خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


چندجمله ایها و اعداد مختلط

چندجمله ایها و اعداد مختلط
نویسنده : امیر انصاری
چندجمله ایها توابعی هستند که نمودار آنها منحنی های نرم و زیبا می باشند که ممکن است محور \(X\) را قطع کنند یا نکنند. اگر درجه (بالاترین توان) یک چندجمله ای عددی فرد باشد، نمودار آن باید از محور \(X\) عبور کند، و باید دارای یک ریشه یا پاسخ حقیقی باشد. (در فصل 8 شما دانستید که چگونه پاسخها یا ریشه های حقیقی معادلات چندجمله ای را بیابید.) هنگام حل کردن معادلاتی که با قراردادن چندجمله ایها برابر با صفر شکل گرفته اند، از پیش برنامه ریزی می کنید که انتظار می رود چند پاسخ را بیابید. بالاترین توان به شما می گوید ماکزیمم تعداد پاسخهایی که ممکن است بیابید چندتا می باشد. در مورد معادلاتی که بالاترین توانشان اعداد زوج می باشند، ممکن است دریابید که آن معادلات مطلقاً هیچ پاسخی نداشته باشند، در حالی که اگر بالاترین توان فرد باشد، تضمین شده است که شما دست کم یک پاسخ را در آن معادله خواهید داشت.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



شناسایی جفت های مزدوج


یک چندجمله ای با درجۀ (توان) \(n\) می تواند، تا تعداد \(n\) صفر حقیقی (صفرها با نام پاسخها یا طول از مبدأ نیز شناخته می شوند) داشته باشد. اگر آن چندجمله ای دارای \(n\) صفر حقیقی نباشد، دارای \(n-2\) صفر، \(n-4\) صفر، یا تعداد دیگری از صفرها می باشد که در هر مرحله دو واحد کاهش یافته اند. (در این مورد در فصل 8 تحت نام قانون علامتهای دکارت، جزئیات کامل آمده است.) دلیل اینکه تعداد صفرها با دو واحد کاهش می یابند اینست که صفرهای مختلط، در جفت های مزدوج (conjugate pairs) می آیند ـــ یک عدد مختلط و مزدوج آن.

قوانین جبر: صفرهای مختلط، یا پاسخهای چندجمله ایها، در جفتهای مزدوج می آیند ـــ \(a+bi\) و \(a-bi\) . حاصلضرب یک عدد مختلط و مزدوج آن ، \((a+bi)(a-bi)\) ، برابر با \(a^2+b^2\) می باشد. بنابراین شما در معادلۀ چندجمله ای \(i\) ها را نمی بینید.

به عنوان مثال، معادلۀ \(0=x^5-x^4+14x^3-16x^2-32x\) ، دارای سه ریشۀ حقیقی و دو ریشۀ مختلط می باشد، و شما اینها را با استفاده از قضیۀ ریشۀ گویا و قانون علامتهای دکارت می دانید (از فصل 8). این معادله به \(0=x(x-2)(x+1)(x^2+16)\) فاکتورگیری می شود. سه ریشۀ حقیقی آن عبارت از \(0\) ، \(2\) ، و \(-1\) می باشند، که پاسخهای \(x=0\) ، \(x-2=0\) ، و \(x+1=0\) هستند. دو صفر مختلط عبارت از \(4i\) و \(-4i\) می باشند. این دو صفر مختلط یک جفت مزدوج می باشند، و شما با حل کردن معادلۀ \(x^2+16=0\) به این ریشه ها رسیده اید.

یک جفت مزدوج رایج تر دارای هم بخش حقیقی و هم بخش موهومی اعداد مختلط می باشد. به عنوان مثال، معادلۀ \(0=x^4+6x^3+9x^2-6x-10\) به \(0=(x-1)(x+1)(x^2+6x+10)\) فاکتورگیری می شود. ریشه های آن عبارت از \(x=1\)، \(x=-1\)، \(x=-3+i\) ، و \(x=-3-i\) می باشند. دو ریشۀ آخر را با استفاده از فرمول معادلۀ درجه دوم بدست آورده اید. این دو ریشه، یک جفت مزدوج می باشند.

