حل کردن معادلات درجه دوم با پاسخهای مختلط

شما همواره می توانید معادلات درجه دوم را با فرمول حل کردن معادلات درجه دوم (quadratic formula) حل کنید. البته ساده تر اینست که این معادلات را با فاکتورگیری حل نمایید، اما اگر معادله قابل فاکتورگیری نباشد، این فرمول سودمند می افتد. (اگر در این زمینه نیاز به یادآوری دارید، فصل 3 را مورد بازنگری قرار دهید.)

با این حال، تا زمانیکه ریاضیدانان اعداد موهومی را شناسایی نکرده بودند، نمی توانستند بسیاری از نتایج معادلات درجه دوم را تکمیل کنند. هرگاه که عددی منفی زیر رادیکال ظاهر می شد، معادلۀ مربوطه ریاضیدانان را متوقف می کرد.

دنیای مدرن اعداد موهومی، به فریاد ریاضیدانان رسید و آنها را نجات داد! به عنوان مثال؛ برای حل کردن معادلۀ درجه دوم $2x^2+x+8=0$ ، می توانید با استفاده از فرمول حل کردن معادلۀ درجه دوم به نتایج زیر برسید:
$$
x=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4(2)(8)}}{2(2)} \\[3ex]
=\frac{-1\pm \sqrt{1-64}}{4} \\[3ex]
=\frac{-1\pm \sqrt{-63}}{4} \\[3ex]
=\frac{-1\pm \sqrt{-1}\sqrt{9}\sqrt{7}}{4} \\[3ex]
=\frac{-1\pm 3i\sqrt{7}}{4}
$$
فرمول معادلۀ درجه دوم همراه با اینکه یک پاسخ مختلط را تولید می کند، کمک می کند تا به منحنی مرتبط با معادله بر روی نمودار، نگاهی بیندازیم.

یادتان باشد: یک شلجمی که رو به سمت بالا یا پایین باز می شود، دارای یک عرض از مبدأ (y-intercept) می باشد؛ این شلجمی ها توابع می باشند و دارای دامنه هایی متشکل از تمامی اعداد حقیقی هستند. هرچند، یک شلجمی که رو به سمت بالا یا پایین باز می شود، الزاماً دارای طول از مبدأها (x-intercepts) نمی باشد.

برای حل کردن یک تابع درجه دوم جهت یافتن طول از مبدأهای آن، معادله اش را برابر با صفر قرار می دهید. هنگامیکه برای این معادله هیچ پاسخ حقیقی یافت نشود، هیچ طول از مبدأ ای را نخواهید یافت. اما هنوز هم یک عرض از مبدأ دارید، زیرا تمامی توابع درجه دوم جایی از محور $Y$ عبور می کنند، اما نمودار آن ممکن است بالا یا پایین محور $X$ قرار بگیرد و از آن عبور نکند.

معادلۀ درجه دوم $2x^2+x+8=0$ با شلجمیِ $2x^2+x+8=y$ متناظر است. با جایگزین کردن صفر برای متغیر $y$ این امکان را می یابید تا آن را برای یافتن طول از مبدأهای شلجمی حل کنید. این واقعیت که شما هیچ پاسخ حقیقی را برای این معادله نمی یابید، به شما می گوید که این شلجمی دارای هیچ طول از مبدأ ای نمی باشد. شکل 1-14 نموداری از این وضعیت را به شما نشان می دهد.

یادتان باشد: شلجمی هایی (سهمی) که رو به سمت چپ یا راست باز می شوند تابع نمی باشند. یک تابع به ازاء هر مقدار $x$ تنها دارای یک مقدار $y$ می باشد، بنابراین این منحنی ها آن الزام را نقض می کنند. یک شلجمی که رو به سمت چپ یا راست باز می شود، اگر رأس آن در سمت راست یا چپ محور $Y$ باشد، ممکن است هرگز از محور $Y$ عبور نکند، بنابراین هیچ پاسخ حقیقی را برای عرض از مبدأ آن نخواهید یافت. با این حال، یک شلجمی که رو به سمت چپ یا راست باز می شود، همواره دارای یک طول از مبدأ می باشد.

برای حل کردن جهت یافتن هر عرض از مبدأ ای، شما $x$ را برابر با صفر قرار می دهید و سپس آن معادلۀ درجه دوم را حل می کنید. اگر آن معادله دارای هیچ پاسخی نباشد، عرض از مبدأ ندارد. به عنوان مثال، به منظور حل کردن معادلۀ $x=-y^2+6y-12$ برای یافتن عرض از مبدأ آن، اجازه می دهید $x=0$ باشد. این معادله قابل فاکتورگیری نمی باشد، بنابراین از فرمول درجه دوم استفاده می کنید:
$$
y=\frac{-6\pm \sqrt{36-4(-1)(-12)}}{2(-1)} \\[4ex]
=\frac{-6\pm \sqrt{36-48}}{-2} \\[4ex]
=\frac{-6\pm \sqrt{-12}}{-2} \\[4ex]
=\frac{-6\pm 2i \sqrt{3}}{-2} = \frac{-3\pm i \sqrt{3}}{-1} = 3 \pm i\sqrt{3}
$$
شلجمیِ $x=-y^2+6y-12$ رو به سمت چپ باز می شود و هرگز از محور $Y$ عبور نمی کند. نمودار این شلجمی را در شکل 2-14 می بینید.