند:
نتیجۀ این عملیات جمع زدن، اکنون در شکل یک عدد مختلط می باشد، که در آن \(a+c\) بخش حقیقی و \((b+d)i\) بخش موهومی می باشد.
به عنوان مثال، به جمع زیر دقت کنید:
$$ (-4+5i)+(3+2i)=(-4+3)+(5+2)i=-1+7i $$
نتیجۀ این تفریق اکنون در شکل یک عدد مختلط می باشد، که در آن \(a-c\) بخش حقیقی و \((b-d)i\) بخش موهومی می باشد.
به مثال زیر توجه کنید:
$$ (-4+5i)-(3+2i)=(-4-3)+(5-2)i=-7+3i $$
هنگامی که اعداد مختلط را در یکدیگر ضرب می کنید، عملیات اندکی هیجان انگیزتر می شود.
در معادلات قبلی، حاصلضرب دو جملۀ اول (first) برابر با \(ac\) بود؛ حاصلضرب دو جملۀ بیرونی (outer) برابر با \(adi\) بود؛ حاصلضرب دو جملۀ درونی (inner) برابر با \(bci\) بود؛ و حاصلضرب دو جملۀ آخر (last) برابر با \(bdi^2\) بود. شما \(i\) را از جملۀ دوم و سوم، فاکتور می گیرید، و \(i^2\) را با \(-1\) جایگزین می کنید، و سپس آن جمله را با جملۀ حقیقی دیگر، ترکیب می کنید. (برای درک این پاراگراف لازم است با عملیات FOIL آشنا باشید.)
به عنوان مثال، برای یافتن حاصلضرب \((-4+5i)(3+2i)\) ، با استفاده از FOIL به \(-12-8i+15i+10i^2\) می رسید. آخرین جمله را به \(-10\) ساده سازی می کنید و آن را با اولین جمله ترکیب می کنید. نتیجۀ بدست آمده برابر با \(-22+7i\) خواهد بود، که عددی مختلط می باشد.
چیز خاصی که در مورد تقسیم اعداد مختلط وجود دارد اینست که شما واقعاً تقسیم نمی کنید. آیا وقتیکه برای اولین بار چگونگی ضرب و تقسیم کسرها را فرا گرفتید، به خاطر می آورید؟ شما واقعاً کسرها را تقسیم نمی کنید؛ شما کسر دوم را به معکوس (reciprocal) آن تبدیل می کنید، و سپس مسألۀ تقسیم را به یک مسألۀ ضرب تبدیل می کنید. شما این را می دانید که پاسخ این مسألۀ ضرب در واقع پاسخ همان مسألۀ تقسیم است. در مورد اعداد مختلط نیز به شکل مشابهی از عملیات تقسیم اجتناب می کنید. شما به جای تقسیم یک عملیات ضرب را انجام می دهید که نتیجۀ آن در واقع همان پاسخ عملیات تقسیم می باشد. اما قبل از اینکه به مقابلۀ تقسیم بروید، ابتدا لازم است که در مورد مزدوج (conjugate) اعداد مختلط، اطلاعاتی را کسب کنید.
یک عدد مختلط و مزدوج آن دارای علامتهای متضاد یکدیگر در بین دو جمله می باشند. به عنوان مثال، مزدوجِ عدد مختلطِ \(a+bi\) یرابر با \(a-bi\) می باشد.
در اینجا یک جفت مثال عددی داریم: مزدوج \(-3+2i\) برابر با \(-3-2i\) ، و مزدوج \(5-3i\) برابر با \(5+3i\) می باشد. به نظر می رسد به اندازه کافی ساده است، زیرا ویژگی خاصی را نمی بینید که به مزدوج یک عدد مختلط نسبت داده شده باشد تا زمانیکه عدد مختلط و مزدوج آن را در یکدیگر ضرب کنید.