تفسیر کردن صفرهای مختلط


تابع چند جمله ایِ \(y=x^4+7x^3+9x^2-28x-52\) دارای دو ریشۀ حقیقی و دو ریشۀ مختلط می باشد. بنابر قانون علامتهای دکارت، این تابع می تواند تا چهار ریشۀ حقیقی داشته باشد. شما می توانید تعداد ریشه های مختلط را با دو روش مختلف تعیین کنید: با فاکتورگیری این چندجمله ای یا با نگاه کردن به نمودار این تابع.

این تابع مثال، به \(y=(x-2)(x+2)(x^2+7x+13)\) فاکتورگیری می شود. دو فاکتور آغازین به شما ریشه های حقیقی یا طول از مبدأها را می دهند. هنگامی که \(x-2\) را برابر با \(0\) قرار می دهید، به تقاطع \((2,0)\) می رسید. هنگامیکه \(x+2\) را برابر با \(0\) قرار می دهید، به تقاطع \((-2,0)\) می رسید. قرار دادنِ آخرین فاکتور ، \(x^2+7x+13\) ، برابر با \(0\) ، به شما یک ریشۀ حقیقی را نتیجه نمی دهد، نتیجه آن را در اینجا می بینید:
$$
x^2+7x+13=0 \\[4ex]
x=\frac{-7 \pm \sqrt{49-4(1)(13)}}{2(1)} \\[4ex]
x=\frac{-7 \pm \sqrt{49-52}}{2} \\[4ex]
x=\frac{-7 \pm i \sqrt{3}}{2}
$$
شما همچنین با نگاه کردن به نمودار یک تابع چندجمله ای می توانید بگویید که آیا آن تابع دارای ریشه های مختلط می باشد یا خیر. شما نمی توانید از روی نمودار بگویید ریشه های مختلط چه هستند، اما می توانید تشخیص دهید که آیا ریشه های مختلط دارد یا خیر. اگر به مقادیر ریشه ها نیاز داشته باشید، باید به استفاده از جبر برای حل کردن آن متوسل شوید. شکل 3-14 نمودار تابع این مثال، یعنی \(y=x^4+7x^3+9x^2-28x-52\)، را به شما نشان می دهد. شما دو طول از مبدأ را که نشان دهندۀ دو صفر حقیقی هستند، در نمودار می بینید. شما همچنین می بینید که این نمودار در سمت چپ، مسطح شده است.

توجه: یک رفتار مسطح شدن می تواند نشان دهندۀ تغییر مسیر یا یک نقطۀ عطف (inflection) باشد، که در آن انحنای نمودار تغییر می کند. ناحیه هایی مانند این بر روی نمودار نشان می دهند که در آن چندجمله ای صفرهای مختلط وجود دارند.

چندجمله ایها و اعداد مختلط
شکل 4-14 می تواند در مورد تعداد صفرهای حقیقی و صفرهای مختلط که نمودار چندجمله ای دارد، چیزهای زیادی را به شما بگوید ... حتی قبل از اینکه شما معادلۀ آن را ببینید.

چندجمله ایها و اعداد مختلط
چندجمله ایِ موجود در شکل 4-14 به نظر می رسد یک صفر حقیقی و چندین صفر مختلط داشته باشد. آیا می توانید ببینید که جهت آن در سراسر محل آن در زیر محور \(X\) چگونه تغییر می کند؟ این تغییرات نشان می دهد که صفرهای مختلط حضور دارند. این نمودار نشان دهندۀ تابع چندجمله ایِ \(y=12x^5+15x^4-320x^3-120x^2+2880x-18275\) می باشد. این تابع دارای چهار صفر مختلط ـــ دو جفت مزدوج مختلط ـــ و یک صفر حقیقی (در \(x=5\)) می باشد.

برای حل کردن این معادلۀ درجۀ عالی (high-order) نیاز به تلاش، و توانایی جبر خوب؛ قضیۀ ریشۀ گویا و قانون علامتهای دکارت همراه با یک ماشین حساب نموداری یا کامپیوتر؛ و اندکی شانس و خرد و درایت دارید. هنگامی که صفرها اعداد صحیح زیبا باشند، زندگی خوب است. هنگامی که صفرها، اعداد اصم یا مختلط باشند، زندگی باز هم خوب است، اما اندکی پیچیده تر است. خوش بین باشید، و اگر چالش ها سر بر آوردند، آنها را مرحله به مرحله مدیریت کرده و پیش بروید.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.