هنگامیکه مسأله ای از شما می خواهد تا عدد مختلطی را بر عدد مختلط دیگری تقسیم کنید، آن مسأله را به شکل یک کسر می نویسید و سپس آن را در عدد یک ضرب می کنید. شما واقعاً آن را در خود عدد یک ضرب نمی کنید؛ بلکه در کسری که معادل یک می باشد ضرب می نمایید؛ این کسر دارای مزدوج مخرج کسر اول در صورت و مخرجش می باشد (از آنجا که صورت و مخرج این کسر یکسان می باشند، پس برابر با یک می باشد):
$$ (a+bi) \div (c+di) = \frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di} \\[3ex]
=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2} $$
برای نوشتن نتیجۀ تقسیم اعداد مختلط در شکلی که بخش حقیقی و موهومی آن موکداً جدا شده باشند، کسرها را می شکنید:
$$ \frac{(ac+bd)}{c^2+d^2} +\frac{(bc-ad)}{c^2+d^2}i $$
قبل از اینکه ریاضیدانان اعداد موهومی را تعریف کنند، بسیاری از مسأله ها پاسخی نداشتند، زیرا پاسخها شامل جذر اعداد منفی می بودند. بعد از تعریف عدد موهومی \(i^2=-1\) ، درها باز شدند؛ پنجره ها گشوده شدند؛ رژه ها آغاز شد؛ بچه ها در خیابانها می رقصیدند؛ و مسأله ها حل شدند!
به عنوان مثال، اگر بخواهید \(\sqrt{-24}\) را ساده سازی کنید، ابتدا رادیکال را به جذر \(-1\) و جذر بقیۀ عدد، جدا می کنید، و سپس هر نوع ساده سازی را با فاکتورگیری مربع های کامل، صورت می دهید:
$$
\sqrt{-24}=\sqrt{-1}\sqrt{24} \\[2ex]
=\sqrt{-1}\sqrt{4}\sqrt{6} \\[2ex]
=i \cdot 2\sqrt{6}
$$
طبق قرارداد، پاسخ قبلی را به شکل \(2i\sqrt{6}\) می نویسید. این شکل از نظر مقدار با سایر شکلهای نگارش آن تفاوتی ندارد. صرفاً بیشتر ریاضیدانان تمایل دارند تا بخش عددی ضریب را ابتدا بیاورند، و بخش متغیرها و سایر حروف را بعد از آن ذکر کنند (به ترتیب الفبایی)، و بخش رادیکال را در انتها بیاورند. آنها فکر می کنند که این روش بهتر باشد.
چند مثال از اعداد مختلط شامل \(3+2i\) ، \(-6+4.45i\)، و \(7i\) می باشند. در آخرین عدد یعنی \(7i\)، مقدار \(a\) برابر با صفر است. اگر مقدار \(b\) هم به همین شکل برابر با صفر باشد، دیگر عددی مختلط ندارید ـــ در آن صورت یک عدد حقیقی بدون بخش موهومی آن را دارید.
یادتان باشد: \(a\) بخش حقیقی یک عدد مختلط است و \(bi\) بخش مختلط آن می باشد (حتی با وجود اینکه \(b\) عددی حقیقی است).
اعداد مختلط کاربردهای بسیاری دارند، و ریاضیدانان آنها را به طور گسترده مورد مطالعه قرار می دهند. در واقع، دوره ها و رشته های ریاضی کاملی به اعداد مختلط اختصاص داده شده اند. و این را بدانید که در این بخش، شما یک نگاه اجمالی بر دنیای وسیع اعداد مختلط خواهید انداخت.
عملیات بر روی اعداد مختلط
شما می توانید اعداد مختلط را جمع، تفریق، ضرب، و تقسیم کنید ـــ به شیوه ای بسیار دقیق. قوانینی که برای انجام عملیات بر روی اعداد مختلط مورد استفاده قرار می گیرند، بسیار شبیه قوانینی هستند که برای هر عبارت جبری دیگری استفاده می شوند، البته با دو استثناء بزرگ که در ادامه ذکر شده اند:
-
شما توانهای \(i\) را ساده سازی می کنید، آنها را به معادلشان در چهار توان اول \(i\) که در همین فصل گفتیم، تبدیل می کنید، و سپس جملات مشابه را با یکدیگر ترکیب می کنید.
-
شما اعداد مختلط را واقعاً تقسیم نمی کنید؛ آنها را در مزدوج (conjugate) ضرب می کنید. در ادامۀ همین فصل در مورد مزدوج یک عدد مختلط توضیحات لازم را خواهم داد.
جمع زدن اعداد مختلط
قوانین جبر: هنگامی که دو عدد مختلط \(a+bi\) و \(c+di\) را با یکدیگر جمع می زنید، مجموع بخش اعداد حقیقی آن و مجموع بخش اعداد موهومی آن را محاسبه می کنید:
$$ (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i $$
$$ (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i $$
نتیجۀ این عملیات جمع زدن، اکنون در شکل یک عدد مختلط می باشد، که در آن \(a+c\) بخش حقیقی و \((b+d)i\) بخش موهومی می باشد.
به عنوان مثال، به جمع زیر دقت کنید:
$$ (-4+5i)+(3+2i)=(-4+3)+(5+2)i=-1+7i $$
تفریق اعداد مختلط
قوانین جبر: هنگامی که اعداد مختلط \(a+bi\) و \(c+di\) را تفریق می کنید، به تفاضل بین بخش حقیقی و تفاضل بین بخش موهومی می رسید:
$$ (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i $$
$$ (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i $$
نتیجۀ این تفریق اکنون در شکل یک عدد مختلط می باشد، که در آن \(a-c\) بخش حقیقی و \((b-d)i\) بخش موهومی می باشد.
به مثال زیر توجه کنید:
$$ (-4+5i)-(3+2i)=(-4-3)+(5-2)i=-7+3i $$
ضرب اعداد مختلط
هنگامی که اعداد مختلط را در یکدیگر ضرب می کنید، عملیات اندکی هیجان انگیزتر می شود.
قوانین جبر: برای ضرب کردن اعداد مختلط، شما نمی توانید صرفاً بخشهای حقیقی را در یکدیگر و بخشهای موهومی را در یکدیگر ضرب نمایید؛ شما باید با این اعداد به شکل دوجمله ای برخورد کنید و هر دو جمله از یک عدد مختلط را در هر دو جملۀ عدد مختلط دیگر توزیع کنید. روش دیگر برای نگاه کردن به این مسأله استفاده از FOIL می باشد. در مورد FOIL در دورۀ آموزش جبر1 و همینطور در فصل اول از همین کتاب توضیحات کافی آمده است:
$$ (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i $$
نتیجۀ این ضرب در شکل یک عدد مختلط نشان داده شده است، که در آن \(ac-bd\) بخش حقیقی و \((ad+bc)i\) بخش موهومی می باشد. از روی عملیات توزیع زیر می توانید متوجه شوید که مقادیر این پاسخ چگونه حاصل شده اند:
$$
\begin{array}{c c}
(a+bi)(c+di) & =ac+adi+bci+bdi^2 \\[2ex]
&=ac+(ad+bc)i+bd(-1) \\[2ex]
&=ac-bd+(ad+bc)i
\end{array}
$$
$$ (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i $$
نتیجۀ این ضرب در شکل یک عدد مختلط نشان داده شده است، که در آن \(ac-bd\) بخش حقیقی و \((ad+bc)i\) بخش موهومی می باشد. از روی عملیات توزیع زیر می توانید متوجه شوید که مقادیر این پاسخ چگونه حاصل شده اند:
$$
\begin{array}{c c}
(a+bi)(c+di) & =ac+adi+bci+bdi^2 \\[2ex]
&=ac+(ad+bc)i+bd(-1) \\[2ex]
&=ac-bd+(ad+bc)i
\end{array}
$$
در معادلات قبلی، حاصلضرب دو جملۀ اول (first) برابر با \(ac\) بود؛ حاصلضرب دو جملۀ بیرونی (outer) برابر با \(adi\) بود؛ حاصلضرب دو جملۀ درونی (inner) برابر با \(bci\) بود؛ و حاصلضرب دو جملۀ آخر (last) برابر با \(bdi^2\) بود. شما \(i\) را از جملۀ دوم و سوم، فاکتور می گیرید، و \(i^2\) را با \(-1\) جایگزین می کنید، و سپس آن جمله را با جملۀ حقیقی دیگر، ترکیب می کنید. (برای درک این پاراگراف لازم است با عملیات FOIL آشنا باشید.)
به عنوان مثال، برای یافتن حاصلضرب \((-4+5i)(3+2i)\) ، با استفاده از FOIL به \(-12-8i+15i+10i^2\) می رسید. آخرین جمله را به \(-10\) ساده سازی می کنید و آن را با اولین جمله ترکیب می کنید. نتیجۀ بدست آمده برابر با \(-22+7i\) خواهد بود، که عددی مختلط می باشد.
توجه: شما نیازی ندارید تا شکل این قانون را حفظ کنید. صرفاً به سادگی هر چه تمامتر می توانید از عملیات FOIL برای ضرب دو دوجمله ای مختلط استفاده کنید و سپس جملات را ساده سازی کنید.
ضرب کردن در مزدوج برای انجام تقسیم
چیز خاصی که در مورد تقسیم اعداد مختلط وجود دارد اینست که شما واقعاً تقسیم نمی کنید. آیا وقتیکه برای اولین بار چگونگی ضرب و تقسیم کسرها را فرا گرفتید، به خاطر می آورید؟ شما واقعاً کسرها را تقسیم نمی کنید؛ شما کسر دوم را به معکوس (reciprocal) آن تبدیل می کنید، و سپس مسألۀ تقسیم را به یک مسألۀ ضرب تبدیل می کنید. شما این را می دانید که پاسخ این مسألۀ ضرب در واقع پاسخ همان مسألۀ تقسیم است. در مورد اعداد مختلط نیز به شکل مشابهی از عملیات تقسیم اجتناب می کنید. شما به جای تقسیم یک عملیات ضرب را انجام می دهید که نتیجۀ آن در واقع همان پاسخ عملیات تقسیم می باشد. اما قبل از اینکه به مقابلۀ تقسیم بروید، ابتدا لازم است که در مورد مزدوج (conjugate) اعداد مختلط، اطلاعاتی را کسب کنید.
تعریف کردن مزدوج
یک عدد مختلط و مزدوج آن دارای علامتهای متضاد یکدیگر در بین دو جمله می باشند. به عنوان مثال، مزدوجِ عدد مختلطِ \(a+bi\) یرابر با \(a-bi\) می باشد.
در اینجا یک جفت مثال عددی داریم: مزدوج \(-3+2i\) برابر با \(-3-2i\) ، و مزدوج \(5-3i\) برابر با \(5+3i\) می باشد. به نظر می رسد به اندازه کافی ساده است، زیرا ویژگی خاصی را نمی بینید که به مزدوج یک عدد مختلط نسبت داده شده باشد تا زمانیکه عدد مختلط و مزدوج آن را در یکدیگر ضرب کنید.
قوانین جبر: حاصلضرب یک عدد مختلط و مزدوج آن یک عدد حقیقی می باشد (بخش موهومی ندارد) و شکل زیر را دارا می باشد:
$$ (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2 $$
$$ (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2 $$
نکات فنی: در اینجا حاصلضرب این عدد مختلط و مزدوج آن را که با استفاده از FOIL صورت پذیرفته است، می بینید:
$$ (a+bi)(a-bi)=a^2-abi+abi+b^2i^2=a^2-b^2(-1)=a^2+b^2 $$
جملات میانی معکوس یکدیگر می باشند، و بنا به تعریف عدد موهومی، \(i^2=-1\) می باشد.
$$ (a+bi)(a-bi)=a^2-abi+abi+b^2i^2=a^2-b^2(-1)=a^2+b^2 $$
جملات میانی معکوس یکدیگر می باشند، و بنا به تعریف عدد موهومی، \(i^2=-1\) می باشد.
استفاده از مزدوج ها برای تقسیم اعداد مختلط
هنگامیکه مسأله ای از شما می خواهد تا عدد مختلطی را بر عدد مختلط دیگری تقسیم کنید، آن مسأله را به شکل یک کسر می نویسید و سپس آن را در عدد یک ضرب می کنید. شما واقعاً آن را در خود عدد یک ضرب نمی کنید؛ بلکه در کسری که معادل یک می باشد ضرب می نمایید؛ این کسر دارای مزدوج مخرج کسر اول در صورت و مخرجش می باشد (از آنجا که صورت و مخرج این کسر یکسان می باشند، پس برابر با یک می باشد):
$$ (a+bi) \div (c+di) = \frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di} \\[3ex]
=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2} $$
برای نوشتن نتیجۀ تقسیم اعداد مختلط در شکلی که بخش حقیقی و موهومی آن موکداً جدا شده باشند، کسرها را می شکنید:
$$ \frac{(ac+bd)}{c^2+d^2} +\frac{(bc-ad)}{c^2+d^2}i $$
نکته: شکل کسر نتیجه شده به شکل افتضاحی پیچیده به نظر می رسد، و شما نیازی ندارید تا آن را به خاطر بسپارید. هنگامیکه یک مسألۀ تقسیم اعداد مختلط را انجام می دهید، می توانید از فرآیند مشابهی که من برای رسیدن به شکل قبل استفاده کردم، استفاده نمایید. به عنوان مثال، برای تقسیم \((-4+5i)\) بر \((3+2i)\) ، مراحل زیر را انجام دهید:
$$
(-4+5i) \div (3+2i) = \frac{-4+5i}{3+2i} \cdot \frac{3-2i}{3-2i} \\[3ex]
=\frac{-12+8i+15i-10i^2}{3^2+2^2} \\[3ex]
=\frac{-12+(8+15)i-10(-1)}{9+4} \\[3ex]
=\frac{-12+10+(8+15)i}{13} \\[3ex]
=\frac{-2+23i}{13} =-\frac{2}{13} + \frac{23}{13}i
$$
$$
(-4+5i) \div (3+2i) = \frac{-4+5i}{3+2i} \cdot \frac{3-2i}{3-2i} \\[3ex]
=\frac{-12+8i+15i-10i^2}{3^2+2^2} \\[3ex]
=\frac{-12+(8+15)i-10(-1)}{9+4} \\[3ex]
=\frac{-12+10+(8+15)i}{13} \\[3ex]
=\frac{-2+23i}{13} =-\frac{2}{13} + \frac{23}{13}i
$$
ساده سازی رادیکال ها
قبل از اینکه ریاضیدانان اعداد موهومی را تعریف کنند، بسیاری از مسأله ها پاسخی نداشتند، زیرا پاسخها شامل جذر اعداد منفی می بودند. بعد از تعریف عدد موهومی \(i^2=-1\) ، درها باز شدند؛ پنجره ها گشوده شدند؛ رژه ها آغاز شد؛ بچه ها در خیابانها می رقصیدند؛ و مسأله ها حل شدند!
قوانین جبر: برای ساده سازی جذر یک عدد منفی، آن جذر را به شکل حاصلضرب جذرها می نویسید و سپس ساده سازی می کنید:
$$ \sqrt{-a}=\sqrt{-1}\sqrt{a}=i\sqrt{a} $$
$$ \sqrt{-a}=\sqrt{-1}\sqrt{a}=i\sqrt{a} $$
به عنوان مثال، اگر بخواهید \(\sqrt{-24}\) را ساده سازی کنید، ابتدا رادیکال را به جذر \(-1\) و جذر بقیۀ عدد، جدا می کنید، و سپس هر نوع ساده سازی را با فاکتورگیری مربع های کامل، صورت می دهید:
$$
\sqrt{-24}=\sqrt{-1}\sqrt{24} \\[2ex]
=\sqrt{-1}\sqrt{4}\sqrt{6} \\[2ex]
=i \cdot 2\sqrt{6}
$$
طبق قرارداد، پاسخ قبلی را به شکل \(2i\sqrt{6}\) می نویسید. این شکل از نظر مقدار با سایر شکلهای نگارش آن تفاوتی ندارد. صرفاً بیشتر ریاضیدانان تمایل دارند تا بخش عددی ضریب را ابتدا بیاورند، و بخش متغیرها و سایر حروف را بعد از آن ذکر کنند (به ترتیب الفبایی)، و بخش رادیکال را در انتها بیاورند. آنها فکر می کنند که این روش بهتر باشد.
هشدار: از نظر فنی، در شکل مختلط، شما \(i\) را در انتهای عدد و بعد از تمامی اعداد دیگر می آورید ـــ حتی بعد از رادیکال. اگر عدد را به این شکل بنویسید، مطمئن گردید که \(i\) را زیر رادیکال قرار نداده باشید ـــ آن را به صورت واضح در سمت راست رادیکال بیاورید. برای مثال \(\sqrt{6} \cdot i \ne \sqrt{6i}\) . برای اجتناب از این اشتباه، آن را به شکل \(i\sqrt{6}\) بنویسید.
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (1 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: